![第五章一元函数积分学_第1页](http://file4.renrendoc.com/view4/M01/3C/20/wKhkGGaFwEOAOPPSAAEmu4npTXA410.jpg)
![第五章一元函数积分学_第2页](http://file4.renrendoc.com/view4/M01/3C/20/wKhkGGaFwEOAOPPSAAEmu4npTXA4102.jpg)
![第五章一元函数积分学_第3页](http://file4.renrendoc.com/view4/M01/3C/20/wKhkGGaFwEOAOPPSAAEmu4npTXA4103.jpg)
![第五章一元函数积分学_第4页](http://file4.renrendoc.com/view4/M01/3C/20/wKhkGGaFwEOAOPPSAAEmu4npTXA4104.jpg)
![第五章一元函数积分学_第5页](http://file4.renrendoc.com/view4/M01/3C/20/wKhkGGaFwEOAOPPSAAEmu4npTXA4105.jpg)
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
第五章一元函数积分
【字体:大中小】【打印】
学
5.1原函数和不定积分的概念
一、原函数与不定积分的概念
:♦一手写板图示0501-01
(x2)*=2x
(?);=x2
X3
©'=X2飞-是d的一个原函数
Y3y3
(=+5)'=x2—+C
0u
定义:如果在区间I内,存在可导函数F(x)使Vxe/都有F(x)=f(x)或dF
(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x)在区间1内原函数。
9
例:(sinx)=cosx,sinx是cosx的原函数。
,J1
(Inx)=-(x>0)
x
J.
Lnx是%在区间(0,+co)内的原函数。
.•手写板图示0501-02
F'(x)=f(x)dF(x)=F'(x)■dx
dF(x)=f(x)dx
原函数存在定理:
如果函数f(x)在区间I内连续,那么在区间I内存在可导函数F(x),使VxC/,
都有F(x)=f(x)»
简言之:连续函数•一定有原函数。
问题:(1)原函数是否唯一?
(2)若不唯一它们之间有什么联系?
例:(sinx)'=cosx(sinx+C)'=cosx
(C为任意常数)
关于原函数的说明:
(1)若F'(x)=f(x),则对于任意常数C,F(x)+C都是f(x)的原函数。
(2)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数,则F(x)-G(x)=C(C为任意常数)
证•.•[F(x)-G(x)]'=F'(x)-G'(x)
=f(x)=f(x)=0
.•.F(x)-G(x)=C(C为任意常数)
不定积分的定义:
函数f(x)的全体原函数的集合称f(x)的不定积分,记为/f(x)dx„
=+其中/为“积分号”,f(x)为被积函数,f(x)dx为被积表
达式,C为任意常数。
"手写板图示0501-05
ScosXdx=sinX4-C
例:求w
【答疑编号11050101:针对该题提问】
例:求'1+/。
【答疑编号11050102:针对该题提问】
(1
■:(arctanx)=-----,
解:l+x'
1
/.fI-----dx=arctanx+C.
J1+x2
积分曲线
例设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求
此曲线方程。
【答疑编号11050103:针对该题提问】
解:设曲线方程为y=f(x),
型=2x
根据题意知公
即f(x)是2x的一个原函数。
,:[2xdx=x:+C,/(x)=x2+C
由曲线通过点(1,2)=0=1
所求曲线方程为y=x2+l1,
函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。显然,求不定积分得到一积分
曲线族。
不定积分的性质
幺]f(x)司=f(x)dx]=f8dx
I-上手写板图示0501-07
dd
—[f(x)dx]=[F(x)+C]
axax
=F/(x)=f(x)
Tf(x)dx=F(x)+c
d[Jf(X)dx]=[Tf(X)dx]/■dx
=f(X)dx
IF\x)dx=尸(x)+C,|dF(x)=F(x)+C
上手写1板图示0501-08
.T(F^(x^dx=F(x)4-C
JdF(x)=jF'(x)dx=F(x)4-C
结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
5.2基本积分公式
产1r广]
--=xu^\xudx=-—+C(〃H-1)
实例+L*〃+1
启示能否根据求导公式得出积分公式?
结论既然积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式。
基本积分表
\kdx=kx+C(A^:常数);
./-I
Ixudx=--+C
(2)J〃+1
人手写板图示0501-09
J---dx
x
Un|x|"in(-x\x<0
\AA-^AZ
(In|x|)=<
^lnxx>0
f■(-1)x<0
一X
(In|x|)「=v
、—x>0
x
x>02[—=lnx+C
说明:•x
x<0sDn(-x)y=—(-x/=l
-xX
=>|—=ln(-x)-FC:.*.|—=In|x|4-C;
JxJx
rdx_
I—=tInx+C
简写为.x
I—=arctanx+C
(4)'l+x,
■木手写板图示0501-11
f---------7dx=-azccotX+C
1+X2
[J、dx=arcsinx+C
⑸.Jl一片;
⑹[cosxd!r=sinx+C
[sinxtir=~cosx+C
\7)';
I空=Isec:xc£r=tanx+C
(8),cos"x"
j坐=[csc2x(iv=-cotx+C
(9)'sinx」
a。)[secxtanAz/x=secx+C
Iescxcotxdx=-escx+C
(11)!;
Iexdx=ez4-C
(12)J;
faxdx=——I-C
(13)"Ina;
例:求积分卜五心
【答疑编号11050104:针对该题提问】
5
解:住屁<=,么
x^dx=^—+C
根据积分公式(2)//+1
=-——+C=—x?+C
5.7
-+1
不定积分的性质
|[/(x)±^(x)]dx=[/(xXx±|g(xXr
(1八••;
f
证•••[j”X)去士]g(x)同
ff
=[J±[[g(x)&]=/(x)±g(x)
,等式成立。
(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)
⑵闪8gmM(k是常数,2。)
=3axctanX-2axcsinX+C
3(axctanX+C.)-2(axcsinX+C2)
3J-2c2
例:求积分’l+x'Vl-x2。
【答疑编号11050201:针对该题提问】
解:1+X'J/
=3.昌
dx
=3arctanx-2arcsinx+C
r1+X+J?.
I------v-dx
例:求积分.xQ+f)o
【答疑编号11050202:针对该题提问】
fl+x+x2,fx+Q+x2).
----T-dx=----^—dx
解:」xQ+大)」xQ+大)
=arctanx+lnx+C
[\+2x\dx
例:•x*(l+x*)
(答疑编号11050203:针对该题提问]
rl+2x*,r1+x2+x"
dx
J/-Q-+x--2)-----•--x-'-(-l—+x2)
解:
=一一+arctanx+C
x
.•几手写板图示0502-03
=arctanx+ln|x|+C
1+2x?
dx=尊厘dx
x"H)/(Ik)
X2,.」
X^l+x2)x"S)
t
口云手写板图示0502-04
例:-1+x'
【答疑编号11050204:针对该题提问】
写板图示0502-05
X4
----dx
(lk)
4
x-l+lJ
(1+x2)
_(x:-l)(x:+D
------=-dx+工^dx
1十好
=J(xi-l)dx+arctanx
x3
=—x+arctanx+C
例:已知f(x)之一原函数为sin3x,求/f'(x)dxo
【答疑编号11050205:针对该题提问】
写板图示0502-06
sin3xjfa)七
由sin3x是f(x)的原函数:
得(sin3x)=f(x)
f(x)=3cos3x
f'(x)dx=f(x)+C=3cos3x+C
【答疑编号11050206:针对该题提问】
手写板图示0502-07
例:求Ox?时。
【答疑编号11050207:针对该题提问】
_JL________
例屈
【答疑编号11050208:针对该题提问】
例:设[ln,(x)]'=se「x,求f(X)。
【答疑编号11050209:针对该题提问】
:美手写板图示O5O2TO7
由[Inf(x)]"=sec2xf(x)=?
得Inf(x)是sec2x的一个原函数
Jsec2xdx=tanx+C
Inf(x)=tanx+C
f(x)=etans*C
f(x)=eC-etani
=k-etanz
x2++
dx
例:
【答疑编号11050210:针对该题提问】
二手写板图示O5O2T1、
1_213
=E1-x,+号+3•-^-x2+c
”23+1
=再之+孝+2x-+C
D,
[sin:—dx
例:,2;
【答疑编号11050211:针对该题提问】
年手写板图示0502T2
rcos2x,
|------------;——ax
例:-cosx+sinx
【答疑编号11050212:针对该题提问】
手写1板图示O5O2T3、
cos2x,
---------OX
cosx+sinx
\一
cos'x-sin'xj
-------------dx
cosx+sinx
(cosx+sinx)(cosx-sinx)
--------:-----------dx
cosx+sinx
f2
石tan^xor
例:。
【答疑编号11050213:针对该题提问】
写板图示O5O2T4
tan'城v=|(sec2x-l)dr=|sec2dx-1dx
解:」
例:设尸(/)=1+/',且f(0)=1,求f(x).
【答疑编号11050214:针对该题提问】
解:因为''(2')=1+产,若设u=e\则f'(u)=l+u
所以f(x)是1+x,的一个原函数,而
1(1+/)办=[dx+[xse&=x+^-4-C
X4
/(x)=x+----kC
故4。又f(0)=1,从而C=l。因此
X4
/(x)=-+x+l
:写板图示0502-15
f,(es)=l+e3xf(O)=l求f(x)
令e'=t贝Uf'(t)=l+t3
Jf*(t)dt=J(l+t3)dt
t4
f(t)=t+-J-+C
4
f(x)=X+C将f(0)=1代入,
1=C
4
f(x)=x+-1-+1
【答疑编号11050215:针对该题提问】
rcos2x.
|—-----^r-dx
例:•sinxcosx
【答疑编号11050216:针对该题提问】
♦-手写板图示0502-17
cos2x,
-2------2北
sinxcos,
i
P-
-cos2x-sin2x,
-2----:—dx
sinxcos'x
v
=(-\--^2-)dx
sinzxcos,x
i
=Jcsc2xdx-Jsec2xdx
=一cotx-tanx+C
卜一、.J
例:"sinxcosx。
【答疑编号11050217:针对该题提问】
【答疑编号11050218:针对该题提问】
.•2手写板图示0502T9
2x
--dx
ex+l
域为
ex+l
ZeX-l)(eX
=J(eX-l)dx=e'r+c
I-----------dx
例:求积分-l+cos2x
【答疑编号11050219:针对该题提问】
--dx
解:•l+cos2x
1r11八
=------ax=—tanx+C
2•cos'x2
说明:以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表。
四、小结
原函数的概念:*(x)=f(X)
\f(x)dx=F(x)+C
不定积分的概念:J
基本积分表(1)
求微分与求积分的互逆关系
不定积分的性质
5.3换元积分法
一、第一类换元法
的Icos2xdx=sin2x4-C
问题J
解决方法利用复合函数,设置中间变量。
t=2x=>dx=-dt
过程令2
|cos2xdr=[cosrcfr=—sinr+C=—sin2x+C.
22
手写板图示0503-01
Je3xdX
法一:Je3xdx=f(e3)Xdx
3x
-^-+c
Ine
e3x
=T+c
法二:fexdx=eX+C
feudu=eu+C
f&口d[]=8口+C
1…凑微法
入3,喳=丁麴
u=3x1i
WJeudu=-eu+C
3J
=4e3X+C
3
4E写板图示0503-03
fcos2XdxfcosQdQ=sin[]+C
=-J-sin2x+C
2
在一般情况下:
设F,(u)=f(u),则J/Q)d"=F(")+C
如果〃=0(X)(可微)
阻dx)]=/Idx)W(x)dx
二|/Idx)W(x)改=F[火x)]+C
=[J/Q)A]y)由此可得换元法定理。
-,-手写板图示0503-04
sTf(u)du=F(u)+C
u=3(X)
有Jf(<P(x))d<P(x)S=F(<?(x))+C
SsinXdx=_cosx+C
JsinQdn=_cosQ+C
定理设f(u)具有原函数,〃=例>)可导,则有换元公式
[/[底切”(》)於=("(")加5第.一类换元公式(凑微分法)
说明使用此公式的关键在于将Jg(x"化为[/[dx)W(xM
观察重点不同,所得结论不同。
sin2xdx.
例:
【答疑编号11050301:针对该题提问】
|sin2xdx=-|sin2>z/(2x)
解(一)*2♦
»-手写板图示0503-05
fsin2Xdx/sinQd[J=-cos[2]4-C
=4-Tsin2xd2xd2x=2dx
23006
==(-cos2X)+C=—-cos2x+c
22
解(二)'I'sin2xdx=2•'1sinxcosxdx
=2|sin(sinx)=(sinx)'4-C
|sin2xdx=21sinxcosxdx
解(三)
-2|cosxrf(cosx)=-(cosx),+C
f---dx
例:求3+2X
【答疑编号11050302:针对该题提问】
111
・(3+2x)'
解:3+2x23+2x
mW13+12x
(3+2x)'去
=—|=—lnu+C=—In(34-2x)4-C
2•〃22
jf(ax+b)去=匕"Q)d4
一般地.a■
手写板图示0503-07
=-^-ln|3+2x|+c
.[xe~dx
例:求J
例:求卜OSX*Xdx
【答疑编号11050304:针对该题提问】
一„Itanxdx
例:求J
【答疑编号11050305:针对该题提问】
;友手写板图示O5O3T1
StanXdx=Jsi"'
COSxdx
—f---------sinXdx=-S-----dcosX
COSXCOSx
=_lncosX+C
例:求’9-x’
【答疑编号11050306:针对该题提问】
-S-^^9-xZ)
49—X
=—yln|9—X2\+C
求.小x
例:
【答疑编号11050307:针对该题提问】
卮交手与板图示O5O3T3
J1。dX
9—好
f--------
」(3-x)(3+x)
1,1、
+多)6
3—x
dx+J——dx
3+X
d(3—x)+J——d(3+x)
3十X
_13-X卜In曲+X0+C
6
13+义
+C
63—x
f-..-----dx
例:求.x-lx-3
【答疑编号11050308:针对该题提问】
Q-手写板图示O5O3T4
Jr—----1----------dx
x—2x—3
J-dx
x—2x—3
2x—2
—/""2'dX
2x—2x—3
]d(x2—2x—3)
9
x—2x—3
1In|x2—2x—314~C
2
:工手写板图示0503T5
JDX=S(x-3)(x+1)
X2_2X_3
=5〃七一圭)dx
=十口三^(乂一3)一,集抖乂+1
=—[ln|X-3|-In|x+l|]4-C
[—^rdx
例:求
【答疑编号11050309:针对该题提问】
工手写板图示0503T6
X,1X一2、
"rdFr-蚪/)
十(9+/)+c
手写板图示0503T7
arctan--+C
u
例:求-J+f。
【答疑编号11050310:针对该题提问】
[21出=士[—
-%+/a1},x
1+—
解:b
例:x:-8x+25。
【答疑编号11050401:针对该题提问】
I———----dx=(------——dx
解:J/-8x+25」(1)2+9
三写板图示0504-01
—X--------------dx
?-8x+25
'14q
3」1+管3
1x-4
=-arctan-----\-c
33
例:求.sin。*。
【答疑编号11050402:针对该题提问】
图示0504-02
jjsin-dx
=Jsinde^=-cos®'+c
dxs\
例:求・1+c
【答疑编号11050403:针对该题提问】
手写1板图示0504-03
⑴
=ln(l+e*)+c
例:
【答疑编号11050404:针对该题提问】
,一手写板图示0504-04
义1+/)
二j4
Jl+«)2
f1,VX
=-----de=arctang+c
J1+3”)2
例:
【答疑编号11050405:针对该题提问】
口灰手写板图示0504-05
\-^dx
J1+J
=j(l+ef
J1+e*
=Jdx-
*忌的+第)
=x-ln(l+d)+c
例:卜一处
【答疑编号11050406:针对该题提问】
手写板图示0504-06
sin*2xdx
rl-cos2x,
=—————ax
J2
=-j(1-cos2x)dx
1
dx--\cos242x
22J——
1
x--sin2x+c
22
:板图示0504-07
|cos3xdx%=□+0
=Jcos2x-cosxdx
=J(1-sin2x)dsinx
=Jdsinx-Jsin2xdsinx
sin3x
=sinx--------+c
3
【答疑编号11050407:针对该题提问】
【答疑编号11050408:针对该题提问】
【答疑编号11050409:针对该题提问】
口又手写板图示0504-09
…Iescxdx
例:求J
【答疑编号11050410:针对该题提问】
=Intan-4-C=ln(cscx-cotx)+C
(使用了三角函数恒等变形)
J手写板图示0504T0
escxdx=f---dx=[dx
Jsinx」
2sin-cos-
22
dx
=JX
sin—
XX
2」-cos—•cos—
x22
cos—
2
dx
=\
2tan—•cos2X
22
12X.1,x
sec—ax—atan—
=3Xx
tan—2tan—2
2-2
;入手写板图示0504T1
Jescxdx=In|cscx-cotx|+c
jsecxdx=In|secx+tanx\+c
例:求』cos3xcos2时。
【答疑编号11050411:针对该题提问】
cosAcosB=—[cos(J-B)+cos(J+5)1
解:2
cos3xcos2x=—(cosx+cos5x)
|cos3xcos2xdx=^|(cosx+cos5x)d!r
=~sinx+—sin5x4-C
10
-手骂板图示0504-12
cos3xcos2xdx
=;J(cosx+cos5x)dx
1
cosxdx+—[cos5xd5彳
25J
=1S1nx+l1S1n5x+c
25
例.J切心
【答疑编号11050412:针对该题提问】
解:设u=x?,则
xf,^dx=^f\x2)dx2=^f'(u)du=\df(u)
所以J犷(7)尸(x2)去=」/(«)#(«)=l[/(u)]2+C
4
写板图示O5O4T3
=1j/(x2)/,(x2)d?x2^udu
==今+。
=O)+c十(玲+c
I-----------ax
例:•xo
【答疑编号11050413:针对该题提问】
解:设u=lnx,则
f'Qnx)工7,八、/,广一
-------dx=/(Inx)dInx=/(u)du
...丫)女=r尸("W"=/(u)+c
所以Jx•'
=/(lnx)+C
'/"(Inx)dx
=J/Qnx)dlnx=/@)+c
=f(lnx)+c
例:/'(si/x)=co/x,求f(x)。
【答疑编号11050414:针对该题提问】
9
■“手写板图示0504T5
/(sin'x)=cos'x求f(x)
/f(sin2x)=1-sin2x
令t-sin2x有尸(Z)=l-£
成=J(1T)成
、t2
芯2
f(x)=x--+c
二、第二类换元法
门即^^y/l-x2dx=?
问题J
解决方法改变中间变量的设置方法。
过程令工=$由2=公=costdt
[/《"x,dx=f(sint),也-sin,costdt
=|sin'teas1tdt=........
(应用“凑微分”即可求出结果)
定理2设x=W(D是单调的、可导的函数,并且“(。二°,又设f[〃«)]〃'&)具有
原函数,则有换元公式W心心防加“同皿其中派)是…⑺的反函
数。
f〃力d=[[/Mr)W(r汕Lf
第二类积分换元公式
rdx
例:.Jl+jO
【答疑编号11050415:针对该题提问】
解:令「=J1+/ne'=/-1
x=ln卜2-11去=
=In+C=21n(71+/-l|-x+C
手写板图示0504T6
令J1+/=21+。'=d&x=z2-1
工=ln(d-Ddx=dln(d-D
=-z-----2tdf
.工手写板图示0504T7
=2出
[2J7-1t+YJ
=J吉+
=ln|^-l|-ln[+l]+c
,z-1,J-
=ln---+c=lnj——+c
£+1Jl+e'+1
说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式近,…,五时,可采用令x=r"(其
中n为各根指数的最小公倍数)
例:)石Q+荻产。
【答疑编号11050416:针对该题提问】
解:令x=t'=dx=6t,dt
F]r6/£6/
1L「烝=;、出=IJdt
J4(1+私)J/Q+U)J1+P
+1-1.
=6----—dt
1+?
=6色+产卜
=6[r-arctanr]4-C
=6[y[x-arctan也]+C
手写板图示0504T8
rdx
J五(1+表)
iii
X,=E/.x=t6/=金产
dx—dt6—6廿dt
F-----=3dt
户(1+p)1+z
.1+d―1,
=6l------5~~dt
J1+J
=6
J1+211+d
=6[/-arctanq+c
=6^yfx-arctan
三角代换。
三角代换的目的是化掉根式。
一般规律如下:当被积函数中含有
(1)V。-x可令x=asint;
£手写板图示0504-19
y/a2-x2令x=asm/sinZ=-
yja2-x2=二以4in,
=Ja?(l-sin,£)
=^ja2cos2/=|acos/|=
=acosi
(2)Ja+x可令x=atant;
-手写板图示0504-20
[a2+«2tan乙=^2(l+tan2Z)
=sec2Z=(2sec/
(3)—Q可令x二asect。
r1
I/、声(a>°)
例:求.JL+do
【答疑编号11050417:针对该题提问】
x
=In一十+c
、手写板图示0504-22
-=J_dx
令x=atan£dx=datont
=a-sec2/dt
:.l=f)].=asec2tdt-asedtdt
V^2sec2Zasect
=Jsec=In|sec/4-tanZ14-c
=In[sec£+tan卜|+c
tanZ=^sec"叵运
a
Z=ln+c
【答疑编号11050418:针对该题提问】
总结:
写板图示0504-24
5.4分部积分法
1手写板图示0505-01
(u(x)•v(x))f
=U'(X)v(x)+u(X)■V1(x)
J[u(x)■v(x)]dx
=Xu*(x)V(X)dx+/U(x)V,(x)dx
u(x)•v(x)
=fv(x)du(x)+Ju(x)dv(x)
fudv=u■v-Jvdu
一、基本内容
问题”办=?
解决思路利用两个函数乘积的求导法则。
设函数u=u(X)和V二V(X)具有连续导数,
t
(uv)=u'v+uv',uv'
=(«v)-u'vAuv'dx=uv-\u'vdx,Judv=uv-Jvdu.
【答疑编号11050501:针对该题提问】
分部积分公式
例1:求积分Jxcosxdx.
【答疑编号11050502:针对该题提问】
令〃=cosx,xdx=—dx2=dv
解(一)2
f>[X2,
xcosxax=——cosx+——sinxax
J2」2
显然,U,V选择不当,积分更难进行。
解(二)令u=x,cosxdx=dsinx=dv
xcosxdx=Jx^sinx=xsinx-Jsinxdx
=xsinx+cosx+C*.
三写■板图示0505-03
Jxcosxdx
=SxdsinxSudvV
=x■sinX-SsinXdx
=XsinX+cosX+C
Jx・cosxdx
=产
-JcosXd——Judv
2
X22
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 学画连环画(人美版上册三年级美术)
- 人教版小学数学二年级下册第二单元《表内除法(一)》作业设计
- 初中数学++二次函数的应用+课件++浙教版数学九年级上册
- 2024-2030年全球与中国食堂设备行业市场现状调研分析及发展前景报告
- 2024-2030年全球与中国结晶冰糖行业市场现状调研分析及发展前景报告
- 2024-2030年全球与中国复合薄膜系统行业市场现状调研分析及发展前景报告
- 2024-2030年全球与中国不锈钢多介质过滤器行业市场现状调研分析及发展前景报告
- 2024-2030年中国非遗手工市场专题研究及市场前景预测评估报告
- 2024至2030年中国汽车用铅酸蓄电池行业市场运行格局及发展战略研究报告
- 2024至2030年中国无水叔丁醇行业发展模式调研及投资前景评估报告
- 苏教版三年级数学上册《1-3 倍的认识练习》课堂教学课件PPT小学公开课
- 西方现代人文地理学思潮
- 《师德与教师礼仪》全册配套优质PPT教学课件
- 驾校管理制度管理办法和岗位职责(全)
- 九年级物理北师大版全一册教学计划上
- 银行业务法律风险
- 初中七年级上册音乐第二单元红旗颂(16张)ppt课件
- 泰国落地签申请表
- 大班教案-展览馆
- 百度推广业务员销售话术
- 高中化学教育创新思维和创新能力培养
评论
0/150
提交评论