2025届新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.2双曲线的简单几何性质第2课时直线与双曲线的位置关系课件新人教A届选择性必修第一册

3.2双曲线3.2.2双曲线的简单几何性质第2课时直线与双曲线的位置关系素养目标•定方向

1．理解直线与双曲线的位置关系.(重点)2．会求解有关弦长问题.(重点、难点)

1．借助直线与双曲线的位置关系及判定方法培养直观想象、数学运算素养.2．借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升数学运算及逻辑推理素养.必备知识•探新知

直线与双曲线的位置关系知识点1平行相交于一点Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).Δ>0⇒直线与双曲线有_____个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有_____个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有_____个公共点.两一0思考：直线与双曲线只有一个交点，是不是直线与双曲线相切？提示：不是.当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点.A.1条 B．2条C.3条 D．4条C弦长公式知识点2若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝__________________________.±1关键能力•攻重难1．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围.(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点.[分析]

要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方程组成方程组，对方程解的个数进行讨论.题型探究题型一直线与双曲线的位置关系[规律方法]

直线与双曲线位置关系的判断方法：(1)方程思想的应用判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去y(或x)，则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；二次项系数不等于0时，若Δ>0则直线与双曲线有两个公共点，Δ＝0有一个公共点，Δ<0无公共点.(2)数形结合思想的应用①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.对点训练❶题型二弦长问题2．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.[规律方法]

求弦长的两种方法(1)距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长.对点训练❷题型三中点弦问题试问：是否存在被点B(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程，如果不存在，请说明理由.[分析]

不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾斜角不可能是90°.[规律方法]

中点弦问题：(一)可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；(二)可以用点差法和中点坐标公式求解.注意检验.对点训练❸易错警示[辨析]

错因在于忽视了4－k2＝0，即l与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线只有一个交点也符合题意.另外没有考虑直线l斜率不存在的情况.课堂检测•固双基A.0 B．1C．2 D．4[解析]

直线与渐近线平行，∴有一个交点.B2．若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(

)A.(－2,2) B．[－2,2)C.(－2,2] D．[－2,2][解析]

易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2<k<2.A3．直线l与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，若点P(4,1)为线段AB的中点，则直线l的方程是________