事件的相互独立性 高一下学期数学人教A版（2019）必修2

第十章

概

率10.2事件的相互独立性

一二三学习目标两个事件独立的直观意义与相互独立的含义能够利用直观意义与定义判断事件的独立性，以及理解独立性的性质利用独立性的定义与性质计算积事件的概率与复杂事件的概率学习目标复习回顾性质6

设A、B是一个随机试验中的两个事件，则有

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

或P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)性质3

如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B).性质4

如果事件A与事件B互为对立事件，那么

P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).即P(A)+P(B)=1.互斥事件概率加法公式并事件(和事件)交事件(积事件)A与B至少一个发生A∪B或A+BA与B同时发生A∩B或AB

类比并事件A∪B的概率性质，你认为积事件AB发生的概率是否也与事件A、B发生的概率有关呢？这种关系会是怎样的呢?下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。新知探究探究1

下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗?

试验1

分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”.

试验2

一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率.对于试验2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.问题1以上试验中P(AB)与P(A)和P(B)有何联系?新知探究试验1中，Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}，AB={(1,0)}.试验2中，Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，包含16个样本点.A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}，B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.概念生成相互独立事件

对任意两个事件A与B，如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.

通俗地说，对于两个事件A，B，如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件．独立事件概率乘法公式根据相互独立事件的定义，可以：①用来判断两个事件是否独立②在相互独立的条件下求积事件的概率问题2

必然事件Ω、不可能事件

与任意事件相互独立吗？新知探究必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响它们也都不影响其他事件的发生一方面：另一方面：由两个事件相互独立的定义，易知：P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)P(A

)=P(

)=P(A)P(

)成立必然事件Ω、不可能事件

与任意事件相互独立．新知探究问题3

互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立?即需验证①A与B、②A与B、③A与B是否也相互独立？例如证①若事件A,B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立.结论新知探究问题4

我们知道，如果三个事件A,B,C两两互斥，那么概率加法公式

P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；但当三个事件A,B,C两两独立时，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否成立?

课本P252-2.设样本空间Ω={a,b,c,d}含有等可能的样本点，且A={a,b},B={a,c},C={a,d}.请验证A,B,C三个事件两两独立，但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).

但P(ABC)≠P(A)P(B)P(C).解:A={a,b},B={a,c},C={a,d},AB={a},AC={a},BC={a},ABC={a}.∴P(A)=P(B)=P(C)=1/2,P(AB)=P(AC)=P(BC)=1/4.P(A)P(B)P(C)=1/8,P(ABC)=1/4.∴P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),即A,B,C三个事件两两独立,一般不成立互斥事件相互独立事件

概念符号计算公式不可能同时发生的两个事件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A·B)=P(A)·P(B)互斥事件A、B中有一个发生,记作:A∪B相互独立事件A、B同时发生记作:AB追问

互斥事件与相互独立的事件有什么区别？新知探究性质归纳相互独立事件的性质①必然事件Ω、不可能事件

与任意事件A相互独立.②若事件A,B相互独立，则A与B、A与B、A与B也相互独立.③三个事件A、B、C两两互斥，则P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立，但三个事件A、B、C两两独立时，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.获得一对独立，即获得四对独立典例解析例1

一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球,除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”,事件B=“第二次摸出球的标号小于3”,那么事件A与事件B是否相互独立?B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，解：样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n}，共12个样本点.A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}，AB={(1,2),(2,1)}.因此，事件A与事件B不独立.判断事件是否相互独立的方法3.转化法：事件A与事件B是否相互独立，与事件A与

,

与B,

与

是否具有独立性可互相转化.

1.直接法：直接判断一个事件发生与否是否影响另一事件发生的概率.2.定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立.归纳小结巩固练习课本P2521.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬币朝上的面相同”，A、B、C中哪两个相互独立？对接新高考【2021年·新高考Ⅰ卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则下列正确的是()A.甲与丙相互独立

B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立

D.丙与丁相互独立B

n(Ω)=36典例解析例2

甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.解：由于两个人射击的结果互不影响，∴A与B相互独立，(2)“恰有1人中靶”=AB∪AB，且AB与AB互斥，典例解析例2

甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率:(1)两人都中靶；

(2)恰好有一人中靶；

(3)两人都脱靶；

(4)至少有一人中靶.解：（4）方法一：（4）方法二：

1.对事件进行分解：一方面分解为互斥的几类简单事件求概率；

另一方面分解为独立的事件，利用事件同时发生(乘法)求出概率.已知两个事件A,B,那么:

(1)A,B中至少有一个发生为事件A∪B2.对事件分解时，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”

“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.(2)A,B中至多有一个发生为事件(3)A,B恰好有一个发生为事件

(5)A,B都不发生为事件(4)A,B都发生为事件AB

方法归纳求较为复杂事件的概率的方法3.天气预报元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内:

(1)甲、乙两地都降雨的概率;

(2)甲、乙两地都不降雨的概率;(3)至少一个地方降雨的概率.巩固练习课本P252P(A)=0.2P(B)=0.3=0.2×0.3=0.06=0.8×0.7=0.56P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)－－－－事件M(拆分事件)P(M)=________________________=0.2×0.7+0.8×0.3+0.2×0.3=0.44(对立事件)P(M)=1－P(AB)－－=1－0.56=0.44(并事件)P(M)=P(A∪B)