用空间向量研究距离、夹角问题+高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章

空间向量与立体几何1.4.2

用空间向量研究距离、夹角问题新课引入思考：怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离?提示：两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

1.01365=37.8

0.99365=0.03面的距离.新课引入回顾求向量的投影公式是什么?回顾勾股定理是什么?李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

1.01365=37.8

0.99365=0.03已知直线l的单位方向向量为u,A

是直线1上的定点，P是直线l外一点，设向量AP=a在直线1上的投影向量为AQ=a-u,则点P

到直线课堂探究点P到直线的距离李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

1.01365=37.8

0.99365=0.03l的距离为(如图).思考：u

怎么求?点P到平面α的距离设平面α的法向量为n,A

是平面α内的定点，P是平面α外一点，思考：A

的变化会不会影响PQ的长度?为

什么?李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

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0.99365=0.03则点P

到平面α的距离

(如图).课堂探究例1如图，正方体ABCD-A

的棱长为1,求(1)B

到直线A₁C₁的距离(2)D₁

到平面A₁BD

的距离.(3)D₁C到平面A₁BD

的距离(4)平面A₁BD与平面B₁CD₁间的距离李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

1.01365=37.8

0.99365=0.03例题解析解

(1)以B

为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A₁(4,0,1),C₁(0,3,1),所以直线A₁C₁的方向向量A₁C₁=(-4,3,0),BC₁=(0,3,1),所以点B

到直线A₁C₁

的距离李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

1.01365=37.8

0.99365=0.03例题解析解

.

(2)(3)(4)请学生回答，老

师书写，最后指出不足地方李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

1.01365=37.8

0.99365=0.03例题解析1.如图所示，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中

，AD=AA₁=1,AB=2,点

E是

棱AB

的中点，则

点E

到平面ACD₁的距离为(

)李老师寄语：每天努力

一

点点和每天放松

一

点点的区别如

→

1

.

01365=37

.

8

0.99365=0.03练

习

巩

固C.A.D.B.2.在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁

,A

B=1,BC=2,AA₁=3,

则点B到直线A₁C

的距离为()李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

1.01365=37.8

0.99365=0.03练习巩固A.

B.C.D.1回顾夹角的定义和范围问题：(1)线线(2)向量的夹角(3)线面(4)二面角(5)两个平面的夹角李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

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0.99365=0.03重要角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l₁

,l₂所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cos

θ直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin两个平面的夹角设平面a与平面β的夹角为θ,平面a,β的法向量分别为n₁

,n2,则cos李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

1.01365=37.80.99365=0.03空间角的向量法解法点

，EF与B₁

D相交于点H.(1)求证：B₁D⊥平面ABD;(2)求证：平面EGF//平面ABD;(3)求平面EGF

与平面ABD

的距离例3如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁=4,点E在棱BB₁上

，EB₁=1,D,F,G中，∠ABC=90°,BC=2,CC₁分别为CC₁,C₁,A₁C₁

的中李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

1.01365=37.8

0.99365=0.03例题解析[解析](1)证明：如图所示建立空间直角坐标系，所以B₁D=(0,2,2),AB=(-a,0,0),BD=(0,2,一2).所以B₁D·AB=0+0+0=0,B₁D·BD=0+4-4=0.所以BD⊥AB,B₁D⊥BD,所以B₁D⊥AB,B₁D⊥BD,又AB∩BD=B,

所以B₁D⊥平面

ABD.李老师寄

语：每

天

努

力

一点

点

和

每

天

放

松

一

点

点的区

别

如

→

1

.

0

1

3

6

5

=

3

7

.

8

0.99365=0.03例

题

解

析设

AB=a,则A₁(a,0,0),B₁(0,0,0),C₁(0,2,0),F(0,1,0),E(0,0,1),A(a,0,4),B(0,0,4),D(0,2,2),

例题解析(2)证明：由(1)可得AB=(-a,0,0),BD=(0,2,一2),EF=(0,1,一1),所以AB=2GF,BD=2EF,所以GF//AB,EF//BD.所以GF//AB,EF//BD.又GF∩EF=F,AB∩BD=B,所以平面EGF//平面ABD.李老师寄语：每天努力一点点和每天放松一点点的区别如→

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0.99365=0.03(3)解：由(1)(2)知，B₁D是平面EGF和平面ABD的法向量.因为平面

EGF//

平

面ABD,

所以

点E

到平面ABD

的距离就是两平面的距离，设为d.因为EB=(0,0,3),B₁D=(0,2,2),即两平面间的距离李老师寄

语：每

天

努

力

一点

点

和

每

天

放

松

一

点

点的区

别

如

→

1

.

0

1

3

6

5

=

3

7

.

8

0.99365=0.03例

题

解析1.已知向量m,n分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若cos〈m,n〉=,则1与α所成的角为B.60°C.150°D.120°李老师寄

语：每

天

努

力

一

点

点

和

每

天

放

松

一

点

点的区

别

如

→1

.

01

3

6

5

=

3

7

.

80.99365=0.03练

习

巩

固解析

设l与α所成的角为θ,∴θ=60°,故选B.2.已知平面α的法向量u=(1,0,-1),平面的法向量v=(0,-1,1),则平面a与的夹角为

∴平面α与β的夹角李老师寄

语：每

天

努

力

一点

点

和

每

天

放

松

一

点

点的区

别

如

→

1

.

0

1

3

6

5

=

3

7

.

8

0.99365=0.03练

习巩

固3.如图，在三棱柱OAB-O₁A₁B₁中，平面OBB₁O₁

⊥

平面OAB,

∠O₁OB=60°,∠AOB=90°,且OB=00₁=2,OA=3,

求异面直线A₁B

与AO₁

所成角的余弦李老师寄

语：每

天

努

力

一

点

点

和

每

天

放

松

一

点

点的区

别

如

→1

.

01

3

6

5

=

3

7

.

8

0.99365=0.03练

习

巩

固值.解以O

为坐标原点，OA,OB

的方向为x轴，y

轴的正方向.建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0),O₁(0,1,√3),A(√3,0,0),A₁(√3,1,√3),B(0,2,0),∴A₁B=(-√3,1,一

√3),OA=(√3,-1,

一

√3).∴异面直线A₁B与

AO₁所成角的余弦值为李老师寄

语：每

天

努

力

一点

点

和

每

天

放

松

一

点

点的区

别

如

→

1

.

0

1

3

6

5

=

3

7

.

8

0.99365=0.03练

习

巩

固4.在空间直角坐标系Oxyz中，已知

A(1,-2,0),B(2,1,

√6),则向量AB与平面

xOz的法向量的夹角的正弦值为

故向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值李老师寄

语：每

天

努

力

一点

点

和

每

天

放

松

一

点

点的区

别

如

→

1

.

0

1

3

6

5

=

3

7

.

8

0.99365=0.03解析

设平面xOz的法向量为n=(0,1,0),AB=(1,3,

√6),练

习

巩

固5.如图，在正方体ABEF-DCE′F′

中，M,N(1)求直线MN

与直线AC

的夹角余弦值(2)求直线EN与平面MNB

的夹角余弦值(3)平面MNA与平面MNB