高中物理竞赛专题：高中物理解题技巧专题

高中物理竞赛专题：高中物理解题技巧专题目录专题一：平抛运动一个结论的妙用专题二：等效法处理“填补法”类题目专题三：带电粒子在有界磁场中运动的

临界问题的解题技巧专题四电磁感应中的“微元法”专题五动力学中的临界极值问题目录专题六：圆周运动中的临界极值问题专题七：三角函数在高中物理中的应用专题八：面几何在高中物理中的应用专题九：解法分析动力学临界问题专题十：物体的动态平衡问题解题技巧-4-一、结论推导平抛物体经过时间t到达P点,则有水平方向:vx=v0,x=v0t过P点做末速度的反向延长线,交初速度所在直线于C点,由上式可知,CD=x,即C点是水平位移OD的中点。二、结论妙用在平抛物体与斜面、圆弧面等已知形状的障碍物组合的问题中,若按上述方式过落点作末速度反向延长线,利用上述结论即可迅速求出相应的水平位移x和竖直位移y,从而迅速解决平抛运动问题。专题一：平抛运动一个结论的妙用-5-【例1】如图所示为四分之一圆柱体OAB的竖直截面,半径为R,在B点上方的C点水平抛出一个小球,小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切,OD与OB的夹角为60°,则C点到B点的距离为(

)答案:D-6-解析:过D点作末速度反向延长线,交水平位移CF于E点,过D点作OB的垂线DG,交OB于G点。则由几何关系易知-7-【例2】如图所示,小球由倾角为45°的斜坡底端P点正上方某一位置Q处自由下落,下落至P点的时间为t1,若小球从同一点Q处以速度v0水平向左抛出,恰好垂直撞在斜坡上,运动时间为t2,不计空气阻力,则t1∶t2等于(

)答案:B-8-解析:设小球在斜坡上的落点为A,过A点作末速度反向延长线,交水平位移于C点,过A、C作两条竖直辅助线AD、CG,过A作一条水平辅助线AF,交CG于E点,交QP于F点,如图所示。则由几何关系,有CD=x=AE=CE=EB,CE=yB点为AP中点,故有BG=EB=CE,故有PQ=CG=3y-9-练1

“套圈圈”是老少皆宜的游戏,如图所示,大人和小孩在同一竖直线上的不同高度处分别以水平速度v1、v2抛出铁圈,都能套中地面上同一目标。设铁圈在空中运动时间分别为t1、t2,则(

)

A.v1=v2 B.v1>v2C.t1=t2 D.t1>t2答案解析解析关闭答案解析关闭-10-练2

假设某滑雪者从山上M点以水平速度v0飞出,经t0时间落在山坡上N点时速度方向刚好沿斜坡向下,接着从N点沿斜坡下滑,又经t0时间到达坡底P处。已知斜坡NP与水平面夹角为60°,不计摩擦阻力和空气阻力,则(

)

A.滑雪者到达N点的速度大小为v0B.M、N两点之间的距离为2v0t0答案解析解析关闭答案解析关闭专题二

等效法处理“填补法”类题目-12-在万有引力和静电场一章,有一类题目,在物质或电荷的几何分布出现对称的破缺后,若直接用微元法和平行四边形定则求解,数学计算繁杂。对这类题目,大多资料介绍的方法是填补法:若填补这些空缺后,使得原来不对称的分布变成对称的分布,从而根据对称性,用现有的物理规律即可获得待求的物理量。不过“填补法”需要先填回去再挖掉,这样的反复对学生的思维能力要求较高。为克服“填补法”的这个缺陷,在总结了大量类似题目后,这里提出一种更直接的方法——等效法,这种方法从数学角度讲和“填补法”是等价的,但是因为思路直接,对学生思维能力要求低,所以学生掌握起来就相对容易一些。-13-【例1】如图所示,阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分。所挖去的小圆球的球心O'和大球体球心间的距离是

。求球体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力F。-14--15-【例2】如图所示,A、B、C、D、E是半径为r的圆周上等间距的五个点,在这些点上各固定一个点电荷,除A点处的电荷量为-q外,其余各点处的电荷量均为+q,则圆心O处(

)答案:C-16-解析:填补法分析:先将A点处-q换成+q,这时由对称性可知,O点处电场强度为零,这个零电场强度实际上是B、C、D、E四点的电荷的合电场强度E1与A点处+q的电场强度E2的矢量和,由E1+E2=0可等效法分析:将A处的-q看做是+q和-2q组成,A点处+q与B、C、D、E四点的+q在O点处合电场强度为零,这时,只需要考虑-2q在O点处电场强度,直接得到答案C。总结“等效法”的思路就是将“导致不对称的那个部分”视为“两个相反部分”叠加在一起形成的,其中一部分与原来的其余部分组合形成对称分布,从而达到简化计算的目的。-17-练1

如图1所示,半径为R均匀带电圆形平板,单位面积电荷量为σ,其轴线上任意一点P(坐标为x)的电场强度可以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出E=2πκσ,方向沿x轴。现考虑单位面积电荷量为σ0的无限大均匀带电平板,从其中间挖去一半径为r的圆板,如图2所示。则圆孔轴线上任意一点Q(坐标为x)的电场强度为(

)

图1

图2答案解析解析关闭答案解析关闭-18-练2

如图所示,xOy平面是无穷大导体的表面,该导体充满z<0的空间,z>0的空间为真空。将电荷量为q的点电荷置于z轴上z=h处,则在xOy平面上会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷和导体表面上的感应电荷共同激发的。已知静电平衡时导体内部电场强度处处为零,则在z轴上

处的电场强度大小为(静电力常量为k)(

)

答案解析解析关闭答案解析关闭微专题三带电粒子在有界磁场

中运动的临界问题的解题技巧-20-带电粒子(质量m、电荷量q确定)在有界磁场中运动时,涉及的可能变化的参量有入射点、入射速度大小、入射方向、出射点、出射方向、磁感应强度大小、磁场方向等,其中磁感应强度大小与入射速度大小影响的都是轨道半径的大小,可归并为同一因素(以“入射速度大小”代表),磁场方向在一般问题中不改变,若改变,也只需将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可。在具体问题中,这五个参量一般都是已知两个,剩下其他参量不确定(但知道变化范围)或待定,按已知参量可将问题分为如下10类,并可归并为6大类型。-21--22-所有这些问题,其通用解法是:第一步,找准轨迹圆圆心可能的位置;第二步,按一定顺序尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆(一般至少画5个轨迹圆);第三步,根据所作的图和题设条件,找出临界轨迹圆,从而抓住解题的关键点。-23-已知入射点和入射速度方向,但入射速度大小不确定(即轨道半径不确定)这类问题的特点是:所有轨迹圆圆心均在过入射点、垂直入射速度的同一条直线上。-24-【例1】如图所示,长为L的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强磁场,磁感应强度为B,板间距离也为L,极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是(

)-25-分析:粒子初速度方向已知,故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上(如图甲),在该直线上取不同点为圆心,半径由小取到大,作出一系列圆(如图乙),其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子,均可射出磁场而不打在极板上。答案:AB-26-解析:粒子擦着上板从右边穿出时,圆心在O点,-27-易错提醒容易漏选A,错在没有将r先取较小值再连续增大,从而未分析出粒子还可以从磁场左边界穿出的情况。-28-练1

如图所示,在平面直角坐标系xOy内,第一象限的射线OP与x轴夹角为30°,在∠POx范围之外存在垂直xOy面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。一质量为m、带电荷量为q的带正电粒子从O点以沿y轴负方向的速度v运动。

(1)粒子离开O点后,求第三次经过磁场边界时的位置坐标;(2)求粒子在磁场中运动的总时间。-29--30--31-已知入射点和入射速度大小(即轨道半径大小),但入射速度方向不确定这类问题的特点是:所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上——所谓“圆心圆”,是指以入射点为圆心,以r=为半径的圆。-32-【例2】如图所示,在0≤x≤a、0≤y≤范围内有垂直于xOy平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源,在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子,它们的速度大小相同,速度方向均在xOy平面内,与y轴正方向的夹角分布在0~90°范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于

到a之间,从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的(不计重力及粒子间的相互作用)(1)速度的大小;(2)速度方向与y轴正方向夹角的正弦。-33-分析:本题给定的情形是粒子轨道半径r大小确定但初速度方向不确定,所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O,入射点O到任一圆心的距离均为r,故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”——以入射点O为圆心、r为半径的圆周上(如图甲)。考虑到粒子是向右偏转,我们从最左边的轨迹圆画起——取“圆心圆”上不同点为圆心、r为半径作出一系列圆,如图乙所示;其中,轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时(均小于180°),弦长越长,圆心角越大,粒子在磁场中运动时间越长——故轨迹①对应圆心角应为90°。-34--35-解析:设粒子的发射速度为v,粒子做圆周运动的轨道半径为R,-36-易错提醒由于作图不仔细而把握不住“轨迹①对应弦长大于轨迹②对应弦长——半径一定、圆心角都较小时(均小于180°),弦长越长,圆心角越大,粒子在磁场中运动时间越长”,从而误认为轨迹②对应粒子在磁场中运动时间最长。这类题作图要讲一个小技巧——按粒子偏转方向移动圆心作图。-37-练2

如图所示,圆形区域内有垂直纸面、磁感应强度为B的匀强磁场,A为磁场边界上的一点,大量完全相同的带电粒子平行纸面向各个方向以相同的速度大小v通过A点进入磁场,最后这些粒子全部从右侧圆弧AC上射出磁场区域(有粒子从C点射出)。AC圆弧的弧长是圆周长的,不计粒子之间的相互作用,粒子的质量为m,电荷量为q。

(1)求圆形磁场区域的半径R;(2)求粒子在磁场中运动轨迹的最大长度;(3)若只把磁场撤去,在圆形区域内加电场强度大小为E的平行于纸面的匀强电场,从圆弧射出电场的粒子中,C点射出的粒子动能最大,求最大动能Ek。-38--39--40-已知入射点和出射点,但未知初速度大小(即未知半径大小)和方向这类问题的特点是:所有轨迹圆圆心均在入射点和出射点连线的中垂线上。-41-【例3】如图所示,无重力空间中有一恒定的匀强磁场,磁感应强度的方向垂直于xOy平面向外,大小为B,沿x轴放置一个垂直于xOy平面的较大的荧光屏,P点位于荧光屏上,在y轴上的A点放置一放射源,可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m、电荷量为+q的同种粒子,这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线,P点处在亮线上,已知OA=OP=l,求:(1)若能打到P点,则粒子速度的最小值为多少?(2)若能打到P点,则粒子在磁场中运动的最长时间为多少?-42-分析:粒子既经过A点又经过P点,因此AP连线为粒子轨迹圆的一条弦,圆心必在该弦的中垂线OM上(如图甲)。在OM上取不同点为圆心、以圆心和A点连线长度为半径由小到大作出一系列圆(如图乙),其中轨迹①对应半径最小,而轨迹②对应粒子是轨道半径最大的,由图可知其对应圆心角也最大。-43-解析:(1)粒子在磁场中运动,洛伦兹力提供向心力,设粒子的速度大小为v时,其在磁场中的运动半径为R,则由牛顿第二定律有qBv=m若粒子以最小的速度到达P点时,其轨迹一定是以AP为直径的圆(如图中圆O1所示)-44--45-练3

人类研究磁场的目的之一是通过磁场控制带电粒子的运动。如图所示是通过磁场控制带电粒子运动的一种模型。在0<x≤d和d<x<2d的区域内,分别存在磁感应强度均为B的匀强磁场,其方向分别垂直纸面向里和垂直纸面向外。在坐标原点有一粒子源连续不断地沿x轴正方向释放出质量为m、带电荷量为q(q>0)的粒子,其速率有两种,分别为

。(不考虑粒子的重力、粒子之间的相互作用)

-46-(1)求两种速率的粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运动的半径大小R1和R2。(2)求两种速率的粒子从x=2d的边界射出时,两射出点的距离Δy的大小。(3)在x>2d的区域添加另一匀强磁场,使得从x=2d边界射出的两束粒子最终汇聚成一束,并平行y轴正方向运动。在图中用实线画出粒子的大致运动轨迹(无需通过计算说明),用虚线画出所添加磁场的边界线。-47--48-(3)匀强磁场区域边界为直线,磁场方向向里,如图所示。-49-已知初、末速度的方向(所在直线),但未知初速度大小(即未知轨道半径大小)这类问题的特点是:所有轨迹圆的圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上。-50-【例4】在xOy平面上的某圆形区域内,存在一垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一个质量为m、电荷量为+q的带电粒子,由原点O开始沿x轴正方向运动,进入该磁场区域后又射出该磁场;后来,粒子经过y轴上的P点,此时速度方向与y轴的夹角为30°(如图所示),已知P到O的距离为L,不计重力的影响。(1)若磁场区域的大小可根据需要而改变,试求粒子速度的最大可能值;(2)若粒子速度大小为v=,试求该圆形磁场区域的最小面积。-51-分析:初、末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相切,轨迹圆圆心到两条直线的距离(即轨道半径)相等,因此,圆心必位于初、末速度延长线形成的角的角平分线QC上(如图甲);在角平分线QC上取不同的点为圆心,由小到大作出一系列轨迹圆(如图乙),其中以C点为圆心的轨迹①是可能的轨迹圆中半径最大的,其对应的粒子速度也最大。甲

乙

-52-解析:过P点作末速度所在直线,交x轴于Q点,经分析可知,粒子在磁场中做圆周运动的轨迹的圆心必在∠OQP的角平分线QC上,如图甲所示。设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为r,则由牛顿第二定律,由此可知粒子速度越大,其轨道半径越大,由图乙可知,速度最大的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y轴上的C点。(1)如图丙所示,速度最大时粒子的轨迹圆过O点、且与PQ相切于A点。-53-

丙

丁

-54--55-练4

如图所示,xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场。一个质量为m,电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动。当它经过图中虚线上的M(2

a,a)点时,撤去电场,粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域(图中未画出),又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点。已知磁场方向垂直xOy平面(纸面)向里,磁感应强度大小为B,不计粒子的重力,试求:

(1)电场强度的大小;(2)N点的坐标;(3)矩形磁场的最小面积。-56-【分析】粒子在电场中偏转后进入MN右侧,初速度方向已知,另一方面,粒子末速度由N指向M。初速度、末速度所在直线交于点M,过M点作∠NMP角平分线MO',粒子轨迹圆的圆心必在直线MO'上。取其上一点O'为圆心作出轨迹圆(如图所示)。-57-解析:

(1)粒子从O到M做类平抛运动,设时间为t,粒子从P点进入磁场,从N点离开磁场,粒子在磁场中以O'点为圆心做匀速圆周运动,设半径为R,-58-(3)当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小。则矩形的两个边长分别为-59-已知初速度的大小(即已知轨道半径大小)和方向,但入射点不确定这类问题的特点是:所有轨迹圆的圆心均在将入射点组成的边界沿垂直入射速度方向平移一个半径距离的曲线上。-60-【例5】如图所示,长方形abcd的长ad=0.6m,宽ab=0.3m,O、e分别是ad、bc的中点,以e为圆心、eb为半径的圆弧和以O为圆心、Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(eb边界上无磁场)磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场方向射入磁场区域,则下列判断正确的是(

)A.从Od边射入的粒子,出射点全部分布在Oa边B.从aO边射入的粒子,出射点全部分布在ab边C.从Od边射入的粒子,出射点分布在ab边D.从ad边射人的粒子,出射点全部通过b点答案:D-61-的轨迹(圆心在O点),②为从O点射入粒子的轨迹(圆心在a点),③为从a点射入粒子的轨迹,从d、O之间入射粒子在磁场中转过

圆周后沿eb边界做直线运动最终汇聚于b点,从O、a之间入射粒子先做直线运动再进入磁场做圆周运动,由作图易知这些粒子也汇聚于b点。-62--63-练5

如图所示,在xOy平面内有一半径为R、与x轴相切于原点的圆形区域,该区域内有垂直于xOy平面的匀强磁场。在圆的左边0<y<2R的区间内有一束具有相同质量m、电荷量q(q>0)和初速度v的带电微粒沿x轴正方向射向该区域,其中沿半径AO'方向进入磁场区域的带电微粒经磁场偏转后,从坐标原点O沿y轴负方向离开。(不计重力及粒子间的相互作用)

(1)求磁感应强度B的大小和方向。(2)请指出这束带电微粒与x轴相交的区域,并说明理由。-64--65-已知初速度方向(所在直线)和出射点,但入射点不确定这类问题的特点是:所有轨迹圆的圆心均在“以初速度所在直线为准线、出射点为焦点的抛物线”上。-66-【例6】如图所示,现有一质量为m、电荷量为e的电子从y轴上的P(0,a)点以初速度v0(大小可调)平行于x轴射出,在y轴右侧某一圆形区域加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B(大小可调)。为了使电子能从x轴上的Q(b,0)点射出磁场。试求满足条件的磁场的最小面积,并求出该磁场圆圆心的坐标。-67-解析:本题中,电子初速度所在直线已知,电子进入磁场的入射点在该直线上,则可知电子在磁场中做圆周运动的轨迹圆与该直线相切、且经过Q点,所以电子轨迹圆圆心到该直线和到Q

点的距离相等,即电子轨迹圆圆心在以该直线为准线、Q

点为焦点的抛物线上。在该抛物线上从左向右取不同点为圆心,做出一系列轨迹圆,可以看出所有这些轨迹中轨迹①所需圆形磁场的直径最小。此时磁-68-练6

如图所示,半径r=0.06m的半圆形无场区的圆心在坐标原点O处,半径R=0.1m、磁感应强度大小B=0.075T的圆形有界匀强磁场区的圆心坐标为(0,0.08m),平行金属板M、N的长度L=0.3m、间距d=0.1m,极板间所加电压U=6.4×102V,其中N极板收集粒子全部中和吸收。一位于O处的粒子源向第Ⅰ、Ⅱ象限均匀地发射速度大小v=6×105m/s的带正电粒子,经圆形磁场偏转后,从第Ⅰ象限射出的粒子速度方向均沿x轴正方向。若粒子重力不计,比荷

=108C/kg,不计粒子间的相互作用力及电场的边缘效应。sin37°=0.6,cos37°=0.8。求:

-69-(1)粒子在磁场中的运动半径R0;(2)从坐标为(0,0.18m)处射出磁场的粒子在O点的入射方向与y轴的夹角θ;(3)N板收集到的粒子占所有发射粒子的比例η。答案:(1)0.08m

(2)53°

(3)29%-70-(2)如图所示,设从y=0.18

m处射出的粒子在O点的入射方向与y轴的夹角为θ,由几何关系可得sin

θ=0.8,解得θ=53°微专题四电磁感应中的“微元法”-72-一些以“电磁感应”为题材的题目。可以用微元法解,在电磁感应现象中,如导体切割磁感线运动,产生感应电动势为E=BLv,感应电-73-只受安培力的情况【例1】如图所示,宽度为L的光滑金属导轨一端封闭,电阻不计,足够长,水平部分有竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场。质量为m、电阻为r的导体棒从高度为h的斜轨上从静止开始滑下,由于在磁场中受安培力的作用,在水平导轨上滑行的距离为s时停下。-74-(1)求导体棒刚滑到水平面时的速度v0;(2)写出导体棒在水平导轨上滑行的速度v与在水平导轨上滑行的距离x的函数关系。-75--76-既受安培力又受重力的情况【例2】如图所示,竖直平面内有一边长为L、质量为m、电阻为R的正方形线框在竖直向下的匀强重力场和水平方向的磁场组成的复合场中以初速度v0水平抛出,磁场方向与线框平面垂直,磁场的磁感应强度随竖直向下的z轴按B=B0+kz的规律均匀增大,已知重力加速度为g,求:(1)线框竖直方向速度为v1时,线框中瞬时电流的大小;(2)线框在复合场中运动的最大电功率;(3)若线框从开始抛出到瞬时速度大小到达v2所经历的时间为t,那么,线框在时间t内的总位移大小为多少?-77-解析:(1)因在竖直方向两边的磁感应强度大小不同,所以产生感应电流为-78--79-重力和安培力不在一条直线上的情况【例3】如图所示,空间等间距分布着水平方向的条形匀强磁场,竖直方向磁场区域足够长,磁感应强度B=1T,每一条形磁场区域的宽度及相邻条形磁场区域的间距均为d=0.5m,现有一边长l=0.2m、质量m=0.1kg、电阻R=0.1Ω的正方形线框MNOP以v0=7m/s的初速度从左侧磁场边缘水平进入磁场,线框运动过程中不偏转。求-80-(1)线框MN边刚进入磁场时受到安培力的大小F。(2)线框从开始进入磁场到竖直下落的过程中产生的焦耳热Q。(3)线框能穿过的完整条形磁场区域的个数n。答案:(1)2.8N

(2)2.45J

(3)4-81-解析:(1)线框MN边刚进入磁场时,感应电动势E=Blv0=1.4

V,

(3)用“微元法”解。线框在进入和穿出条形磁场时的任一时刻,感应电动势E=Blv,-82-练

如图所示,刚性U型金属导轨M1N1N2M2位于光滑水平桌面上,其左端中接有阻值为R的电阻,它们总的质量为m0。导轨的两条轨道间的距离为l,PQ是质量为m的金属杆,其电阻为r,可在轨道上滑动,滑动时保持与轨道垂直。杆与轨道的接触是粗糙的,导轨的电阻均不计。初始时,杆PQ于图中的虚线处,虚线的右侧为一匀强磁场区域,磁场方向垂直于桌面,磁感应强度的大小为B。现有一位于导轨平面内的与轨道平行的恒力F作用于PQ上,使之从静止开始在轨道上向右做加速运动。已知经过时间t通过电阻的电流为I0,导轨向右移动的距离为x0(导轨的N1N2部分尚未进入磁场区域)。不考虑回路的自感,求:

-83-(1)杆与轨道的摩擦力;(2)PQ离开虚线的距离;(3)在此过程中电阻所消耗的能量。-84--85-微专题五动力学中的临界极值问题-87-1.临界或极值条件的标志。(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼,明显表明题述过程存在临界点。(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语,表明题述过程存在“起止点”,而这些“起止点”往往就对应临界状态。(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼,表明题述过程存在极值,这个极值点往往是临界点。(4)若题目要求“最终加速度”“稳定速度”等,即是求收尾加速度或收尾速度。-88-2.处理动力学临界极值问题的两种方法。(1)以定律、定理为依据,首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式,然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解。(2)直接分析、讨论临界状态,找出临界条件求出临界值。在研究临界问题时,应着重于相应物理量的取值范围和有关物理现象发生或消失条件的讨论。-89-【例题】如图所示,质量为m=1kg的物块放在倾角为θ=37°的斜面体上,斜面体质量为M=2kg,斜面与物块间的动摩擦因数为μ=0.2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,地面光滑。现对斜面体施一水平推力F,要使物块m相对斜面静止,试确定推力F的取值范围。(g取10m/s2,结果保留一位小数)答案:14.3N≤F≤33.5N解析:假设水平推力F较小,物块相对斜面具有下滑趋势,当刚要下滑时,推力F具有最小值,设大小为F1,此时物块受力如图甲所示。对物块分析,在水平方向有FNsinθ-μFNcosθ=ma1,-90-竖直方向有FNcosθ+μFNsinθ-mg=0,对整体有F1=(M+m)a1,代入数值得a1≈4.78

m/s2,F1≈14.3

N。假设水平推力F较大,物块相对斜面具有上滑趋势,当刚要上滑时,推力F具有最大值,设大小为F2,-91-此时物块受力如图乙所示。对物块分析,在水平方向有FN'sinθ+μFN'cosθ=ma2,竖直方向有FN'cosθ-μFN'sinθ-mg=0,对整体有F2=(M+m)a2,代入数值得a2≈11.18

m/s2,F2≈33.5

N,综上所述可知推力F的取值范围为14.3

N≤F≤33.5

N。-92-练

如图所示,质量为4kg的小球用细绳拴着吊在行驶的汽车后壁上,绳与竖直方向夹角为37°。已知g取10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,求:

(1)当汽车以a=2m/s2向右匀减速行驶时,细线对小球的拉力和小球对车后壁的压力;(2)当汽车以a'=10m/s2的加速度向右匀减速运动时,细线对小球的拉力和小球对车后壁的压力。

-93-解析:(1)当汽车以a=2

m/s2向右匀减速行驶时,小球受力分析如图所示。

由牛顿第二定律得:FT1cos

θ=mg,FT1sin

θ-FN=ma代入数据得:FT1=50

N,FN=22

N由牛顿第三定律知,小球对车后壁的压力大小为22

N。-94-(2)当汽车向右匀减速行驶时,设车后壁弹力为0时(临界条件)的加速度为a0,受力分析如图所示。

由牛顿第二定律得:FT2sin

θ=ma0,FT2cos

θ=mg代入数据得:a0=gtan

θ=10×m/s2=7.5

m/s2因为a=10

m/s2>a0所以小球飞起来,FN'=0所以,当汽车以a'=10

m/s2向右匀减速运动行驶时,由牛顿第二定律得FT2cos

θ'=mgFT2sin

θ'=ma'代入数据得FT2=40

N。微专题六

圆周运动中的临界极值问题-96-绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同,其原因主要是:“绳”不能支持物体,而“杆”既能支持物体,也能拉物体。v临界=对绳模型来说是能否通过最高点的临界条件,而对杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界条件。-97-【例题】(图所示,长为L的轻杆一端固定质量为m的小球,另一端固定在转轴O,现使小球在竖直平面内做圆周运动,P为圆周的最高点,若小球通过圆周最低点时的速度大小为,忽略摩擦阻力和空气阻力,则以下判断正确的是(

)A.小球不能到达P点B.小球到达P点时的速度大于C.小球能到达P点,且在P点受到轻杆向上的弹力D.小球能到达P点,且在P点受到轻杆向下的弹力答案:C-98-解析:要使小球恰能到达P点,由机械能守恒定律得

-99-练

如图所示,在竖直平面内,直径为R的光滑半圆轨道和半径为R的光滑四分之一圆轨道水平相切于O点。O点在水平地面上。可视为质点的小球从O点以某一初速度进入半圆,刚好能通过半圆的最高点A,从A点飞出后落在四分之一圆轨道上的B点,不计空气阻力,g取10m/s2,则B点与O点的竖直高度差为(

)

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三角函数在高中物理中的应用-101-在解答物理试题时,经常用到三角函数的运算。三角函数是物理学中数量分析和计算的常用工具,在力的合成与分解、运动的合成与分解、偏转磁场以及动态平衡中广泛应用。(一)三角函数的定义式(二)探寻规律1.涉及斜边与直角边的关系为“弦”类,涉及两直角边的关系为“切”类。2.涉及“对边”为“正”类,涉及“邻边”为“余”类。3.运算符:由直角边求斜边用“除以”,由斜边求直角边用“乘以”,为更具规律性,两直角边之间互求我们都用“乘以”。-102-(三)速写1.由直角边求斜边2.由斜边求直角边对边=斜边×正弦

邻边=斜边×余弦3.两直角边互求对边=邻边×正切

邻边=对边×余切-103-在力的合成与分解中应用很多情况下,力的合成与分解时做的平行四边形中包含了直角三角形,求力时要使用三角函数。-104-【例1】如图所示,一质量为m、电荷量为Q的小球A系在长为l的绝缘轻绳下端,另一电荷量也为Q的小球B位于悬挂点的正下方(A、B均视为点电荷),轻绳与竖直方向成30°角,小球A、B静止于同一高度。已知重力加速度为g,静电力常量为k,则两球间的静电力为(

)答案:A-105-在运动的合成与分解中应用平抛运动、类平抛运动中,运动的合成与分解时要使用三角函数。【例2】取水平地面为重力势能零点,一物块从某一高度水平抛出,在抛出点其动能与重力势能恰好相等。不计空气阻力。该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为(

)答案:B-106-在偏转磁场中应用在偏转磁场中,很多题目要通过偏转角、弦切角、圆心角来计算轨道半径,这样就常常涉及三角函数的应用。-107-【例3】如图所示,在xOy平面内,有一电子源持续不断地沿x轴正方向每秒发射出N个速率均为v的电子,形成宽为2b,在y轴方向均匀分布且关于x轴对称的电子流。电子流沿x轴方向射入一个半径为R、中心位于原点O的圆形匀强磁场区域,磁场方向垂直xOy平面向里,电子经过磁场偏转后均从P点射出,在磁场区域的正下方有一对平行于x轴的金属平行板K和A,其中K板与P点的距离为d,中间开有宽度为2l且关于y轴对称的小孔。K板接地,A与K两板间加有正负、大小均可调的电压UAK,穿过K板小孔到达A板的所有电子被收集且导出,从而形成电流。已知b=R,d=l,电子质量为m,电荷量为e,忽略电子间相互作用。-108-(1)求磁感应强度B的大小;(2)求电子从P点射出时与负y轴方向的夹角θ的范围;(3)当UAK=0时,每秒经过极板K上的小孔到达极板A的电子数;(4)调节A与K两极板间的电压,刚好不能形成电流,求此时UAK的大小。-109-解析:由题意可以知道是磁聚焦问题,即

-110-(2)设上端电子从P点射出时与负y轴最大夹角为θm,由几何关系知同理下端电子从P点射出时与负y轴最大夹角也是60°,范围是-60°≤θ≤60°-111-n=0.82N(4)只要竖直向下的电子达不到A板,其他电子一定达不到,根据动能定理得-112-练

在如图所示的坐标系中有一与y轴平行的虚线,虚线与x轴的交点的横坐标为x0(x0=m),已知在y轴和虚线之间存在沿y轴正方向的上下范围足够大的匀强电场,在虚线的右侧存在范围足够大的垂直纸面向外的匀强磁场。t=0时刻一质量为m1、电荷量为q1的带正电的粒子由坐标原点沿x轴正方向以v0=πm/s的速度射入匀强电场,经时间Δt后,一质量为m2、电荷量为q2的带负电的粒子由坐标原点沿x轴正方向也以等大的速度射入匀强电场。两粒子离开电场时与虚线的夹角分别为60°、30°,如图所示,并且两粒子在磁场中各自转过半个圆周后相撞。假设粒子的重力可忽略,两粒子间的相互作用力可忽略。

-113-(2)带正电的粒子在磁场中运动的轨道半径r1、带负电的粒子在磁场中运动的轨道半径r2分别为多大?-114--115-微专题八

平面几何在高中物理中的应用-117-高中物理教学中离不开平面几何知识,特别是物体的平衡问题、运动的合成与分解、带电粒子在电磁场中的运动、光的反射折射等问题,都常会用到平面几何知识,故我们在求解有关问题时如能恰当运用平面几何知识往往会收到意想不到的效果。从近些年的浙江省选考试题分析来看,主要有以下两种题型。-118-运用相似三角形性质巧解物理问题对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。有时解决物理问题可以运用相似三角形的一些性质——①对应角相等;②对应边成比例;③对应的垂线、中线、角平分线成比例等,可以巧解物理问题。主要用在共点力平衡问题上。-119-【例1】如图所示质量为m、电荷量为q的带电小球A用绝缘细线悬挂于O点,带有电荷量也为q的小球B固定在O点正下方绝缘柱上。其中O点与小球A的间距为l。O点与小球B的间距为

l,当小球A平衡时。悬线与竖直方向夹角θ=30°,带电小球A、B均可视为点电荷,静电力常量为k,则(

)答案:B-120--121-【例2】如图,墙上有两个钉子a和b,它们的连线与水平方向的夹角为45°,两者的高度差为L。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点,另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在绳子距a答案:C-122-对结点c分析,将Fa和Fb合成为F,根据平衡条件和三角函数关系得Fc=m2g=F,Fb=m1g,-123-运用圆的几何性质巧解物理问题有时解决物理问题可以运用圆的性质,例如:①垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;②直径所对的圆周角是直角;③圆的切线垂直于过切点的直径等。主要应用在带电粒子在磁场中的运动这类高难问题。-124-【例3】如图为离子探测装置示意图。区域Ⅰ、区域Ⅱ长均为L=0.10m,高均为H=0.06m。区域Ⅰ可加方向竖直向下、电场强度为E的匀强电场,区域Ⅱ可加方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。区域Ⅱ的右端紧贴着可探测带电粒子位置的竖直屏。质子束沿两板正中间以速度v=1.0×105m/s水平射入,质子比荷近似为

=1.0×108C/kg。(忽略边界效应,不计重力)-125-(1)当区域Ⅰ加电场、区域Ⅱ不加磁场时,求能在屏上探测到质子束的外加电场的最大值Emax;(2)当区域Ⅰ不加电场、区域Ⅱ加磁场时,求能在屏上探测到质子束的外加磁场的最大值Bmax;(3)当区域Ⅰ加电场E小于(1)中的Emax,质子束进入区域Ⅱ和离开区域Ⅱ的位置等高,求区域Ⅱ中的磁感应强度B与区域Ⅰ中的电场强度E之间的关系式。-126-分析:(1)粒子在电场区域做类平抛运动,在区域Ⅱ中做匀速直线运动,类平抛运动的末速度的反向延长线通过水平分位移的中点,结合类平抛运动的分运动公式列式求解。(2)粒子射入磁场后做匀速圆周运动,画出临界轨迹,得到临界轨道半径,然后根据牛顿第二定律列式分析。(3)画出轨迹,结合几何关系、类平抛运动的分运动公式、牛顿第二定律列式后联立求解。-127-解析:(1)画出轨迹,如图所示:-128-(2)画出轨迹,如图所示:-129-(3)画出轨迹,如图所示:-130-练

如图所示,在坐标系xOy中,第一象限内充满着两个匀强磁场a和b,OP为分界线,在磁场a中,磁感应强度为2B,方向垂直于纸面向里,在磁场b中,磁感应强度为B,方向垂直于纸面向外,P点坐标为(4l,3l)。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点沿y轴负方向射入磁场b,经过一段时间后,粒子恰能经过原点O,不计粒子重力。求:

(1)粒子从P点运动到O点的最短时间是多少?(2)粒子运动的速度可能是多少?-131-微专题九

图解法分析动力学临界问题-133-图解法的精髓是根据力的平行四边形定则将物体受力按顺序首尾相接形成力的多边形,然后根据物体间保持相对静止时力允许的变化范围,确定加速度或者其他条件的允许范围。具体如下:-134-一、弹力类临界问题类型一

轻绳类临界问题轻绳有两类临界问题——绷紧和绷断,绷紧要求FT>0,不绷断要求FT≤FTm。合起来即0≤FT≤FTm。-135-【例1】如图所示,绳AC、BC一端拴在竖直杆上,另一端拴着一个质量为m的小球,其中AC绳长度为l。当竖直杆绕竖直方向以某一角速度ω转动时,绳AC、BC均处于绷直状态,此时AC绳与竖直方向夹角为30°,BC绳与竖直方向夹角为45°。试求ω的取值范围。已知重力加速度为g。-136-解析:若两绳中均有张力,则小球受力如图所示,将FT1、FT2合成为一个力F合,由平行四边形定则易知F合方向只能在CA和CB之间,将mg、F合按顺序首尾相接,与二者的合力ma形成如图所示三角形,其中mg不变,ma方向水平指向圆心,则由F合的方向允许的范围,即可由图轻松求出ma允许的范围为mgtan30°≤ma≤mgtan45°其中a=ω2lsin30°,代入上式,得-137-类型二

支持力类临界问题两物体挤压在一起(接触)的条件是两者之间的弹力FN≥0。【例2】如图所示,在倾角为θ的光滑斜面上端固定一劲度系数为k的轻质弹簧,弹簧下端连有一质量为m的小球,小球被一垂直于斜面的挡板A挡住,此时弹簧没有形变,若手持挡板A以加速度a(a<gsinθ)沿斜面匀加速下滑,求:从挡板开始运动到小球与挡板分离所经历的时间。-138-解析:小球受力如图所示,将这四个力按顺序首尾相接,与四者的合力形成如图所示三角形,其中mg、FN1、ma不变,F=kx和FN的方向不变,两者之和不变。随着挡板向下运动,F=kx逐渐增大,则FN逐渐减小,当FN=0时,小球与挡板分离,有F=kx=mgsinθ-ma-139-二、摩擦力类临界问题类型一

滑动摩擦力类临界问题这类问题中,可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力,这个力的方向是确定的。-140-【例3】水平地面上有一木箱,木箱与地面间的动摩擦因数为μ(0<μ<1)。现对木箱施加一拉力F,使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平地面的夹角为θ,如图所示,在θ从0逐渐增大到90°的过程中,木箱的速度保持不变,则(

)A.F先减小后增大

B.F一直增大C.F一直减小

D.F先增大后减小答案:A-141-解析:木箱受力如图,将支持力FN和滑动摩擦力Ff合成为一个力F合,由Ff=μFN可知,tanα=μ。由平衡条件可知,将三个力按顺序首尾相接,可形成如图所示闭合三角形,其中重力mg保持不变,F合的方向始终与竖直方向成α角。则由图可知,当θ从0逐渐增大到90°的过程中,F先减小后增大。-142-类型二

静摩擦力类临界问题静摩擦力允许在一定范围内变化:-Ffm≤Ff≤Ffm,Ffm=μ0FN。将弹力和静摩擦力合成为一个力,这个力的方向也就允许在一定范围内变化。-143-【例4】如图所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴距离2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面的夹角为30°,g取10m/s2。则ω的最大值是(

)答案:C-144-解析:垂直圆盘向下看,物体受力如图所示,静摩擦力Ff和重力沿圆盘向下的分力mgsin30°的合力即向心力ma。将这两个力按顺序首尾相接,与它们的合力ma形成闭合三角形,其中mgsin30°保持不变、ma大小不变,静摩擦力Ff≤μmgcos30°。由图易知,当小物体转到最低点时,静摩擦最大,为Ffm=mgsin30°+mω2r≤μmgcos30°,解得ω≤1.0

rad/s。-145-练

如图所示,轻杆的一端固定一光滑球体,杆的另一端O为自由转动轴,而球又搁置在光滑斜面上。若杆与墙面的夹角为β,斜面倾角为θ,开始时轻杆与竖直方向的夹角β<θ,且θ+β<90°,则为使斜面能在光滑水平面上向右做匀速直线运动,在球体离开斜面之前,作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力FT和地面对斜面的支持力FN的大小变化情况是(

)

A.F逐渐增大,FT逐渐减小,FN逐渐减小B.F逐渐减小,FT逐渐减小,FN逐渐增大C.F逐渐增大,FT先减小后增大,FN逐渐增大D.F逐渐减小,FT先减小后增大,FN逐渐减小答案解析解析关闭答案解析关闭微专题十

物体的动态平衡问题解题技巧-147-动态平衡问题的产生:三个平衡力中一个力已知恒定,另外两个力的大小或者方向不断变化,但物体仍然平衡。典型关键词:缓慢转动、缓慢移动……动态平衡问题的解法——解析法、图解法解析法:画好受力分析图后,正交分解或者斜交分解列平衡方程,将待求力写成三角函数形式,然后由角度变化分析判断力的变化规律。图解法:画好受力分析图后,将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形,然后根据不同类型的不同作图方法,作出相应的动态三角形,从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。动态平衡问题的分类:动态三角形、相似三角形、圆与三角形(2类)、其他特殊类型。-148-一个力大小方向均确定,一个力方向确定大小不确定,另一个力大小方向均不确定——动态三角形【例1】如图,一小球放置在木板与竖直墙面之间。设墙面对球的压力大小为FN1,球对木板的压力大小为FN2。以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴,将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。不计摩擦,在此过程中(

)A.FN1始终减小,FN2始终增大B.FN1始终减小,FN2始终减小C.FN1先增大后减小,FN2始终减小D.FN1先增大后减小,FN2先减小后增大答案:B-149-解法一:解析法——画受力分析图,正交分解列方程,解出FN1、FN2随夹角变化的函数,然后由函数讨论。解析:小球受力如图,由平衡条件,有FN2sinθ-mg=0,FN2cosθ-FN1=0木板在顺时针放平过程中,θ角一直在增大,可知FN1、FN2都一直在减小。-150-解法二:图解法——画受力分析图,构建初始力的三角形,然后“抓住不变,讨论变化”,不变的是小球重力和FN1的方向,然后按FN2方向变化规律转动FN2,即可看出结果。解析:小球受力如图,由平衡条件可知,将三个力按顺序首尾相接,可形成如图所示闭合三角形,其中重力mg保持不变,FN1的方向始终水平向右,而FN2的方向逐渐变得竖直。则由图可知FN1、FN2都一直在减小。-151-一个力大小方向均确定,另外两个力大小方向均不确定,但是三个力均与一个几何三角形的三边平行——相似三角形【例2】半径为R的球形物体固定在水平地面上,球心正上方有一光滑的小滑轮,滑轮到球面B的距离为h,轻绳的一端系一小球,靠放在半球上的A点,另一端绕过定滑轮后用力拉住,使小球静止,如图所示。现缓慢地拉绳,在使小球由A点到B点的过程中,半球对小球的支持力FN和绳对小球的拉力FT的大小变化的情况是(

)A.FN变大,FT变小B.FN变小,FT变大C.FN变小,FT先变小后变大D.FN不变,FT变小答案:D-152-解法一:解析法(略)解法二:图解法——画受力分析图,构建初始力的三角形,然后观察这个力的三角形,发现这个力的三角形与某个几何三角形相似,可知两个三角形对应边的边长比值相等,再看几何三角形边长变化规律,即可得到力的大小变化规律。-153-解析:小球受力如图,由平衡条件可知,将三个力按顺序首尾相接,可形成如右图所示闭合三角形。很容易发现,这三个力与△AOO'的三边始终平行,即力的三角形与几何三角形△AOO'相似。其中,mg、R、h均不变,L逐渐减小,则由上式可知,FN不变,FT变小。-154-一个力大小方向均确定,一个力大小确定但方向不确定,另一个力大小方向均不确定——圆与三角形【例3】在共点力的合成