山东省济南章丘区五校联考2025届数学九上期末复习检测模拟试题含解析

山东省济南章丘区五校联考2025届数学九上期末复习检测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列方程属于一元二次方程的是（）A． B．C． D．2．下列函数中，的值随着逐渐增大而减小的是（）A． B． C． D．3．已知一次函数和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…当y2＞y1时，自变量x的取值范围是A．-1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜-1或x＞5 D．x＜-1或x＞44．方程是关于的一元二次方程，则的值不能是（）A．0 B． C． D．5．如图，一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，那么这个斜坡的坡度为（

）A． B． C． D．6．下列对于二次函数y＝﹣x2+x图象的描述中，正确的是（）A．开口向上 B．对称轴是y轴C．有最低点 D．在对称轴右侧的部分从左往右是下降的7．已知点A（，），B（1，），C（2，）是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（）A．＜＜ B．＜＜ C．＜＜ D．无法确定8．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（）A． B． C． D．9．已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()A．k＜﹣2 B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2且k≠110．涞水县某种植基地2018年蔬菜产量为100吨，预计2020年蔬菜产量达到120吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A． B．C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，若抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是______.12．如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点，点在上，，与交于点，连接，若，，则_____．13．如图所示，在中，、相交于点，点是的中点，联结并延长交于点，如果的面积是4，那么的面积是______.14．将二次函数y=2x2的图像沿x轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.15．如图，一艘轮船从位于灯塔的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东45°方向上的处，这时轮船与小岛的距离是__________海里．16．如图所示，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，道路的宽为_______17．△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则sin∠A的值为__________．18．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，顶点为P（2，﹣4）的二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过原点，点A（m，n）在该函数图象上，连接AP、OP．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；（2）若∠APO＝90°，求点A的坐标；（3）若点A关于抛物线的对称轴的对称点为C，点A关于y轴的对称点为D，设抛物线与x轴的另一交点为B，请解答下列问题：①当m≠4时，试判断四边形OBCD的形状并说明理由；②当n＜0时，若四边形OBCD的面积为12，求点A的坐标．20．（6分）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某市某品牌新能源汽车经销商1至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售150辆，3月份销售216辆．（1）求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率；（2）若该品牌新能源汽车的进价为6.3万元/辆，售价为6.8万元/辆，则该经销商1至3月份共盈利多少万元？21．（6分）如图1，的余切值为2，，点D是线段上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形的另两个顶点E、F都在射线上，且点F在点E的右侧，联结，并延长，交射线于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，________是始终保持不变的量（填序号）；①；②；③；④；⑤；⑥；（2）设正方形的边长为x，线段的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果与相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．22．（8分）把下列多项式分解因式：（1）．（2）．23．（8分）图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？24．（8分）如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t(s)，△PDQ的面积为S(cm2)，S与t的函数图象如图②所示．（1）AB＝cm，点Q的运动速度为cm/s；（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．①当点O在QD上时，求t的值；②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．25．（10分）如图，正方形ABCD中，AB=，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.(1)若A，E，O三点共线，求CF的长；(2)求△CDF的面积的最小值.26．（10分）济南国际滑雪自建成以来，吸引大批滑雪爱好者，一滑雪者从山坡滑下，测得滑行距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的关系可以近似的用二次函数来表示．滑行时间x/s0123…滑行距离y/m041224…（1）根据表中数据求出二次函数的表达式．现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约840m，他需要多少时间才能到达终点？（2）将得到的二次函数图象补充完整后，向左平移2个单位，再向下平移5个单位，求平移后的函数表达式．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为1．【详解】解：A、该方程符合一元二次方程的定义，符合题意；B、该方程属于二元二次方程，不符合题意；C、当a=1时，该方程不是一元二次方程，不符合题意；D、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意．故选：A．【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=1（且a≠1）．特别要注意a≠1的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2、D【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．【详解】A选项函数的图象是随着增大而增大，故本选项错误；B选项函数的对称轴为，当时随增大而减小故本选项错误；C选项函数，当或，随着增大而增大故本选项错误；D选项函数的图象是随着增大而减小，故本选项正确；故选D.【点睛】本题考查了三种函数的性质，了解它们的性质是解答本题的关键，难度不大．3、D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（1，5），-1＜x＜1时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=1时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（1，5），而-1＜x＜1时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞1．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．4、C【详解】解：是关于的一元二次方程，则解得m≠故选C．【点睛】本题考查一元二次方程的概念，注意二次项系数不能为零．5、A【解析】试题解析：∵一个斜坡长130m，坡顶离水平地面的距离为50m，∴这个斜坡的水平距离为：=10m，∴这个斜坡的坡度为：50：10=5：1．故选A．点睛：本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义．坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．6、D【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2+x＝﹣(x)2+，∴a＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A错误；对称轴是直线x＝，故选项B错误；当x＝时取得最大值，该函数有最高点，故选项C错误；在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．7、B【分析】直接根据反比例函数的性质排除选项即可．【详解】因为点A（，），B（1，），C（2，）是函数图象上的三点，，反比例函数的图像在二、四象限，所以在每一象限内y随x的的增大而增大，即；故选B．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．8、A【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是．

故选A．【点睛】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．9、D【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到一元二次方程的二次项系数不为零、根的判别式的值大于零，从而列出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得到的取值范围．【详解】根据题意得：，且，解得：，且．故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，能够准确得到关于的不等式组是解决问题的关键．10、A【分析】根据2020年的产量=2018年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】解：设该种植基地蔬菜产量的年平均增长率（百分数）为x，根据题意，得，故选A.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2020年的产量的代数式，根据条件找准等量关系，列出方程．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】观察图象当时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当或时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x的取值范围，即为不等式的解集.【详解】解：设，，∵∴，∴即二次函数值小于一次函数值，∵抛物线与直线交点为，，∴由图象可得，x的取值范围是.【点睛】本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键.12、．【解析】过点C作CM⊥DE于点M，过点E作EN⊥AC于点N，先证△BCD∽△ACE，求出AE的长及∠CAE=60°，推出∠DAE=90°，在Rt△DAE中利用勾股定理求出DE的长，进一步求出CD的长，分别在Rt△DCM和Rt△AEN中，求出MC和NE的长，再证△MFC∽△NFE，利用相似三角形对应边的比相等即可求出CF与EF的比值．【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，∵，，∴，∵在中，，∴，在与中，∵，∴，∴，∵，∵，∴，∴∽，∴，∴，∴，，∴，在中，，在中，，∴，，在中，，在中，，∵，∴∽，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形等，解题关键是能够通过作适当的辅助线构造相似三角形，求出对应线段的比．13、36【分析】首先证明△AFE∽△CBE，然后利用对应边成比例，E为OA的中点，求出AE：EC=1：3，即可得出．【详解】在平行四边形ABCD中，AD∥BC，

则△AFE∽△CBE，

∴，

∵O为对角线的交点，

∴OA=OC，

又∵E为OA的中点，

∴AE=AC，

则AE：EC=1：3，

∴AF：BC=1：3，

∴即∴=36故答案为：36【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．14、y=2(x+2)2-3【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的图象表达式为y=2(x+2)2-3【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．15、（30+30）【分析】过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在Rt△BCD中求出BD，相加可得AB的长．【详解】解：过C作CD⊥AB于D点，由题意可得，

∠ACD=30°，∠BCD=45°，AC=1．

在Rt△ACD中，cos∠ACD=,∴AD=AC=30，CD=AC•cos∠ACD=1×，在Rt△DCB中，∵∠BCD=∠B=45°，

∴CD=BD=30，∴AB=AD+BD=30+30．答：此时轮船所在的B处与小岛A的距离是（30+30）海里．

故答案为：（30+30）．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．16、1【分析】设道路宽为x米，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设道路宽为x米，

根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积得：，

解得：x1=1，x2=1．

∵1＞20，

∴x=1舍去．

答：道路宽为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据耕地的面积-道路的面积=试验田的面积，列出关于x的一元二次方程是解题的关键．17、【分析】根据勾股定理及三角函数的定义直接求解即可；【详解】如图，，∴sin∠A，故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的定义及勾股定理，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.18、-1.【解析】分析：先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．

详解：把x=0代入方程得：

|a|-1=0，

∴a=±1，

∵a-1≠0，

∴a=-1．

故选A．

点睛：本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．三、解答题(共66分)19、（1）y＝x2﹣4x；（2）A（，﹣）；（3）①平行四边形，理由见解析；②A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．【分析】（1）由已知可得抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，﹣4）、（4，0）、（0，0）代入y＝ax2+bx+c即可求表达式；（2）由∠APO＝90°，可知AP⊥PO，所以m﹣2＝，即可求A（，﹣）；（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），可得CD∥OB，CD＝CB，所以四边形OBCD是平行四边形；②四边形由OBCD是平行四边形，，所以12＝4×（﹣n），即可求出A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．【详解】解：（1）∵图象经过原点，∴c＝0，∵顶点为P（2，﹣4）∴抛物线与x轴另一个交点（4，0），将（2，﹣4）和（4，0）代入y＝ax2+bx，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x；（2）∵∠APO＝90°，∴AP⊥PO，∵A（m，m2﹣4m），∴m﹣2＝，∴m＝，∴A（，﹣）；（3）①由已知可得C（4﹣m，n），D（﹣m，n），B（4，0），∴CD∥OB，∵CD＝4，OB＝4，∴四边形OBCD是平行四边形；②∵四边形OBCD是平行四边形，，∴12＝4×（﹣n），∴n＝﹣3，∴A（1，﹣3）或A（3，﹣3）．【点睛】本题考查了二次函数与几何综合问题，涉及二次函数求解析式、直角三角形、平行四边形等知识点，解题的关键是灵活运用上述知识点进行推导求解．20、（1）品牌新能源汽车月均增长率为20%；（2）经销商1至3月份共盈利273万元．【分析】（1）设新能源汽车销售量的月均增长率为，根据3月份销售216辆列方程，再解方程即可得到答案；（2）利用1至3月份的总销量乘以每辆车的盈利，即可得到答案．【详解】解：（1）设新能源汽车销售量的月均增长率为，根据题意得150（1＋）2＝216（1＋）2＝1.44解得：，（不合题意、舍去）0.2＝20%答：该品牌新能源汽车月均增长率为20%（2）2月份销售新能源汽车150×（1+20%）＝180辆（150+180+216）×（6.8－6.3）＝273答：该经销商1至3月份共盈利273万元．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，掌握利用一元二次方程解决增长率问题是解题的关键．21、（1）④⑤；（2）；（3）或.【分析】（1）作于M，交于N，如图，利用三角函数的定义得到，设，则，利用勾股定理得，解得，即，，设正方形的边长为x，则，，由于，则可判断为定值；再利用得到，则可判断为定值；在中，利用勾股定理和三角函数可判断在变化，在变化，在变化；（2）易得四边形为矩形，则，证明，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于，与相似，且面积不相等，利用相似比得到，讨论：当点P在点F点右侧时，则，所以，当点P在点F点左侧时，则，所以，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【详解】（1）如图，作于M，交于N，在中，∵，设，则，∵，∴，解得，∴，，设正方形的边长为x，在中，∵，∴，∴，在中，，∴为定值；∵，∴，∴为定值；在中，，而在变化，∴在变化，在变化，∴在变化，所以和是始终保持不变的量；故答案为：④⑤（2）∵MN⊥AP，DEFG是正方形，∴四边形为矩形，∴，∵，∴，∴，即，∴（3）∵，与相似，且面积不相等，∴，即，∴，当点P在点F点右侧时，AP=AF+PF==，∴，解得，当点P在点F点左侧时，，∴，解得，综上所述，正方形的边长为或．【点睛】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．22、（1）；（2）【分析】（1）原式整理后利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取公因式即可得到结果．【详解】（1）；（2）．【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．23、【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为(a≠0).∵图象经过点（2，-2），∴-2=4a，解得：.∴.当y=-3时，.答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般．24、（1）30，6；（2）①；②≤t≤．【分析】（1）设点Q的运动速度为a，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，可列出关于a的方程，即可求出点Q的速度，进一步求出AB的长；（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，用含t的代数式分别表示出OF，QC的长，由OF＝QC可求出t的值；②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，证△QHP是等腰直角三角形，分别用含t的代数式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由QP＝QH可求出t的值；同理，如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，可求出t的值，即可写出t的取值范围．【详解】（1）设点Q的运动速度为a，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ有最大面积450，即此时点Q到达点B处，∵AP＝6t，∴S△PDQ＝(60﹣6×5)×5a＝450，∴a＝6，∴AB＝5a＝30，故答案为：30，6；（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，∵OF∥QC且点F是DC的中点，∴OF＝QC，即4t＝(90﹣6t)，解得，t＝；②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴△QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，∵QP