新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：第4章指数与对数

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第4章指数与对数

4.1指数

课程1.通过对有理数指数辕湍(a>0,且为整数,且〃>0)含义的认识,了解指数幕的拓展过程.

标准2.掌握指数耗的运算性质.

》基础认知•自主学习④

概念认知

1.n次方根

一般地，如果xn=a(n>l,n£N*),那么称x为a的n次方根.可用

下表表小：

n为奇数n为偶数

aGRa>0a=0a<0

x=^/a_x=±^/a_x=0不存在

2.根式

⑴式子如叫作根式,n叫作根指数，a叫作被开方数.

(2)性质：当n〉l,n£N*时，

①(%)n=a；

a,n为奇数，

②轲=<[a,a>0,

回=4n为偶数.

、I-a,a<0,

3.分数指数幕的意义（a〉0,m,n均为正整数）

正分数指数嘉a-=

n

H11

a

负分数指数幕-n-m_-_

0的分数指数0的正分数指数帚等于0,0的负分数指数帛没有意

幕义

4.有理数指数幕的运算性质(a〉0,b>O,s,tGQ)

(l)asat=as+t.(2)(as)£=ast.

(3)(ab)t=aW.

自我小测

1.下列运算中正确的是()

A.a2a3=a6

B.(-a2)3=(-a3)2

C.函-1)。=1

D.(-a2)5=-a10

选D.a2a3=a2+3=a5,(-a2)3=-a2x3=-a6,(-a3)2=a6,当a=1时.

(Va-1)。无意义,(-a2)5=-a10.

2.有下列各式：①(胆)n=a；②x4=J(—)4；③a”/二a；

二，a+b,其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3

_3

选B.根据根式的定义，(昭尸二a正确；由分数指数幕的定义，xF=

——；a7]=a==a11；胃a?+b2Qa+b.只有①正确，其他三

依

个都错.

3.若x<3,则79-6x+x2-|x-6值勺值是()

A.-3B.3C.-9D.9

选A.若x<3，则x-3<0,x-6<0,

所以-6x+X?-|x-6|=|x-3|-|x-6|=3-x+x-6=-3.

2

4.设a〉0,将Ja表示成分数指数幕,其结果是（）

Va-

J_573

A.B・a%C・a%D・a，

a22----7

选c.由题意=a23=a%-

5.(教材二次开发：练习改编)化简：(正！)2+寸(1-a)2+

(1-a)3=•

易知a-1>0,原式=(a-1)+|a-1|+1-a=a-l+(a-1)+1-a=a

-1.

答案：a-1

c2

6(心-(1-0.5-2)4高3的值为.

原式=1-(1-22)+同=1-(-3)x1=1.

7

冬口景•・3-

》学情诊断•课时测评《

基础全面练

一、选择题

1.(版)4运算的结果是()

A.2B.-2C.±2D.不确定

选A.由指数运算法则，容易得(灰)4=2.

2.计算：冏1+8&+(2019)。=()

3

A.6B.7C.8D.

2

T-12

选B.+83+(2019)°=2+(23)3+1=2+22+1=7.

3.化简:8

的值是（

125

2B32

CD

'•-5B•一5-1•±5

2

选A.

5•

4.若(a+2)2+(2bTA=0,贝Ua2020-b2020=()

12020

A.22020B.C.-1D.1

选D.因为(a+2>+(2b-Ip=0,

所以a=-2,b=|，所以（-2>02。2020二(四n2020

-2=1.

a2

5.已知a>0,则=(

65_55

A.a5B.a6c.aZD.

a2a2a25

选B.6.

12—=a

a2«a3a®

2

6.（多选）已知x*二4,贝卜等于（）

11

AB.8C.D.8

-88

2

15

3ZH=4,即版

选AC.由x=4,^导一=41

所以X?二*，得X=.

二、填空题

7.（2021.银川高一检测）化简：O.OOf3-0+/+（W.第）6

。。。7T+©+(在时6

/1A--31i_

41000j3-1+(21+(22.33)6

=10-1+23+(23-32)=9+8+8x9=89.

答案：89

_2

8.化简：4d+1X23-Vx64=

\l~2+1r-7

326

原式=Q2)'X2-^X(2)3

答案：2

三、解答题

9.计算下列各式:

1_j_21

agb'2(-3a-i)+(4a)b-3)5.

12

93X231

2-1-2、32

⑴原式二II-212-

、5-11_3

(2)原式二-x3-a32b-3^(2a3b-2)

5_1_1

Wa5b万.

(V4ab-1)3

10.⑴化简:T

0.r2(a3b-3)2

X2-X

(2)已知x+x/=4(0<x<1),求

X，+X5

O.r2(a3b-3)2

3_3

_x8aV2_1

-163_3-200,

100a2b2

(2)因为X2-X-2=(X+X-l)(x-XT)=4(x-XT),

所以(X-X-1)2=(x+X-1)2-4=12,

因为0<x<1,所以x-X-1=-2^3,

所以X2-X-2=-85,

j__j_

又因为(x，+x5)2=x+x-1+2=6,

所以x2+x2=yj6,

2_-2

所以：—XI=-4^2.

+x万

综合突破练

一、选择题

1.若=|，则X=（）

A.

2222

A.97B.37C./D.3M

选A.由不向=|有意义，得x>0.

A.

又因为斥=|，所以代=5，

AA.

372

所以x2.x，=x2=9,所以x=9，.

2.计算（小-2）2019.（小+2）2。2。=（）

A.3+2B.小-2

C.-小-2D.-4+2

选C.原式=［（小-2）（^3+2）］2。19.（小+2）=（-1）2。以（小+2）=

-$-2.

3.化简、二•%的结果是（）

选B.由题意可知a<0贝•/=(-a)2-a3=-(-a)2-(-a)3

4.(多选)在下列根式与分数指数幕的互化中，正确的是()

A.(-x)0-5=-^/x(xRO)

D.x3=-去

选BC.对于A,(-x)o-5和-,必有T无意义，错误；

对于B,患为=y9=y3,正确；

对于C,因为xy>0,

二、填空题

答案：a4

6.化简士'的结果是_______

-x3>0

由题意知彳，解得x<0,

【误区警示】本题容易忽视X的范围，式子隐含x<0.

7.计算：小+2玳+Y7-4,-#-4诲=.

原式T（小）2+2x荐理+（媳）2+

［（5）2-2小义小+（小）2-

N（木）2-2小'巾+（革/T（小+建）2+

1（2-木）2T（2-媳）2二小+表+2-小-2+^2=

2碑.

答案：2^2

后用I【加固训练】

设f(x)=#2_4,若0<aSl,则f(a+j=

由于0<a<l,所以a<1.

d

故f=；-a-

答案：:-a

2x+—

8.若a>0,且a*=3,ay=5,则a2=

2x+y1

a2=(ax)2-(ay)2

j__

=32X55=9书.

答案：9小

三、解答题

a3x+a_3x

9.已知a>0,a2x=3,求的值.

ax+a-x