2025届新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率课件新人教A届选择性必修第一册

2．1直线的倾斜角与斜率2．1.1倾斜角与斜率素养目标•定方向

1．理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点)2．理解直线的方向向量和向量坐标表示．(重点)3．掌握过两点的直线斜率的计算公式，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点)

1．通过倾斜角概念的学习，提升数学抽象的数学素养．2．通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养.必备知识•探新知

直线的倾斜角知识点11.倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴_______与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.2．直线的倾斜角α的取值范围为_______________.思考1：任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的．正向0°≤α<180°做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与x轴垂直的直线，其倾斜角为90°.(

)(2)与x轴平行的直线，其倾斜角不存在．(

)(3)不存在倾斜角相同的直线．(

)√××直线的斜率知识点21.直线的斜率把一条直线的倾斜角α的_________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝______________.2．过两点的直线的斜率公式过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝______.提醒：所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．当直线的倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，但并不是该直线不存在，此时直线垂直于x轴(或平行于y轴或与y轴重合)．正切值tanα思考2：当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？提示：当倾斜角为锐角时，其斜率为正值，而且斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为钝角时，其斜率为负值，斜率随着倾斜角的增大而增大，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．做一做：直线l过(1,0)和(1,2)两点，则其倾斜角和斜率分别是(

)A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在 D．180°，不存在[解析]

因为直线l过(1,0)和(1,2)两点，则直线l的斜率不存在，则其倾斜角为90°.C直线的斜率与方向向量的关系知识点3(1)若直线l的斜率为k，则直线l的一个方向向量的坐标为_____________.(2)若直线l的一个方向向量的坐标为(x，y)，则直线l的斜率k＝______.做一做：若直线l的倾斜角为135°，则直线l的一个方向向量的坐标为_______________.[解析]

直线l的斜率k＝tan135°＝－1，则直线l的一个方向向量的坐标为(1，－1)．(1，k)(1，－1)关键能力•攻重难1．(1)下列说法正确的是(

)①直线倾斜角的范围是[0，π)；②斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等；③任何一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角；④任何一条直线都有倾斜角和斜率．A．①② B．①④C．①②④ D．①②③题型探究题型一直线的倾斜角A(2)(多选题)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为()A．α＋45° B．α－135°C．135°－α D．α－45°AB[解析]

(1)由于直线倾斜角的范围是[0，π)，故①正确；由于斜率相等的两条直线的倾斜角一定相等，故②正确；由于不是所有直线都有斜率，例如和x轴垂直的直线斜率不存在，但它的倾斜角为90°，故③不正确；根据和x轴垂直的直线斜率不存在，可得④错误．(2)根据题意，画出图形，如图所示，通过图象可知，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选AB.[规律方法]

直线倾斜角、斜率的概念的几个关注点(1)倾斜角越大，直线的倾斜程度越大；(2)当倾斜角是锐角时，斜率大于0，当倾斜角是钝角时，斜率小于0；(3)根据直线的旋转、图形的角度关系可以求倾斜角．(1)若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为(

)A．30°

B．60°C．30°或150°

D．60°或120°(2)已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，如图，则直线l2的倾斜角为___________.对点训练❶D135°[解析]

(1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.(2)设直线l2的倾斜角为α2，l1和l2向上的方向所成的角为120°，所以∠BAC＝120°，所以α2＝120°＋α1＝135°.题型二已知两点坐标求倾斜角和斜率2．(1)过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y等于(

)A．1

B．5C．－1

D．－5(2)已知直线l经过点P(3，m)和点Q(m，－2)，直线l的方向向量为(2,4)，则直线l的斜率为______，实数m的值为______.D2[规律方法]

直线斜率的计算方法(1)判断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在．对点训练❷C－2题型三斜率与倾斜角的应用角度1求斜率的范围3．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．(1)要使直线l与线段AB有公共点，则k≤－1或k≥1，即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.角度2三点共线问题4．若三点A(2，－3)，B(4,3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k＝_____.6[规律方法]

1.用斜率公式解决三点共线的方法2．直线的斜率与倾斜角的函数关系直线的斜率k＝tanα，0°≤α<180°且α≠90°.(1)若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于(

)A．2 B．3C．9 D．－9(2)已知点P(－1，－1)，另有两点A(1,0)，B(0,1)，若过点P的直线l与线段AB有交点，则直线l的斜率取值范围为_________.对点训练❸D易错警示忽视倾斜角是90°的直线斜率不存在致误5．求经过A(m,3)、B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．[辨析]

当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m＝1，m>1，m<1三种情况进行讨论．[误区警示]

在解决与斜率有关的问题时，要根据题目条件对斜率是否存在做出判断，以免漏解．课堂检测•固双基1．已知直线l经过A(1,2)，B(3,5)，则直线l的一个方向向量为(

)A