天津市红桥区第二区2025届九上数学期末监测试题含解析

天津市红桥区第二区2025届九上数学期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，平面直角坐标系中，，反比例函数的图象分别与线段交于点，连接．若点关于的对称点恰好在上，则（）A． B． C． D．2．钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积为4400000m2，数据4400000用科学记数法表示为（）A．4.4×106 B．44×105 C．4×106 D．0.44×1073．如果小强将飞镖随意投中如图所示的正方形木板，那么P(飞镖落在阴影部分的概率)为()A． B． C． D．4．下列事件中，是必然事件的是（）A．掷一次骰子，向上一面的点数是6B．13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月C．射击运动员射击一次，命中靶心D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯5．下列图形中，可以看作是中心对称图形的为（）A． B． C． D．6．如图，在RtΔABC中∠C=90°，AC=6，BC=8，则sin∠A的值（）A． B． C． D．7．观察下列等式：①②③④…请根据上述规律判断下列等式正确的是（）A． B．C． D．8．如图，在中，，，，则的面积是()A． B． C． D．9．模型结论：如图①，正内接于，点是劣弧上一点，可推出结论.应用迁移：如图②，在中，，，，是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值为（）A． B．5 C． D．10．二次函数的图象如图，有下列结论:①，②，③时，，④，⑤当且时，，⑥当时，.其中正确的有（）A．①②③ B．②④⑥ C．②⑤⑥ D．②③⑤11．下列不是一元二次方程的是（）A． B． C． D．12．若方程是关于的一元二次方程，则应满足的条件是（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．已知甲、乙两种棉花的纤维长度的平均数相等，若甲种棉花的纤维长度的方差，乙种棉花的纤维长度的方差，则甲、乙两种棉花质量较好的是▲．14．一个不透明的袋子中装有除颜色外其他都相同的2个红球和1个黄球，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸岀一个，则两次都摸到黄球的概率为__________．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，，则＝_____．16．已知在反比例函数图象的任一分支上，都随的增大而增大，则的取值范围是______．17．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB＝2km，从A测得灯塔P在北偏东60°的方向，从B测得灯塔P在北偏东45°的方向，则灯塔P到海岸线l的距离为_____km．18．已知实数x，y满足，则x+y的最大值为_______．三、解答题（共78分）19．（8分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：∠DAC=∠DBA；（2）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．20．（8分）如图,已知直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交于A,B两点,O为坐标原点.(1)求点A和B的坐标；(2)连结OA,OB,求△OAB的面积.21．（8分）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°．(1)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△OBC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点M为抛物线上一点，点N为对称轴上一点，是否存在点M、N使得A、O、M、N构成的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．22．（10分）如图，，射线于点，是线段上一点，是射线上一点，且满足.（1）若，求的长；（2）当的长为何值时，的长最大，并求出这个最大值.23．（10分）综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为，点P的坐标为；（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．24．（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上.(1)画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB1C1；(2)求旋转过程中动点B所经过的路径长(结果保留π).25．（12分）A箱中装有3张相同的卡片，它们分别写有数字1，2，4；B箱中也装有3张相同的卡片，它们分别写有数字2，4，5；现从A箱、B箱中各随机地取出1张卡片，请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）两张卡片上的数字恰好相同的概率．（2）如果取出A箱中卡片上的数字作为十位上的数字，取出B箱中卡片上的数字作为个位上的数字，求两张卡片组成的两位数能被3整除的概率．26．如图，在中，，正方形的顶点分别在边、上，在边上.（1）点到的距离为_________.（2）求的长.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】根据，可得矩形的长和宽，易知点的横坐标，的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出的长，然后把问题转化到三角形中，由勾股定理建立方程求出的值．【详解】过点作，垂足为，设点关于的对称点为，连接，如图所示：则，易证，，，在反比例函数的图象上，，在中，由勾股定理：即：解得：故选C．【点睛】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现与的比是是解题的关键．2、A【解析】试题分析：根据科学记数法是把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n是正整数）．确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数），1100000有7位，所以可以确定n=7-1=6，再表示成a×10n的形式即可，即1100000=1．1×2．故答案选A．考点：科学记数法．3、C【解析】先求大正方形和阴影部分的面积分别为36和4,再用面积比求概率.【详解】设小正方形的边长为1，则正方形的面积为6×6=36，阴影部分面积为，所以，P落在三角形内的概率是.故选C.【点睛】本题考核知识点：几何概率.解答本题的关键是理解几何概率的概念，即：概率=相应的面积与总面积之比．分别求出相关图形面积，再求比.4、B【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，即发生的概率是1的事件．【详解】解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是6，属于随机事件；B.13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月，属于必然事件；C．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件；D．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件；故选B．【点睛】此题主要考查事件发生的概率，解题的关键是熟知必然事件的定义.5、B【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、是中心对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、不是中心对称图形，故本选项错误；

故选：B．【点睛】此题考查中心对称图形的特点，解题关键在于判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．6、B【分析】由勾股定理可求得AB的长度，再根据锐角三角函数的定义式求得sin∠A的值．【详解】∵AC=6，BC=8，∴AB==，∴sin∠A=．故选B．【点睛】本题考查勾股定理和锐角三角函数的综合应用，根据求得的直角三角形的边长利用锐角三角函数的定义求值是解题关键．7、C【分析】根据题目中各个式子的变化规律，可以判断各个选项中的等式是否成立，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，，选项A错误；，选项B错误；，选项C正确；，选项D错误．故选：C．【点睛】本题考查的知识点是探寻数式的规律，从题目中找出式子的变化规律是解此题的关键．8、C【分析】在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题．【详解】解：在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AB=8cm，

∴sinA==，

∴BC=6（cm），

∴AC=（cm），

∴S△ABC=•BC•AC=×6×2=6（cm2）．

故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9、D【分析】在△DEG右侧作等边三角形DGM，连接FM，由模型可知DF+FG=FM，∴DF+EF+FG的最小值即为线段EM，根据题意求出EM即可.【详解】解：在△DEG右侧作等边三角形DGM，过M作ED的垂线交ED延长线于H，连接FM，EM，由模型可知DF+FG=FM，∴DF+EF+FG的最小值即为EF+FM的最小值，即线段EM，由已知易得∠MDH=30°，DM=DG=，∴在直角△DMH中，MH=DM=，DH=，∴EH=3+3=6，在直角△MHE中，【点睛】本题主要考查了学生的知识迁移能力，熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理是解题的关键.10、D【分析】①只需根据抛物线的开口、对称轴的位置、与y轴的交点位置就可得到a、b、c的符号，从而得到abc的符号；②只需利用抛物线对称轴方程x==1就可得到2a与b的关系；③只需结合图象就可得到当x=1时y=a+b+c最小，从而解决问题；④根据抛物线x=图象在x轴上方，即可得到x=所对应的函数值的符号；⑤由可得，然后利用抛物线的对称性即可解决问题；⑥根据函数图像，即可解决问题.【详解】解：①由抛物线的开口向下可得a>0，

由对称轴在y轴的右边可得x=＞0，从而有b<0，

由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上可得c<0，

则abc>0，故①错误；

②由对称轴方程x==1得b=-2a，即2a+b=0，故②正确；

③由图可知，当x=1时，y=a+b+c最小，则对于任意实数m（），都满足，即，故③正确；

④由图像可知，x=所对应的函数值为正，

∴x=时，有a-b+c>0，故④错误；

⑤若，且x1≠x2，

则，

∴抛物线上的点（x1，y1）与（x2，y2）关于抛物线的对称轴对称，

∴1-x1=x2-1，即x1+x2=2，故⑤正确．⑥由图可知，当时，函数值有正数，也有负数，故⑥错误；∴正确的有②③⑤；故选：D.【点睛】本题主要考查了抛物线的性质（开口、对称轴、对称性、最值性等）、抛物线上点的坐标特征等知识，运用数形结合的思想即可解决问题．11、C【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）是整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2；（4）二次项系数不为1．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【详解】解：、正确，符合一元二次方程的定义；、正确，符合一元二次方程的定义；、错误，整理后不含未知数，不是方程；、正确，符合一元二次方程的定义．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．12、C【分析】根据一元二次方程的定义得出，求出即可．【详解】解：是关于的一元二次方程，，∴．故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，注意：一元二次方程的一般形式是（、、都是常数，且．二、填空题（每题4分，共24分）13、甲．【解析】方差的运用．【分析】方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．由于，因此，甲、乙两种棉花质量较好的是甲．14、【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】画树状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有1种结果，

∴两次都摸到黄球的概率为；

故答案为：．【点睛】此题考查列表法或树状图法求概率．解题关键在于掌握注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．15、【分析】先利用平行条件证明三角形的相似,再利用相似三角形面积比等于相似比的平方,即可解题.【详解】解：∵DE∥BC，，∴,由平行条件易证△ADE△ABC,∴S△ADE:S△ABC=1:9,∴=.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,中等难度,熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键.16、【分析】根据反比例函数的图象与性质即可求出k的范围．【详解】解：由题意可知：，

∴，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用反比例函数的性质，本题属于基础题型．17、【分析】作PD⊥AB，设PD=x，根据∠CBP=∠BPD=45°知BD=PD=x、AD=AB+BD=2+x，由sin∠PAD=列出关于x的方程，解之可得答案．【详解】如图所示，过点P作PD⊥AB，交AB延长线于点D，设PD＝x，∵∠PBD＝∠BPD＝45°，∴BD＝PD＝x，又∵AB＝2，∴AD＝AB+BD＝2+x，∵∠PAD＝30°，且sin∠PAD＝，∴，解得：x＝1+，即船P离海岸线l的距离为（1+）km，故答案为1+．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义及其应用．18、4【解析】用含x的代数式表示y，计算x+y并进行配方即可.【详解】∵∴∴∴当x=-1时，x+y有最大值为4故答案为4【点睛】本题考查的是求代数式的最大值，解题的关键是配方法的应用.三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）⊙O的半径为2.5；DE=2.1．【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠CBD=∠DBA，根据圆周角定理得到∠DAC=∠CBD，∠ADB=∠AED=90°，等量代换即可得到结论；（2）连接CD，根据等腰三角形的性质得到CD=AD，根据勾股定理得到AB=5，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是所对的圆周角，∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，（2）解：连接CD，∵∠CBD=∠DBA，∴CD=AD=3，∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°在Rt△ADB中，AB=故⊙O的半径为2.5∵∴；【点睛】此题考查的是三角形的外接圆与外心及圆周角定理和勾股定理以及三角形面积等知识，熟练利用圆周角定理得出各等量关系是解题关键．20、（1）A(1,1)，B(-3,9)；（2）6.【分析】（1）将直线与抛物线联立解方程组，即可求出交点坐标；（2）过点A与点B分别作AA1、BB1垂直于x轴，由图形可得△OAB的面积可用梯形AA1B1B的面积减去△OBB1的面积，再减去△OAA1得到.【详解】（1）∵直线y=-2x+3与抛物线y=x2相交，∴将直线与抛物线联立得，解得或，∴A（1，1），B（-3，9）；（2）过点A与点B分别作AA1、BB1垂直于x轴，如下图所示，由A、B的坐标可知AA1=1，BB1=9，OB1=3，OA1=1，A1B1=4，梯形AA1B1B的面积=，△OBB1的面积=，△OAA1的面积=，∴△OAB的面积=.故答案为6.【点睛】本题考查了求一次函数与二次函数的交点和坐标系中三角形的面积计算，求函数图像交点，就是将两个函数联立解方程组，坐标系中不规则图形的面积通常采用割补法计算.21、（1）；（2）（－1，）；（3）M1（－1，－），M2（－3，），M3（1，）．【解析】（1）先确定出点B坐标，再用待定系数法即可；（2）先判断出使△BOC的周长最小的点C的位置，再求解即可；（3）分OA为对角线、为边这两种情况进行讨论计算即可得出答案．【详解】(1)如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D,∵点A的坐标为（-2，0），OB=OA，∴OB=OA=2，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，在Rt△OBD中,∠ODB=90°，∴∠OBD=30°，∴OD=1,DB=，∴点B的坐标是(1,)，设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，由已知可得：，解得：∴所求抛物线解析式为；(2)存在.如图所示，∵△BOC的周长=OB+BC+CO，又∵OB=2，∴要使△BOC的周长最小，必须BC+CO最小，∵点O和点A关于对称轴对称，∴连接AB与对称轴的交点即为点C，由对称可知，OC=OA，此时△BOC的周长=OB+BC+CO=OB+BC+AC；点C为直线AB与抛物线对称轴的交点，设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A(−2,0),B(1,)分别代入，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y=x+，当x=−1时,y=，∴所求点C的坐标为(−1,)；(3)如图所示，①当以OA为对角线时，∵OA与MN互相垂直且平分，∴点M1(−1,−)，②当以OA为边时，∵OA=MN且OA∥MN，即MN=2,MN∥x轴，设N(−1,t)，则M(−3,t)或(1,t)将M点坐标代入，解得，t=，∴M2(−3,)，M3(1,)综上：点M的坐标为：（－1，－），或（－3，）或（1，）．【点睛】本题是一道二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、最短路径、平行四边形等知识.综合运用所学知识，并进行分类讨论是解题的关键.22、（1）；（2）当时，的最大值为1.【分析】（1）先利用互余的关系求得，再证明，根据对应边成比例即可求得答案；（2）设为，则，根据，求得，利用二次函数的最值问题即可解决．【详解】（1）如图，∵，∴，∴，∵，∴，∴，可知，∴，∵，∴，∴，∴；（2）设为，则，∵（1）可得，∴，∴，∴，∴当时，的最大值为1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数等综合知识，根据线段比例来求线段的长是本题解题的基本思路．23、（1）；（1）△ABC是直角三角形，理由见解析；（3），；（4）存在，F1，F1．【分析】（1）由对称性先求出点B的坐标，可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)，将C坐标代入y=a(x+3)(x﹣1)即可；（1）先判断△ABC为直角三角形，分别求出AB，AC，BC的长，由勾股定理的逆定理可证明结论；（3）因为点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，所以BM=BN=t，证四边形PMBN是菱形，设PM与y轴交于H，证△CPN∽△CAB，由相似三角形的性质可求出t的值，CH的长，可得出点P纵坐标，求出直线AC的解析式，将点P纵坐标代入即可；（4）求出直线BC的解析式，如图1，当∠ACF=90°时，点B，C，F在一条直线上，求出直线BC与对称轴的交点即可；当∠CAF=90°时，求出直线AF的解析式，再求其与对称轴的交点即可．【详解】（1）∵在抛物线y=ax1+bx+c中，当x=﹣4和x=1时，二次函数y=ax1+bx+c的函数值y相等，∴抛物线的对称轴为x1，又∵抛物线y=ax1+bx+c与x轴交于A(﹣3，0)、B两点，由对称性可知B(1，0)，∴可设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x﹣1)，将C(0，)代入y=a(x+3)(x﹣1)，得：﹣3a，解得：a，∴此抛物线的解析式为y(x+3)(x﹣1)x1x；（1）△ABC为直角三角形．理由如下：∵A(﹣3，0)，B(1，0)，C(0，)，∴OA=3，OB=1，OC，∴AB=OA+OB=4，AC1，BC1．∵AC1+BC1=16，AB1=16，∴AC1+BC1=AB1，∴△ABC是直角三角形；（3）∵点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，∴BM=BN=t，由翻折知，△BMN≌△PMN，∴BM=PM=BN=PN=t，∴四边形PMBN是菱形，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB，设PM与y轴交于H，∴，即，解得：t，CH，∴OH=OC﹣CH，∴yP，设直线AC的解析式为y=kx，将点A(﹣3，0)代入y=kx，得：k，∴直线AC的解析式为yx，将yP代入yx，∴x=﹣1，∴P(﹣1，)．故答案为：，(﹣1，)；（4）设直线BC的解析式为y=kx，将点B(1，0)代入y=kx，得：k，∴直线BC的解析式为yx，由（1）知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．①如图1，当∠ACF=90°时，点B，C，F在一条直线上，在y