新教材高中数学第十章概率10.1.3古典概型课件

10.1.3

古典概型课标定位素养阐释1.结合具体实例,理解古典概型及其两个特征.2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.3.掌握求解古典概型问题的一般思路.4.加强数学抽象、数据分析和数学运算等素养.自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

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辨

析随

堂

练

习

自主预习·新知导学一、古典概型【问题思考】1.做两个试验,试验一:抛一枚质地均匀的硬币,观察落地后哪一面朝上.试验二:掷一枚质地均匀的骰子,观察朝上的面的点数.回答下列问题:(1)在这两个试验中,样本空间分别包含几个样本点?提示:在抛硬币试验中,样本空间包含2个样本点,在掷骰子试验中,样本空间包含6个样本点.(2)在这两个试验中,每个样本点发生的可能性相等吗?提示:每个样本点发生的可能性都相等.2.填空:古典概型的定义:具有如下共同特征:(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.3.做一做:下列试验中,是古典概型的有(

)A.某人射击中靶或不中靶B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个C.四名同学用抽签法选一人参加会议D.运动员投篮,观察是否投中解析:A中,某人射击中靶与不中靶的概率不相等,所以A不是古典概型;B中,横坐标和纵坐标都为整数的点有无数个,所以B不是古典概型;C中,每个人被选中的可能性相等,且共有4种结果,符合古典概型的特征,所以C是古典概型;D中,运动员投篮投中与没有投中的概率不等,所以D不是古典概型.答案:C二、古典概型的概率公式【问题思考】1.思考下列两个问题:(1)抛一枚质地均匀的硬币,观察落地后哪一面朝上.记事件A=“正面朝上”,你认为事件A发生的可能性大小是多少?理由是什么?(2)掷一枚质地均匀的骰子,观察朝上的面的点数.记事件B=“出现的点数不超过4”,请写出事件B包含的样本点,你认为事件B发生的可能性大小是多少?理由是什么?2.填空:(1)事件的概率:对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.(2)古典概型的概率公式:一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率

.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.3.做一做:(1)育才中学举行高一广播体操比赛,共10个队参赛,为了确定出场顺序,学校制作了10个出场序号供大家抓阄,则高一(1)班抽到出场序号小于4的概率是(

)(2)按先后顺序抛两枚硬币,观察正反面出现的情况,则恰好出现一个正面的概率是

.

【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)从所有整数中任取一个数的试验是古典概型.(

×

)(2)种下一粒种子,试验的样本空间为{发芽,不发芽},所以种子发芽的概率为

.(

×

)(3)不放回简单随机抽样和放回简单随机抽样,对应的样本空间相同.(

×

)(4)同时掷两颗骰子,出现的点数和有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,则点数和为7的概率是

.(

×

)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一

古典概型的判断【例1】

下列概率模型是否为古典概型?(1)袋中有大小相同的5个白球、3个黑球和3个红球,每球有一个区别于其他球的编号,从中摸出1个球,有多少种不同的摸法?如果把每个球的编号看作一个样本点,是否为古典概型?(2)将一粒豆子随机撒在一张桌子的桌面上,将豆子所落的位置看作一个样本点,是否为古典概型?(3)一名射击运动员射击,把击中的环数看成样本点,是否为古典概型?分析:判断一个概率模型是否为古典概型,关键是看它是否满足两个特征:(1)有限性;(2)等可能性.解:(1)由于共有11个球,且每个球有不同的编号,故共有11种不同的摸法,又因为所有球大小相同,因此每个球被摸到的可能性相等,故以球的编号为基本事件的概率模型是古典概型.(2)因为豆子落在桌面上的位置有无数个,即有无数个样本点,所以以豆子所落的位置为样本点的概率模型不是古典概型.(3)由于运动员击中每一环的可能性不同,故以击中的环数为样本点的概率模型不是古典概型.1.一个试验是否为古典概型,在于是否具有两个特征:有限性和等可能性.2.并不是所有的试验都是古典概型,下列三类试验都不是古典概型;(1)样本空间的样本点个数有限,但非等可能.(2)样本空间的样本点个数无限,但等可能.(3)样本空间的样本点个数无限,也不等可能.【变式训练1】

下列概率模型中,是古典概型的个数为(

)①从区间[1,10]上任取一个数,求取到1的概率;②从1~10中任意取一个整数,求取到1的概率;③在一个正方形ABCD内画一点P,求P刚好与点A重合的概率;④向上抛掷一枚不均匀的硬币,求出现反面朝上的概率.A.1 B.2

C.3

D.4解析:第①个概率模型不是古典概型,因为从区间[1,10]上任意取出一个数,有无数个对象可取,所以不满足“有限性”;第②个概率模型是古典概型,因为试验的样本空间有10个样本点,而且每个样本点被抽到的可能性相等,即满足有限性和等可能性;第③个概率模型不是古典概型,因为在一个正方形ABCD内画一点P,有无数个点,所以不满足“有限性”;第④个概率模型也不是古典概型,因为硬币不均匀,因此两面出现的可能性不相等.故选A.答案:A探究二

古典概型概率的求法【例2】

某校夏令营有3名男同学A,B,C和3名女同学X,Y,Z,其年级情况如下表:现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).(1)用表中字母列举出试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型;(2)设M=“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M发生的概率.分析:用列举法表示试验的样本空间及事件M,代入古典概型的概率公式计算即可.解:(1)从6名同学中选出2人,对应的样本空间为{(A,B),(A,C),(A,X),(A,Y),(A,Z),(B,C),(B,X),(B,Y),(B,Z),(C,X),(C,Y),(C,Z),(X,Y),(X,Z),(Y,Z)},共有15个样本点.因为每人被选到的可能性相同,所以各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型.(2)因为M={(A,Y),(A,Z),(B,X),(B,Z),(C,X),(C,Y)},所以n(M)=6,1.对于古典概型,任何事件A的概率为

,其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.2.求古典概型概率的步骤为:(1)判断是否为古典概型;(2)算出试验的样本空间包含的样本点个数n;(3)算出事件A包含的样本点个数k;(4)算出事件A的概率,即在运用公式计算时,关键在于求出k,n.在求n时,应注意这n种结果必须是等可能的,在这一点上比较容易出错.【变式训练2】

某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)及体重指标(单位:kg/m)如下表所示:(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,设事件M=“选到的2人身高都在1.78以下”,求事件M的概率;(2)从该小组同学中任选2人,设事件N=“选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在区间[18.5,23.9)内”,求事件N的概率.分析:用列举法表示试验的样本空间及事件M,N,注意这两问试验不同,样本空间也不同.解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,对应的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D)},共6个样本点.由于每个人被选到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.身高在1.78以下的有A,B,C三人,即M={(A,B),(A,C),(B,C)},共有3个样本点.(2)从该小组同学中任选2人,对应的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)},共10个样本点.由于每个人被选到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.身高在1.70以上且体重指标在区间[18.5,23.9)内的有C,D,E三人,即N={(C,D),(C,E),(D,E)},共3个样本点.探究三

较复杂的古典概型概率的计算问题【例3】

袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a,b的2个黑球和编号为c,d,e的3个红球.(1)若从中一次性任意摸出2个球,求恰有1个黑球和1个红球的概率;(2)若采用不放回简单随机抽样从中任取2个球,1个球给小朋友甲,1个球给小朋友乙,求甲、乙两位小朋友拿到的球中至少有1个黑球的概率;(3)若采用有放回简单随机抽样从中任取2个球,1个球给小朋友甲,1个球给小朋友乙,求甲、乙两位小朋友拿到的球中至少有1个黑球的概率.分析:按照古典概型的概率公式计算,注意试验的条件不同,对应的样本空间不同.解:(1)从中一次性任意摸出2个球,样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共有10个样本点,设事件A=“恰有1个黑球和1个红球”,则A={(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)},共6个样本点,(2)采用不放回简单随机抽样从中任取2个球,1个给甲,1个给乙,用(x,y)表示样本点,x表示给甲的小球编号,y表示给乙的小球编号.则样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,a),(b,c),(b,d),(b,e),(c,a),(c,b),(c,d),(c,e),(d,a),(d,b),(d,c),(d,e),(e,a),(e,b),(e,c),(e,d)},共有20个样本点,设事件B=“甲、乙两位小朋友拿到的球中至少有1个黑球”,则B={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,a),(b,c),(b,d),(b,e),(c,a),(c,b),(d,a),(d,b),(e,a),(e,b)},共14个样本点,(3)采用有放回简单随机抽样从中任取2个球,用(x,y)表示样本点,x表示给甲的小球编号,y表示给乙的小球编号.则样本空间Ω={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(b,e),(c,a),(c,b),(c,c),(c,d),(c,e),(d,a),(d,b),(d,c),(d,d),(d,e),(e,a),(e,b),(e,c),(e,d),(e,e)},共有25个样本点,B={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,a),(b,b),(b,c),(b,d),(b,e),(c,a),(c,b),(d,a),(d,b),(e,a),(e,b)},共有16个样本点,求解古典概型问题的一般思路:(1)明确试验的条件及要观察的结果,用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果);(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性;(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数,求出事件A的概率.【变式训练3】

从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中任意抽取两件.(1)分别写出不放回简单随机抽样和有放回简单随机抽样的样本空间;(2)在两种抽样方式下,分别计算抽到的两件产品中恰有一件次品的概率.解:(1)根据相应的抽样方法可知,不放回简单随机抽样的样本空间Ω1={(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,b),(b,a1),(b,a2)}.有放回简单随机抽样的样本空间Ω2={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b),(b,a1),(b,a2),(b,b)}.(2)设事件A=“两件产品中恰有一件次品”,则对于不放回简单随机抽样,A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},共4个样本点.对于有放回简单随机抽样,A={(a1,b),(a2,b),(b,a1),(b,a2)},共4个样本点.易

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析对随机试验的结果理解不清致误【典例】

任意投掷两枚骰子,求“出现的点数之和为奇数”的概率.错解:任意投掷两枚骰子,点数之和出现的基本结果有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,所以试验的样本空间Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},共有11个样本点.设事件A=“出现的点数之和为奇数”,则事件A={3,5,7,9,11},共有5个样本点,故P(A)=,即出现的点数之和为奇数的概率为

.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:出现点数之和为奇数与偶数的11种情况不是等可能事件,如点数之和为2只出现一次,即(1,1);点数之和为3则出现两次,即(2,1),(1,2).因此以点数之和为样本点不属于古典概型,不能应用古典概型概率公式计算.正解:任意投掷两枚骰子,可看成等可能事件,其结果即样本点可表示为数组(i,j)(i,j=1,2,…,6).其中两个数i,j分别表示这两枚骰子出现的点数,则有{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},共有36个样本点.设事件A=“出现的点数之和为奇数”,则A={(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5)},共有18个样本点.1.本题错解在计算随机试验的样本空间时,以点数之和作为样本点,不符合古典概型的等可能性,本题的随机试验是“任意投掷两枚骰子,以两枚骰子出现的点数作为样本点”是古典概型,所以弄清随机试验的条件及要观察的结果是关键,突破这一思维障碍的有效方法是审清题意,找准随机试验的条件及要观察的结果,不要受所求事件的影响.2.用古典概型求概率时,要选择合适的方式表示样本点及样本空间,以使得各个样本点出现的可能性相等,并且使所考察的事件能表示为样本空间的子集.【变式训练】

一个正方体玩具的6个面分别标有数字1,2,2,2,3,3.若连续抛掷该玩具两次,则向上一面数字之和为5的概率为

.

解析:样本空间有6×6=36个样本点,若和为5,则一次为2,一次为3,共有12个样本点,则概率随

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