人教A版（2019）高中数学必修第一册5.1.1任意角

5.1.1任意角

教学目标：

1.通过阅读章引言，了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系，了

解学习三角函数的必要性；

2.了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素

养；

3.掌握所有与角。终边相同的角（包括角的表示方法.

教学重点：将0。到360。范围的角扩充到任意角；终边相同的角.

教学难点：任意角概念的建构；“0°〜90。的角”、“第一象限角”、“锐角”、“小于90°的

角”这些概念之间的关系.

教学过程：

（―）整体感知

问题1：请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如下问题：

（1）本章将要学习的函数是什么？

（2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具体例子吗？

（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？

预设的师生活动：学生独立阅读教科书，再回答上述问题.

预设答案：（1）本章将要学习的函数是三角函数；（2）三角函数可以用来刻画现实生活

中的一些周期现象，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；（3）研究函

数的一般思路是：先给出函数的定义，通过定义作出图象，再由图象研究性质，最后是函数

的应用.

设计意图：明确本章研究内容、目的、简单的过程和方法，为本章的研究指明方向.

（二）新知探究

1.任意角的概念、运算

引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是

这类现象的代表.

问题2：如图1,。。上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点P的位

置变化呢？

预设的师生活动：学生独立思考，并回答问题（链接Geogebra/A

'A

1

1X7I1

动画）.

预设答案：通过角的变化进行刻画.

说明：“刻画”这个词用在问题2中虽然比较准确，但学生可能不能理解它的含义，因

此，我们可以用信息技术（如Geogebra）将这种旋转的过程体现出来，尤其是将线段0P用

鲜艳的颜色突显出来，学生自然就会想到点P的运动可以看成是由线段的运动带动点的运

动（其实就是射线的运动带动了点的运动），由此让学生可以理解，这种“刻画”就是“描

述”“反映”等，另外，主要让学生可以发现圆周上点的运动与角的关系.

设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题一一角（版书）.

问题3：我们以前所学角都在0°~360°的范围内，生活中有超出0°-360°角的例

子吗？请你举例说明.

预设的师生活动：学生独立思考，并举手回答问题.

预设答案：例如，体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”（如图2）；如果

要将钟表调快一个半小时，那么分针就会顺时针旋转超过360。（如图）.

图2⑴

追问1：这些角的不同，体现在哪几个方面？

预设答案：两个方面，一是大小；二是方向.

设计意图:一方面加强数学与我们现实生活的联系，说明学习数学是有用的;另一方面，

学生在用语言描述这些超出0°-360°角的时候，会发现用静态角的定义不再适合，让他

们体会到：要想说清楚这些角，有必要将角的范围进行拓展，而且需要从动态的角度重新定

义角.

追问2：假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针

转了多少度？从几个方向描述角？

预设的师生活动：学生独立思考，并举手回答问题.

预设答案:逆时针旋转；分针会旋转450°（链接Geogebra动画）.假如校准前如图（1）,

2

校准后应该为图(2).

图3(1)图3(2)

设计意图：通过这个具体的例子让学生理解：要想说清楚一个角，包括两个方面，一是

旋转方向;二是旋转量.

追问3：以上问题中对角的描述的共性是什么？

预设的答案：都要说清楚角的大小及旋转方向.

问题4：请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段前，再回答下列问

题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种定义方法和分类办法是与

之前的哪个知识进行类比的？

预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题.

预设答案：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转

形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，因此，角可以

分为正角、负角、零角.这种定义方法和分类办法都是与实数进行类比的.

设计意图：明确了通过推广以后角的定义，知道了角是“转”出来的，关键是对旋转方

向的量化可以通过类比实数，用符号表示方向.

练习1：你能分别作出210°、-150°、750°、-660°吗？

预设的师生活动：学生作图，教师用Geogebra展示动画作图过程.

预设答案：如图3(1)(2)(3)(4).

3

设计意图：熟悉正角、负角的定义，理解“符号”与“方向”之间的关系，从数到形的

认识.

追问1:你知道什么是两角相等？两角相加又是怎样规定的？

预设的师生活动：学生回答.

预设答案：如果两角的旋转方向相同且旋转量相等，就称两角相等；规定：把角。的终

边旋转角£,这时终边所对应的角是。+£.

设计意图：定义了一个具有数量特征的数学概念之后，紧接着需要研究的就是两个这种

数学对象之间的关系以及运算问题.

追问2：你知道什么是互为相反角？两角怎样相减？

预设的师生活动：学生回答.

预设答案：如果两角的旋转方向不同且旋转量相等，就称两角互为相反角；类比实数减

法，我们有。一£=。+(一£).

设计意图：类比实数，得到相反角的定义及两个任意角之间的减法运算.

练习2：你能用作图的方式反映出30°与-30°；30°+120°与150°；30°-120°与

-90°的关系吗？

预设的师生活动：学生分别作图并说明.

预设答案：如图5(1)(2)(3).

4

B

Bi

追问：对于一般的a—£呢，你能类比实数给出相应说明吗？

预设答案:对于一般的a—£,如果。>£,则。一£>0°;如果则。一£旬°;

如果a<£,则a—£<0°.从图形上看，就是把角a的终边旋转角一£（若£>0°,则

顺时针旋转I£|；若£<0。，则逆时针旋转|£|；若£旬°,则不作旋转），这时终边

所对应的角是a—8.

设计意图：通过具体例子加强学生对相等角、相反角、角的加法、减法的理解，并能推

广到一般情形，这里体现了具体与抽象、特殊与一般的数学思想方法.

2.象限角

问题5：在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置是如何规定的？根据其终边位置

的不同，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？

预设的师生活动：学生互相交流后，再回答.

预设答案：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合；根据

角终边所在象限，将角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角；在直角坐标系中讨

论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律.

设计意图：让学生明确在直角坐标系中讨论角需要有一个统一的标准.在这个统一前提

下，才能对象限角进行定义.另外，终边落在坐标轴上是一种“边界”状态，因此规定它不

属于任何一个象限更方便.这样讨论角的好处就是：在同一“参照系”下，可以使角的讨论

得到简化，由此还能使角的终边位置“周而复始”现象得到有效表示.

练习3：教材第171页第1、2、3题.

预设的师生活动：由学生逐题给出答案.

预设答案：1.锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角是终边落在y轴非

5

负半轴上的角，终边落在y轴非负半轴上的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限

角不一定是钝角.

2.三，三，五.

3.（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.

设计意图：检验学生对象限角的理解情况.

3.终边相同的角

问题6：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合,

那么与一32°角终边重合的角还有哪些？有多少个？它们与一32°角有什么关系？能不能

用集合的形式将它们表达出来？将一32°推广到一般角结论应该是什么？

预设的师生活动：教师演示（链接Geogebra动画），学生观察并思考后，再举手回答.

预设答案：还有一392°、328。、688°等等；有无数个；相差360°的整数倍；

{£|£=一32°+A-360°,kG办;{£|360°,

设计意图：通过动画演示与回答问题，使学生明确：（1）终边相同的角不一定相等；（2）

终边相同的角有无数个，这些角有“始边、终边都相同”的共同特征；（3）这无数多个终边

相同的角在数量上都是相差360。的整数倍.

例1在0°-360°范围内，找出与一950。12,角终边相同的角，并判定它是第几象

限角.

预设的师生活动：先由学生独立计算，再回答.

追问：与一950。12,角终边相同的角都有什么共同点？

预设答案：相差360。的整数倍；与一950。12'角终边相同的角可以写成{£I£=—

950°12,+A-360°,,当公3时，£=129°48',它是第二象限角.

设计意图：熟悉终边相同的角的表示，并会在0。〜360。范围内找出与已知角终边相

同的角，判定其为第几象限角，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等

奠定基础.

例2写出终边在y轴上的角的集合.

预设的师生活动：学生先独立完成，再相互交流.

追问：这些角终边在几条射线上？终边落在每条射线上的角如何表示？这两条射线上的

角都相差多少度？能不能用一个集合表示这所有的角？

预设答案：两条；y轴正、负半轴上的角的集合分别为{£I£=90°+4・360°,反

6

2、{£I£=270°+A-3600,Ae2；相差180°的整数倍；{£I£=90°+A・180°,

kG%.

设计意图：此题是终边在坐标轴上的角的表示.应引导学生体会用集合表示终边相同的

角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式.另外，分析终边与y轴的正半轴、负半轴

分别重合的两个角的集合的联系，可以简化集合的表示，实质是“终边组成一条直线”的代

数解释：“两个集合中的元素相差180°的整数倍

设计意图：让学生熟悉简化角的集合的表示方法.

例3写出终边在直线y=X上的角的集合S.S中适合不等式一360。W£<720。的

元素£有哪些？

预设的师生活动：由学生独立完成后，让学生代表进行展示.

追问：在求出角之前，你能判断满足条件角的个数吗？判断的根据是什么？

预设答案：六个；所求角的范围包含了三周；&{£I£=45°+A-180°,-

315°、-135°、45°、225°、405°、585°.

设计意图:此题主要是巩固终边相同的角的表示.为了使学生顺利完成相应的集合运算,

可以先让学生用日常语言描述一下集合的特征.

（三）归纳小结

问题5：通过本节课的学习，你能说出本章将要学习什么内容？其作用是什么？其基本

的研究方法是什么？本节课关于角的概念出现了几个定义？分别是怎样规定的？你能从数

与形两个角度进行描述吗？能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？

预设的师生活动：学生自主总结，展示交流.

预设答案：三角函数；刻画周期现象；与其它基本初等函数一样，先抽象出定义，再由

定义作出图象，观察图象研究性质，最后是其初步应用；角的概念主要是任意角、象限角、

终边相同的角，规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方

向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.在直角

坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象

限就称角为第几象限角.在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负

半轴重合，所有与角。终边相同的角，连同角。在内，可构成一个集合&{£|£=a+"・360°