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文档简介
5.1.1任意角
教学目标:
1.通过阅读章引言,了解三角函数的背景,体会三角函数与现实世界的密切联系,了
解学习三角函数的必要性;
2.了解任意角以及象限角的概念,会判断一个任意角是第几象限角,发展数学抽象素
养;
3.掌握所有与角。终边相同的角(包括角的表示方法.
教学重点:将0。到360。范围的角扩充到任意角;终边相同的角.
教学难点:任意角概念的建构;“0°〜90。的角”、“第一象限角”、“锐角”、“小于90°的
角”这些概念之间的关系.
教学过程:
(―)整体感知
问题1:请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言,再回答如下问题:
(1)本章将要学习的函数是什么?
(2)这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题?你能举出具体例子吗?
(3)你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗?
预设的师生活动:学生独立阅读教科书,再回答上述问题.
预设答案:(1)本章将要学习的函数是三角函数;(2)三角函数可以用来刻画现实生活
中的一些周期现象,例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等;(3)研究函
数的一般思路是:先给出函数的定义,通过定义作出图象,再由图象研究性质,最后是函数
的应用.
设计意图:明确本章研究内容、目的、简单的过程和方法,为本章的研究指明方向.
(二)新知探究
1.任意角的概念、运算
引导语:我们知道,现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象,圆周运动是
这类现象的代表.
问题2:如图1,。。上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转,如何刻画点P的位
置变化呢?
预设的师生活动:学生独立思考,并回答问题(链接Geogebra/A
'A
1
1X7I1
动画).
预设答案:通过角的变化进行刻画.
说明:“刻画”这个词用在问题2中虽然比较准确,但学生可能不能理解它的含义,因
此,我们可以用信息技术(如Geogebra)将这种旋转的过程体现出来,尤其是将线段0P用
鲜艳的颜色突显出来,学生自然就会想到点P的运动可以看成是由线段的运动带动点的运
动(其实就是射线的运动带动了点的运动),由此让学生可以理解,这种“刻画”就是“描
述”“反映”等,另外,主要让学生可以发现圆周上点的运动与角的关系.
设计意图:通过具体问题引出本节课的研究主题一一角(版书).
问题3:我们以前所学角都在0°~360°的范围内,生活中有超出0°-360°角的例
子吗?请你举例说明.
预设的师生活动:学生独立思考,并举手回答问题.
预设答案:例如,体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”(如图2);如果
要将钟表调快一个半小时,那么分针就会顺时针旋转超过360。(如图).
图2⑴
追问1:这些角的不同,体现在哪几个方面?
预设答案:两个方面,一是大小;二是方向.
设计意图:一方面加强数学与我们现实生活的联系,说明学习数学是有用的;另一方面,
学生在用语言描述这些超出0°-360°角的时候,会发现用静态角的定义不再适合,让他
们体会到:要想说清楚这些角,有必要将角的范围进行拓展,而且需要从动态的角度重新定
义角.
追问2:假如你的手表快了1.25小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针
转了多少度?从几个方向描述角?
预设的师生活动:学生独立思考,并举手回答问题.
预设答案:逆时针旋转;分针会旋转450°(链接Geogebra动画).假如校准前如图(1),
2
校准后应该为图(2).
图3(1)图3(2)
设计意图:通过这个具体的例子让学生理解:要想说清楚一个角,包括两个方面,一是
旋转方向;二是旋转量.
追问3:以上问题中对角的描述的共性是什么?
预设的答案:都要说清楚角的大小及旋转方向.
问题4:请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段前,再回答下列问
题:根据旋转方向的不同,角可以分为哪几类?分别是什么?这种定义方法和分类办法是与
之前的哪个知识进行类比的?
预设的师生活动:学生独立阅读课文,再举手回答上述问题.
预设答案:一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转
形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角,因此,角可以
分为正角、负角、零角.这种定义方法和分类办法都是与实数进行类比的.
设计意图:明确了通过推广以后角的定义,知道了角是“转”出来的,关键是对旋转方
向的量化可以通过类比实数,用符号表示方向.
练习1:你能分别作出210°、-150°、750°、-660°吗?
预设的师生活动:学生作图,教师用Geogebra展示动画作图过程.
预设答案:如图3(1)(2)(3)(4).
3
设计意图:熟悉正角、负角的定义,理解“符号”与“方向”之间的关系,从数到形的
认识.
追问1:你知道什么是两角相等?两角相加又是怎样规定的?
预设的师生活动:学生回答.
预设答案:如果两角的旋转方向相同且旋转量相等,就称两角相等;规定:把角。的终
边旋转角£,这时终边所对应的角是。+£.
设计意图:定义了一个具有数量特征的数学概念之后,紧接着需要研究的就是两个这种
数学对象之间的关系以及运算问题.
追问2:你知道什么是互为相反角?两角怎样相减?
预设的师生活动:学生回答.
预设答案:如果两角的旋转方向不同且旋转量相等,就称两角互为相反角;类比实数减
法,我们有。一£=。+(一£).
设计意图:类比实数,得到相反角的定义及两个任意角之间的减法运算.
练习2:你能用作图的方式反映出30°与-30°;30°+120°与150°;30°-120°与
-90°的关系吗?
预设的师生活动:学生分别作图并说明.
预设答案:如图5(1)(2)(3).
4
B
Bi
追问:对于一般的a—£呢,你能类比实数给出相应说明吗?
预设答案:对于一般的a—£,如果。>£,则。一£>0°;如果则。一£旬°;
如果a<£,则a—£<0°.从图形上看,就是把角a的终边旋转角一£(若£>0°,则
顺时针旋转I£|;若£<0。,则逆时针旋转|£|;若£旬°,则不作旋转),这时终边
所对应的角是a—8.
设计意图:通过具体例子加强学生对相等角、相反角、角的加法、减法的理解,并能推
广到一般情形,这里体现了具体与抽象、特殊与一般的数学思想方法.
2.象限角
问题5:在直角坐标系中研究角,其顶点和始边的位置是如何规定的?根据其终边位置
的不同,又可以把角分为哪几类?在直角坐标系内讨论角有什么好处呢?
预设的师生活动:学生互相交流后,再回答.
预设答案:为了方便,使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合;根据
角终边所在象限,将角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角;在直角坐标系中讨
论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律.
设计意图:让学生明确在直角坐标系中讨论角需要有一个统一的标准.在这个统一前提
下,才能对象限角进行定义.另外,终边落在坐标轴上是一种“边界”状态,因此规定它不
属于任何一个象限更方便.这样讨论角的好处就是:在同一“参照系”下,可以使角的讨论
得到简化,由此还能使角的终边位置“周而复始”现象得到有效表示.
练习3:教材第171页第1、2、3题.
预设的师生活动:由学生逐题给出答案.
预设答案:1.锐角是第一象限角,第一象限角不一定是锐角;直角是终边落在y轴非
5
负半轴上的角,终边落在y轴非负半轴上的角不一定是直角;钝角是第二象限角,第二象限
角不一定是钝角.
2.三,三,五.
3.(1)第一象限角;(2)第四象限角;(3)第二象限角;(4)第三象限角.
设计意图:检验学生对象限角的理解情况.
3.终边相同的角
问题6:在直角坐标系中,将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,
那么与一32°角终边重合的角还有哪些?有多少个?它们与一32°角有什么关系?能不能
用集合的形式将它们表达出来?将一32°推广到一般角结论应该是什么?
预设的师生活动:教师演示(链接Geogebra动画),学生观察并思考后,再举手回答.
预设答案:还有一392°、328。、688°等等;有无数个;相差360°的整数倍;
{£|£=一32°+A-360°,kG办;{£|360°,
设计意图:通过动画演示与回答问题,使学生明确:(1)终边相同的角不一定相等;(2)
终边相同的角有无数个,这些角有“始边、终边都相同”的共同特征;(3)这无数多个终边
相同的角在数量上都是相差360。的整数倍.
例1在0°-360°范围内,找出与一950。12,角终边相同的角,并判定它是第几象
限角.
预设的师生活动:先由学生独立计算,再回答.
追问:与一950。12,角终边相同的角都有什么共同点?
预设答案:相差360。的整数倍;与一950。12'角终边相同的角可以写成{£I£=—
950°12,+A-360°,,当公3时,£=129°48',它是第二象限角.
设计意图:熟悉终边相同的角的表示,并会在0。〜360。范围内找出与已知角终边相
同的角,判定其为第几象限角,为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等
奠定基础.
例2写出终边在y轴上的角的集合.
预设的师生活动:学生先独立完成,再相互交流.
追问:这些角终边在几条射线上?终边落在每条射线上的角如何表示?这两条射线上的
角都相差多少度?能不能用一个集合表示这所有的角?
预设答案:两条;y轴正、负半轴上的角的集合分别为{£I£=90°+4・360°,反
6
2、{£I£=270°+A-3600,Ae2;相差180°的整数倍;{£I£=90°+A・180°,
kG%.
设计意图:此题是终边在坐标轴上的角的表示.应引导学生体会用集合表示终边相同的
角时,表示方式不唯一,要注意采用简约的形式.另外,分析终边与y轴的正半轴、负半轴
分别重合的两个角的集合的联系,可以简化集合的表示,实质是“终边组成一条直线”的代
数解释:“两个集合中的元素相差180°的整数倍
设计意图:让学生熟悉简化角的集合的表示方法.
例3写出终边在直线y=X上的角的集合S.S中适合不等式一360。W£<720。的
元素£有哪些?
预设的师生活动:由学生独立完成后,让学生代表进行展示.
追问:在求出角之前,你能判断满足条件角的个数吗?判断的根据是什么?
预设答案:六个;所求角的范围包含了三周;&{£I£=45°+A-180°,-
315°、-135°、45°、225°、405°、585°.
设计意图:此题主要是巩固终边相同的角的表示.为了使学生顺利完成相应的集合运算,
可以先让学生用日常语言描述一下集合的特征.
(三)归纳小结
问题5:通过本节课的学习,你能说出本章将要学习什么内容?其作用是什么?其基本
的研究方法是什么?本节课关于角的概念出现了几个定义?分别是怎样规定的?你能从数
与形两个角度进行描述吗?能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容?
预设的师生活动:学生自主总结,展示交流.
预设答案:三角函数;刻画周期现象;与其它基本初等函数一样,先抽象出定义,再由
定义作出图象,观察图象研究性质,最后是其初步应用;角的概念主要是任意角、象限角、
终边相同的角,规定:一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方
向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角.在直角
坐标系中,将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象
限就称角为第几象限角.在直角坐标系中,将角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负
半轴重合,所有与角。终边相同的角,连同角。在内,可构成一个集合&{£|£=a+"・360°
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