阶电路时域分析

第11章一阶电路时域分析11.1电感元件和电容元件11.2动态电路方程的列写11.3动态电路的初始条件11.4一阶动态电路11.6全响应的分解11.5二阶动态电路11.9状态变量法11.7单位阶跃响应和单位冲激响应11.8卷积积分.1一、电感元件(inductor)inductance

i+–u–+eLi+–u变量:电流i,

磁链

1.线性定常电感元件

=N

为电感线圈的磁链L

称为自感系数L的单位名称：亨[利]符号：H(Henry）电感以磁场形式存储能量。11.1电感元件和电容元件.2韦安（

-i）特性

i02.线性电感电压、电流关系：由电磁感应定律与楞次定律i,

右螺旋e,

右螺旋u,i

关联

i+–u–+e.3(3)电感元件是一种记忆元件；(2)当i为常数(直流)时，di/dt=0

u=0,

电感在直流电路中相当于短路；(4)当u，i为关联方向时，u=Ldi/dt；

u，i为非关联方向时，u=–Ldi/dt。电感的电压-电流关系小结：(1)u的大小与i

的变化率成正比，与i的大小无关；.43.电感的储能不消耗能量从t0

到t

电感储能的变化量：无源元件.54.电感的串并联Lequi+_等效电感L1ui+_u1n个电感串联L2u2Lnun+++___（1）电感的串联根据KVL和电感的电压电流的关系，有等效电感与各电感的关系式为结论：n个串联电感的等效电感值等于各电感值之和。.6(2)电感的并联Lequi+_等效电感inL1ui+_i1L2i2Ln+__++_u1u2unn个电感并联根据KCL及电感的电压与电流的关系式，有.7等效电感与各电感的关系式为结论：n个并联电感的等效电感值的倒数等于各电感值倒数之和。当两个电感并联（n=2）时，等效电感值为.8二、电容元件(capacitor)电容器++++––––+q–q线性定常电容元件电路符号C电容以电场形式存储能量。描述电容的两个基本变量:u,q对于线性电容，有：q=Cu

1.元件特性Ciu+–+–电容C的单位：法[拉]，

符号：F(Farad)常用

F，pF等表示。.9库伏（q-u）

特性C

tan

qu0

2.线性电容的电压、电流关系Ciu+–+–.10电容的电压-电流关系小结：(1)i的大小与u

的变化率成正比，与u的大小无关；(3)电容元件是一种记忆元件；(2)当u为常数(直流)时，du/dt=0

i=0。电容在直流电路中相当于开路，电容有隔直作用；(4)表达式前的正、负号与u，i的参考方向有关。当u，i为关联方向时，i=Cdu/dt；

u，i为非关联方向时，i=–Cdu/dt。.113.电容的储能从t0到t

电容储能的变化量：不消耗能量无源元件.124.电容的串并联（1）电容的串联Cequi+_i等效电容C1ui+_u1n个电容串联C2u2Cnun+++___由KVL，有代入各电容的电压、电流关系式，得.13等效电容与各电容的关系式为结论：n个串联电容的等效电容值的倒数等于各电容值的倒数之和。当两个电容串联（n=2）时，等效电容值为.14（2）电容的并联Cequ+_+_q等效电容由KCL，有代入各电容的电压、电流关系式，得iniC1u+_i1C2i2Cn+__++_q1q2qnn个电容并联等效电容与各电容的关系式为结论：n个并联电容的等效电容值等于各电容值之和。.15电容元件与电感元件的比较：电容C电感L变量电流

i磁链

关系式电压u

电荷q

(1)元件方程是同一类型；(2)若把u-i，q-

，C-L，

i-u互换,可由电容元件的方程得到电感元件的方程；(3)C

和L称为对偶元件,

、q等称为对偶元素。.16S未动作前i=0,uC=0i

=0,uC=US1.什么是电路的过渡过程稳定状态i+–uCUSRC三、动态电路简介稳态分析S+–uCUSRCi

t=0S接通电源后很长时间.17S+–uCUSRCi初始状态过渡状态新稳态过渡过程：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。t1USuCt0?过渡状态（瞬态、暂态）.182.过渡过程产生的原因（1）电路内部含有储能元件L、M、C能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。（2）电路结构发生变化支路接入或断开；参数变化+-uSR1R2R3换路.193.稳态分析和暂态分析的区别稳态暂态换路发生很长时间后换路刚刚发生iL、

uC随时间变化代数方程组描述电路微分方程组描述电路IL、

UC不变.20时域分析法复频域分析法时域分析法经典法拉普拉斯变换法状态变量法数值法4.分析方法激励u(t)响应i(t)返回目录.215.2动态电路方程的列写依据：KCL、KVL和元件约束。.22iS(t=0)US+–uRC+–uCR例1例2iL+uL-SR+_uS+-uRL复习常系数线性常微分方程求解过程。(t=0)0.01F+-uC0.04HRiL例3返回目录.23一、t=0+与t=0-的概念换路在t=0时刻进行0-

t=0的前一瞬间0+

t=0的后一瞬间11.3动态电路的初始条件初始条件就是t=0+时u，i及其各阶导数的值。0-0+0tf(t).24二、换路定律q

=CuCt=0+时刻当i(

)为有限值时iuCC+-q

(0+)=q

(0-)uC

(0+)=uC

(0-)电荷守恒.25当u为有限值时

L

(0+)=

L

(0-)iL(0+)=iL(0-)磁链守恒iLuL+

换路定律成立的条件!!!.26三、电路初始值的确定(2)由换路定律

uC

(0+)=uC

(0-)=8V+-10ViC(0＋)+8V-10k

0+等效电路(1)由0-电路求uC(0-)+-10V+uC-10k

40k

uC(0-)=8V(3)由0+等效电路求iC(0+)iC(0-)=0iC(0+)例1+-10ViC+uC-S10k

40k

求iC(0+)。电阻电路1电阻电路2.27

iL(0+)=iL(0-)=2A例2t=0时闭合开关S,求uL(0+)。iL+uL-L10VS1

4

+uL-10V1

4

0+电路2A电阻电路.28(1)

例3iL+uL

LSR+

uS+-uR已知求(2)0+时刻电路:+-+uL-R+-uRiL(0+).29小结——求初始值的步骤：1.由换路前电路（稳定状态）求uC(0-)

和iL(0-)。2.由换路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.画出0+时刻的等效电路。

（1）画换路后电路的拓扑结构；

（2）电容（电感）用电压源（电流源）替代。

取0+时刻值，方向同原假定的电容电压、

电感电流方向。4.由0+电路求其它各变量的0+值。电阻电路(直流)电阻电路返回目录.30对L元件：当积分上限为t0+

，下限为t0-

，则有:

(t0+)=

(t0-)iL(t0+)=iL(t0-)若uL为有限值q(t0+)=q(t0-)uc(t0+)=uc(t0-)

(t0+)=

(t0-)iL(t0+)=iL(t0-)总结:.31若换路时刻t=0时刻，则为:q(0+)=q(0-)uc(0+)=uc(0-)

(0+)=

(0-)iL(0+)=iL(0-)对于联接有多个电容的结点（但不含电压源），换路前后电荷守恒：

q(0+)=

q(0-)即

Cuc(0+)=

Cuc(0-)

对于由多个电感构成的回路（不含电流源），换路前后磁链守恒：

(0+)=

(0-)即

LiL(0+)=

LiL(0-)

.32例11.1-1图示电路，求它们换路前后的磁链关系。+-RL1C2L3usii1i2i3解:列KVL方程对上式在[0-，0+]进行积分，设i1、i2、i3、i

、q2、us为有限值=0L1[i1(0+)－i1(0－)]+L3[i3(0+)-i3(0－)]=0L1i1(0+)+L3i3(0+)=L1i1(0－)+L3i3(0－)磁链是和还是差与电流的参考方向有关.33电路的初始条件初始条件(初始值)是求解变量及其阶(n-1)导数在t=0+时的值。uC(0+)、iL(0+)称为独立初始值。电路在过渡过程状态时，遵守：

换路定则、KVL、KCL及各元件的VCR求初值用0+网络.34例11.1-2图示电路，t<0时电路处于稳态，t=0时K闭合

求i(0+)、iC(0+)、uL(0+)K(t=0)iiLiC4

8

8

CL+-+-uCuL12V解:t

0-时uC(0-)=0

iL(0-)=0

据换路定则:uC(0+)=uC(0-)=0iL(0+)=iL(0-)=0画时0+等值网络，电容用短路代替，电感开路。iiC4

8

8

+-uL12V0+等值网络i(0+)=iC(0+)=12/(4+8)=1AuL(0+)=8

1=8V由此可见:iC(0-)=0

iC(0+)=1AuL(0-)=0

uL(0+)=8iC

、uL可跳变.35讨论：将上例中的电源换成交流电源us(t)=10sin(

t+300)V，

再求i(0+)、iC(0+)、uL(0+)解:t

0-时uC(0-)=0

iL(0-)=0

据换路定则:uC(0+)=uC(0-)=0iL(0+)=iL(0-)=0画时0+等值网络，电容用短路代替，电感开路。iiC4

8

8

+-uL

5V0+等值网络us(0+)=10sin300=5Vi(0+)=iC(0+)=5/(4+8)=0.42AuL(0+)=8

0.42=3.36V结论:外加电源应考虑t=0+时的值+-K(t=0)iiLiC4

8

8

CL+-+-uCuLus.36例11.1-3K断开前电路处于稳态，t=0时K断开，u(t)=10sin2t(V)

求uC(0+)、iL(0+)、i(0+)、iL’(0+)+-iLiC2

1

5

0.5F1H+-uCu(t)K(t=0)i解:t<0时处于正弦稳态

用相量法求uC(t)和iL(t)写成时域表达式：令t=0-有.37据换路定则:

uC(0+)=uC(0-)=-5ViL(0+)=iL(0-)=-2.5A画时0+等值网络:+-iLiC2

1

5

0.5F1H+-uCu(t)K(t=0)i求uC(0+)、iL(0+)、i(0+)、iL’(0+)+-2

1

5

i(0+)iL(0+)uC(0+)0+等值网络+-uL(0+)A列A结点电压方程.38+-2

1

5

i(0+)iL(0+)uC(0+)0+等值网络+-uL(0+)A求uC(0+)、iL(0+)、i(0+)、iL’(0+)uC(0+)=-5ViL(0+)=-2.5A当uC(0+)或iL(0+)不为0时，画0+网络，电容用电压源uC(0+)代替，电感用电流源iL(0+)代替。.39例11.1-4t<0时电路处于稳态，t=0时K由1位合到2位。

求uC1(0+)RC2+-uC2U0K(t=0)12C1+-uC1解:t

0-时uC2(0-)=0uC1(0-)=U0当开关由1合到2，此时:uC1(0+)

uC1(0-)uC2(0+)

uC2(0-)

一个结点上有两个电容，电容不独立但uC1(0+)=uC2(0+)故必须用

q(0+)=

q(0-)求解(C1+C2)uC1(0+)=C1uC1(0-)+C2uC2(0-)=C1U0+0=C1U0.40例11.1-5:电路如图(a)所示，开关未动作前电路已达稳定，求uC(0+)、iL(0+)、、、+-K(t=0)6

6

3

12V0.1HiCiLiR+uL-+uC

-图(a)+-6

3

12ViC(0+)iL(0+)iR(0+)+uL(0+)

-+-uC(0+)图(b).4111.4一阶动态电路全解=齐次解+特解全响应=自由响应+强制响应列方程：iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=U0非齐次线性常微分方程解答形式为：非齐次方程的通解非齐次方程的特解例1一、经典解法.42与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量变化规律由电路参数和结构决定全解uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由起始条件uC

(0+)=U0

定积分常数A：齐次方程的通解：特解（强制分量）=US：通解（自由分量，暂态分量）.43强制分量(稳态)自由分量(暂态)ti0US>U0tuCU0-USuC'uC"USU00.44令

=RC

,称

为一阶电路的时间常数。时间常数

的大小反映了电路过渡过程时间的长短。

大过渡过程时间的长；

小过渡过程时间的短。U0tuC0

小

大电压初值一定：R

大（C不变）i=u/R放电电流小放电时间长C

大（R不变）W=0.5Cu2

储能大.45工程上认为,经过3

~5

,过渡过程结束。A0.368A

0.135A

0.05A

0.007A

t0

2

3

5

A

A

e

-1

A

e

-2

A

e

-3

Ae

-5

：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。.46特征方程:

Lp+R=0特征根

p=确定A：A=i(0+)=I0i

(0+)=i

(0-)=iS(t=0)USL+–uLRR1例2通解：I0ti0.47令

=L/R，一阶RL电路的时间常数.L大初始储能大R小放电过程功率小放电慢

大电流初值一定：.48iL

(0+)=iL(0-)=1AuV(0+)=

10000VV坏了！例3t=0时刻S打开,求uV.电压表量程为50V.iLLR10VV根据例2结论续流二极管iLS(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10V.49小结：经典法求解一阶电路过渡过程的一般步骤:

列写微分方程（以uC或iL等为变量）；

求非齐次方程的通解（相应的齐次方程的解）；

求非齐次方程的特解（稳态解）；

确定初始条件（0+时刻）；求初始值的步骤

根据初始条件确定积分常数。.50二、三要素法

特点:

（1）同一电路不同支路变量微分方程的特征方程完全相同

同一电路不同支路变量解的自由分量形式完全相同

（2）同一电路不同支路变量微分方程等号右端项和初始值不同

同一电路不同支路变量解的强制分量和待定系数不同

（3）同一电路不同支路变量解的强制分量均为该变量的稳态解iS(t=0)US+–uRC+–uCR.51任意支路量方程的形式：强制分量自由分量恒定激励下一阶电路的解的一般形式为令t=0+适用范围：激励为直流和正弦交流!!!.52例4已知：t=0时合开关S。

求换路后的uC(t)的全响应，

强制分量，自由分量。解:tuC2(V)0.6670全响应强制分量自由分量定性画曲线的几个要点1A2

1

3F+-uCS.53三、脉冲序列作用下的RC电路uS+-uC(0-)=0R+uC-+uR-uStT2T3T100V00<t<TuC(0+)=0uC(

)=100VT2T3TtuC0100V

=RCT<t<2TuC(T+)=100VuC(

)=0

=RC（1）T>>

.540<t<T稳态解：U2U1uS+-uC(0-)=0R+uC-+uR-tT2T3T100

V0uS（2）T

与

接近等效电路图100V+-R+uC

+uR-仿真2uStT2T3T100V0这类问题的分析特点：（1）认为电路已经进入稳态（2）画不同状态下的电路图，求解电路（3）利用边界条件求出关键点电压/电流.55T<t<2T等效电路图R+uC-+uR-tT2T3T100V

U2U10uS+-uC(0-)=0R+uC-+uR-.56tT2T3T100V

U2U100<t<TT<t<2Tt=Tt=2T这类问题的分析特点：（1）设电路已经进入稳态（2）画电路图，求解电路（3）利用边界条件求出

关键点电压/电流uS+-uC(0-)=0R+uC-+uR-C.571.MOSFET反相器的输出延迟GDSRLUSui1GDSRLUSuO2uO1ui2ui1uO2ABuO1ui2tui10tuO10tuO10四、一阶电路几个典型的应用实例.58GDSRLUSui1GDSRLUSuO2uO1ui2ui1GDSCGS1GDSCGS2uO1uO2RONRLRLUSUSGDSCGS1GDSCGS2uO1uO2RONRLRLUSUSui1ui1=“0”ui1=“1”.59导通阈值ui1

由“1”变为“0”CGS2

充电ui1GDSCGS1GDSCGS2uO1uO2RONRLRLUSUSGDSCGS1GDSCGS2uO1uO2RONRLRLUSUSui1ui1=“0”ui1=“1”USRLCGS2+_UO1+_.60关断阈值CGS2

放电ui1

由“0”变为“1”ui1GDSCGS1GDSCGS2uO1uO2RONRLRLUSUSGDSCGS1GDSCGS2uO1uO2RONRLRLUSUSui1ui1=“0”ui1=“1”USRLRONCGS2+_UO1+_.61tpd,0

1tpd,1

0tui10tuO20tuO10UOLUOH.622.DC-DC变换问题：如何改变直流电压？方法一：uGStT2T3T0utT2T3TUS0+–uRUSDSG缺点：类似桥式整流，

直流质量较差。改进思路：

利用电感维持电流的能力。开关信号.63uGSu、itONtOFFt0<t<tON时段等效电路I1I2+–uRUSLi+–uRUSDSGLiiT这类问题的分析特点：（1）设电路已经进入稳态（2）画电路图，求电路解（3）利用边界条件求出

关键点电压/电流0方法二：.64tON<t<tON+

tOFF时段等效电路+–uRLi+–uRUSDSGLiuGSu、itI1I2itONtOFFT0.65uGSu、itI1I2itONtOFFT这类问题的分析特点：（1）设电路已进入稳态（2）画电路图，求电路解（3）利用边界条件求出

关键点电压/电流0+–uRUSDSGLi.66+–uRUSDSGLi从工程观点来估计U：因为L值取得较大，可看作i＝I不变，因此u=U

也不变。I+–URUSL+–URLI电感吸收的能量为电感发出的能量为稳态时电感每周期能量守恒降压斩波器BuckConverter.673.AC-DC变换用二极管的模型1分析电路。+_iD1D3D2D4+_uR（1）D1～D4共有16种状态（2）电流i只能从上往下流。（3）D1～D4有两种可能的导通模式：

D1和D4同时导通；D2和D3同时导通。ui0非线性电路，分段讨论。.68u设D1和D4同时导通设D2和D3同时导通条件i>0

uS>0，

u=uS条件i>0

uS<0，u=－uS0ust+_iD1D3D2D4+_uR+_iD1D4+_uR+_iD3D2+_uRR获得直流.69问题1：该直流电压平均值多大？问题2：如何改进该直流电压的质量？电容具有维持电压的能力usu0t+_iD1D3D2D4+_uRC+C很大.70D1和D4同时导通给C充电uS下降，电容放电。τ很大，放电很缓慢。正弦的衰减速度>RC放电速度。uC>uS，D1和D4截止。uS>0时uC>uS，二极管不导通0t假设uC为某值+_i+_uCRCD1D4C很大RC放电.71uS<0时D2和D3同时导通给C充电0t1.直流电压平均值提高；2.直流电压脉动减小。+_iD3D2+_uCRC+RC放电uC>-uS，二极管不导通.724.用OpAmp构成微分器和积分器（1）积分器+-

++_uo+_uiR1RC＋＋－－uCuR如果ui＝US（常数），则线性函数.73（2）微分器+-

++_uo+_uiR1RC＋＋－－uCuR如果ui＝t

US（线性函数），则常数.74正反馈电路：虚短不再适用虚断仍然适用电路开始工作时存在小扰动。由于正反馈，uo为Usat或－Usat设uo＝Usat，则u＋＝+-

++_uoRRC+_uCR1设此时uC=0，等效电路为+-Usat+uC-CR1上升至时uC=由于正反馈，uo＝－Usat5.用OpAmp构成脉冲序列发生器.75uo＝－Usat，此时uC=Usat/2，等效电路为－+Usat+uC-CR1下降至时，uC

=－由于正反馈，uo＝＋Usat+-

++_uoRRC+_uCR1.76tuO+-

++_uoRRC+_uCR1uC0占空比：D=ton/T也可以得到如何使占空比可调？t=T/2时如何产生三角波？返回目录.77R分别为5

、4

、1

、0

时求uC(t)、iL(t)，t

0。uC(0-)=3ViL(0-)=0(t=0)0.01F+-uC0.04HRiL1.列方程5.5二阶动态电路一、经典解法求解析表达式.782.求自由分量特征方程(t=0)0.01F+-uC0.04HRiL.79R＝5

R＝4

R＝1

(t=0)0.01F+-uC0.04HRiL过阻尼临界阻尼欠阻尼.80有关欠阻尼二阶动态电路中3个参数的讨论：自由振荡角频率/自然角频率衰减系数欠阻尼

<

0物理上稳定的系统衰减振荡角频率.813.用初值确定待定系数R＝5

R＝4

R＝1

.82R＝5

R＝4

R＝1

(t=0)0.01F+-uC0.04HRiL看仿真.83iLuC过阻尼，无振荡放电4.波形与能量传递R＝5

0<t<tm

uC减小,i增加.t>tm

uC减小,i减小。tmRLCRLC.84iLuC0<t<tm

uC减小,

i

增加.t>tm

uC减小,i减小.R＝4

tmRLCRLC临界阻尼，无振荡放电.85欠阻尼，振荡放电R＝1

uCiL.86uCiLRLCuC

减小，

i增加RLCuC减小，i减小|uC|

增加，i减小RLC讨论半个周期中能量的关系周而复始，电阻不断消耗能量，uCiL衰减到零。.87(t=0)0.01F+-uC0.04HiLR＝0无阻尼振荡.88二、用直觉解法定性画支路量的变化曲线1.过阻尼或临界阻尼（无振荡衰减）

初值

导数初值

终值(t=0)0.01F+-uC0.04HRiL3uC(0-)=3ViL(0-)=0uCiLuCt0iLt0以过阻尼为例。.892.欠阻尼（衰减振荡）

初值

导数初值

终值

经过多少周期振荡衰减完毕(t=0)0.01F+-uC0.04HRiLuC(0-)=3ViL(0-)=0回忆一阶电路中的时间常数

：3～5

后过渡过程结束后过渡过程结束振荡周期为衰减过程中有0.24/0.13≈2次振荡或0.4/0.13≈3次振荡衰减系数δ衰减振荡角频率ωd.90(t=0)0.01F+-uC0.04HRiL衰减过程中有0.24/0.13≈2次振荡或0.4/0.13≈3次振荡3uCuCt0

初值

导数初值

终值

经过多少周期振荡衰减完毕.913.无阻尼

初值

导数初值

最大值uC(0-)=3ViL(0-)=0因为无阻尼，所以能量守恒iL取最大值时，uC=0，因此1.5-1.5(t=0)0.01F+-uC0.04HiLiLt0iL.92三、关于列写方程和求初值的讨论C+-uLLRiL+-uC-+uR.93特点：

（1）同一电路不同支路变量微分方程的特征方程完全相同

自由分量形式完全相同

（2）同一电路不同支路变量微分方程等号右端项和初值不同

强制分量和待定系数不同

（3）同一电路不同支路变量微分方程列写和初值获取难度不同返回目录.945.6全响应的分解全解=齐次解+特解全响应=自由响应+强制响应激励外部输入（独立源）元件的初始储能零状态响应零输入响应+=全响应.95iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC(0-)=U0iS(t=0)US+–uRC+–uCR=uC

(0-)=0+uC(0-)=U0C+–uCiS(t=0)+–uRR全响应=零状态响应+零输入响应零状态响应零输入响应iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0例1强制分量(稳态解)自由分量(暂态解).96零状态响应零输入响应tuC0US零状态响应全响应零输入响应U0uC"-USU0暂态解uC'US稳态解U0uC全解tuC0强制分量(稳态解)自由分量(暂态解).97两种分解方式的比较：零状态响应零输入响应物理概念清楚利于叠加计算简单

全响应=零状态响应+零输入响应全响应=强制分量(稳态解)+自由分量(暂态解)强制分量(稳态解)自由分量(暂态解).98原因1：ZIR和ZSR都是可能单独出现的过渡过程原因2：ZSR对于分析一般激励的响应非常重要iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=0零状态激励响应输入－输出线性关系.99小结：2.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。

一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始储能引起的响应,都是从初始值衰减为零的指数衰减函数。3.衰减快慢取决于时间常数

RC电路

=RC

,RL电路

=L/R4.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。1.一阶电路的零状态响应与输入成正比，称为零状态线性。5.一阶电路的全响应既不与初始值成正比，也不与输入成正比。返回目录.100一、单位阶跃函数(unit-stepfunction)1.定义用来描述开关的动作：t=0合Su(t)=Et=0拉闸i(t)=ISSEu(t)t

(t)01ISS5.7单位阶跃响应和单位冲激响应.1012.单位阶跃函数的延迟3.由单位阶跃函数可组成复杂的信号例1

(t)tf(t)101t0tf(t)0t

(t-t0)t001t0-

(t-t0).102例21t1f(t)0t1t1011f(t)12120t(s)V例3.103iC+–uCRuC(0-)=0二、单位阶跃响应——单位阶跃激励下电路的零状态响应tuC1注意和的区别t01it0i.104

u(t)=

(t)+

(t

1)

2

(

2)

(t)(1

e

-t/6)

(t)

(t

1)(1

e

(t

1)/6)

(t

1)

2

(t-2)

2(1

e

(t

2)/6)

(t

2)iL(t)=(1

e

t/6)

(t)+(1

e

(t

1)/6)

(t

1)

2(1

e

(t

2)/6)

(t

2)u(t)12120t(s)例4+

u(t)1

5

5HiL已知:u(t)如图示,iL(0-)=0。求:iL(t),并定性画出其波形。.105例5求图示电路中电流iC(t)。10k

10k

uS+-iC100

FuC(0-)=00.510t/suS/V0解法一：两次换路，三要素法。解法二：10k

10k

+

iC100

FuC(0-)=010k

10k

+-iC100

FuC(0-)=0.106+

iC100

FuC(0-)=05k

等效10k

10k

+

iC100

FuC(0-)=010k

10k

+-iC100

FuC(0-)=0.107三、单位冲激函数（unitimpulsefunction）1.单位脉冲函数p(t)

1/

tp(t)0.1082.单位冲激函数

(t)

/21/

tp(t)-

/2定义：t

(t)(1)0.109+-C+uC-iCuS例6CE/

uStE

/20-

/2iC.110

0uC

E

(t)iC

CE

(t)iCtCE

(t)0uCtE0iCt

/2CE/

0-

/2uCtE

/20-

/2+-C+uC-iCE.111S+–uCECiC3.单位冲激函数的延迟

(t-t0)t=t0iCtCE

(t-t0)t00t

(t-t0)t00(1).1124.

函数的筛分性

同理有：f(0)

(t)例7t

(t)(1)0f(t)f(0)*f(t)在t0处连续.113t

(t)01t

(t)(1)0tr(t)011单位斜升函数四、

(t)与

(t)的关系.114五、一阶电路的冲激响应零状态h(t)单位冲激响应：单位冲激激励在电路中产生的零状态响应。方法1.由单位阶跃响应求单位冲激响应单位阶跃响应单位冲激响应h(t)s(t)单位冲激

(t)单位阶跃

(t).115先求单位阶跃响应令

is(t)=iCRisC例8+-uCuC(0+)=0

uC(

)=R

=RC

已知：求：iS(t)为单位冲激时，电路响应

uC(t)和iC(t)。iC(0+)=1

iC(

)=0

再求单位冲激响应令iS(t)=0.116uCRt0iC1t0uCt0iCt(1)冲激响应阶跃响应.1170-

0+0+

t零输入响应

电容充电方法2.分两个时间段来考虑冲激响应uC(0-)=0iCR

(t)C+-uC关键在于求uC(0+)

！.118=1=0uC不可能是冲激函数,否则KCL不成立。(1)t在0

0+间电容中的冲激电流使电容电压发生跳变iCRisC+-uC方法1：对微分方程0－～0＋积分步骤：(1)列写方程；(2)观察方程求uC(0+)；(3)求iC。.119iCRC+-uC方法2：电路直接观察法uC(0

)=0在作用的0－～0＋范围内的等效电路为iCRiS步骤：(1)画0－～0＋范围内电路；(2)求iC；(3)求uC

。在0－～0＋范围内将C用电压源替代。.120(2)t>0+零输入响应（RC放电）uCt0iCt(1)iCRCuC+_.121iL不可能是冲激

(1)t在0

0+间L+

iLR例9+

uLiL+

R+_uL0－～0＋.122（2）t>0+RL放电tiL0RuLiL+

LtuL(1)返回目录.1235.8卷积积分一、卷积积分的定义和性质定义设f1(t),

f2(t)t<0均为零

性质1证明令

=t

：0t

:t0性质2.124二、卷积积分的应用线性网络零状态e(t)h(t)r(t)即

性质4筛分性性质3=f(t)利用卷积积分可以求任意激励作用下的零状态响应。.125物理解释：在0<t<t0时段将激励e(t)看成一系列(N个)宽度为

，高度为e(k

)矩形脉冲的和。e(0)

2

k

(k+1)

t=t0t=t0时刻的响应是由0<t<t0时段的全部激励决定的（线性系统的因果性）。.126单位脉冲函数的延时e(0)

2

k

(k+1)

t=t00<t<t0.127第1个矩形脉冲若单位脉冲函数

p(t)的响应为

h

p(t)e(0)

2

k

(k+1)

第k个矩形脉冲t=t0.128t0

时刻观察到的响应应为0~t0时间内所有激励产生的响应的和

2

k

(k+1)

r(t)e(0)

2

k

(k+1)

t=t0t=t0.129单位脉冲响应单位脉冲单位冲激单位冲激响应积分

积分变量（激励作用时刻）t

参变量(观察响应时刻)由t0的任意性，得.130解：先求该电路的冲激响应h(t)uC(

)=0例1RCiS

+–uC已知：R=500k

,C=1

F,uC(0-)=0，求：uC(t)。.131再计算时的响应uC(t)：RCiS

+–uC冲激响应.132例2解被积函数积分变量参变量图解说明f2(t-

)

f2(

)

f2(-

)

f2(t-

)0t0

f2(

-t)t

f2(t-

)0t三、卷积积分的图形解法.133

f2(t-

)10t

f2(-

)10

f1(

)201

f1(

)f2(t-

)021t1tf1(t)*f2(t)0t1t’t’t’

f2(

)10

f1(-

)201-1tf1(t)*f2(t)0t1t’t’-1t’卷移乘积

f1(t-

)01-1t2

f2(

)f1(t-

)01-1t21.134由图解过程确定积分上下限：

2011e

(

)t01e

(t

)ttttt-1

20t01-11e

返回目录.135一、状态变量分析动态过程的独立变量。

选定系统中一组最少数量的变量X=[x1,x2,…xn]T，如果当t=t0时这组变量X(t0)和t

t0后的输入e(t)为已知，就可以确定t0及t0以后任何时刻系统的响应。X(t0)e(t)t

t0

称这一组最少数目的变量为状态变量。Y(t)t

t05.9状态变量法L3i3uSR6R5C2C1L4+-i5i6i4+-+-u1u2原因1:方程列写上的需要原因2:容易描述多输入多输