2025届新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理课件新人教A届选择性必修第一册

1.2空间向量基本定理素养目标•定方向

1．了解空间向量基本定理及其意义．(重点)2．掌握空间向量的正交分解．会用基底表示空间向量(难点)3．初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法．(难点)

1．通过基底概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过用空间向量基本定理解决简单的立体几何问题，提升直观想象、数学运算、逻辑推理等素养.必备知识•探新知

空间向量基本定理知识点1如果三个向量a，b，c_________，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________________.我们把{a，b，c}叫做空间的一个_______，a，b，c都叫做基向量．思考1：零向量能否作为一个基向量？为什么？提示：不能．零向量与任意两个向量a，b都共面．不共面xa＋yb＋zc基底做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间向量的基底是唯一的．(

)(2)若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量．(

)×√√√提示：(1)任意三个不共面向量都可以作为空间的一个基底．(2)若a，b，c中有一个零向量，则a，b，c三向量共面不能构成基底．(4)a，b，c不共面，则必有x＝y＝z＝0.空间向量的正交分解知识点21．单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量___________，且长度都是_____，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．2．向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．两两垂直1做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间的单位正交基底是唯一的．(

)(2)单位正交基底中每一个基向量是单位向量．(

)(3)对于单位正交基底{i，j，k},2j＝0i＋2j＋0k.(

)提示：(1)不唯一．(2)由单位正交基底的定义可知正确．(3)由向量正交分解知正确．×√√关键能力•攻重难题型探究题型一基底的判断[规律方法]

判断基底的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．

在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是(

)对点训练❶C题型二用基底表示空间向量[规律方法]

用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.对点训练❷题型三空间向量基本定理的应用3.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．[规律方法]

应用空间向量基本定理可以证明空间的线线垂直、线线平行，可求两条异面直线所成的角等．首先根据几何体的特点，选择一个基底，把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示．(1)若证明线线垂直，只需证明两向量数量积为0.(2)若证明线线平行，只需证明两向量共线．(3)若要求异面直线所成的角，则转化为两向量的夹角(或其补角)．

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC所成角的余弦值．对点训练❸课堂检测•固双基1．下列说法正确的是(

)A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等[解析]

A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B项，空间基底有无数个；D项中因为基底不唯一，所以