空间向量运算的坐标表示+高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3.2空间向量运算的坐标表示人教A

版高中数学选择性必修一第一章第三节复习回顾

空间向量的坐标表示：设

e,e₂,e3为单位正交基底对于空间任一向量p,

由空间向量基本定理，存在

有序实数组{x,y,z}使p=xe₁+ye₂+ze₃x,y,z叫

做P

在单位正交基

底e,e₂,e₃

下的坐标，记作p=(x,y,z)空间向量p

坐标(x,y,z)空间向量的运算：加法：C=a+b减法：c=a-b数

乘

：C=λa数量积：a.b=1lilb|cos<a,b>空间向量的几种特殊关系：平行：allb(b≠0)→a=λi垂

直

：alb→a.b=0空间向量的模与夹角：

d,<a,b>平面向量空间向量向量运算的坐标表示1、加2、数3、数个1、平行2、垂直：1、模长：2、夹角：类比是我们探究规律的重要方3

的距离：法设a=(a,b,c₁),b=(a₂,b₂,C₂),C=(a₃,b₃,c₃)加法：

a+b=(a₁+a₂,b₁+b₂,c₁+c₂)减法：

a-b=(a₁-a₂,b₁-b₂,c₁-c₂)数乘：

λa=(λa,λb,2c₁)

O数量积：a.b=aa₂+b₁b₂+c₁C₂探究新知1、空

间向量加减法、数乘、数量积运算的坐标表示你能对这些运算的生标表示加以证明吗?抓住根本：空间向量的坐标表示!探究新知2、

空间向量平行与垂直的坐标表示平行：alIb(b≠0)→a=λb⇔a=λa₂

,b₁=λb₂,c₁=λc₂(λ∈R)垂直：

a

⊥b⇔a.b=0⇔q₁a₂+b₁b₂+G₁c₂=0两个空间向量平行与两个平面向量平行的条件本

质上是一致的，即对应坐标成比例，且比值为λ.探究新知3、长度、夹角、两点间距离公式a|=√

空间向量长度的几何意义表示长方体对角线的长度.注意：

①

∈[0°,180°]②当

<a,

b>=

0°,9

0

°,180°时

，两向量分别同向、垂直、反向XB原点的选取无关AB=OB-OA=(az-a₁,b2-b,C2-C₁)ZAB[=√AB·AB在空间直角坐标系中，已知点

A(a,b,c₁),B(a₂,b₂,C₂),A,B两点间的距离探究新知B(a₂则当堂检测(1)已知a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),(2)已知a=(-1,x,3),b=(2,-4,y),(3)若向量a=(x,4,5),b=(1,-2,2),的余弦值为

,

求x的值。且

a

⊥b

.求x的值且a

//b.求x+y的值且a与b的夹角例题分析如图，在正方体ABCD-A₁BC₁D₁中，点E,F

分别是AB,CD

的一个四等分点，求BE

与

DF₁

所成角的余弦值.法一：几何法(定义)法二：向量法例题分折如图，在正方体ABCD-A₁BC₁D₁

中，点E,F

分别是AB,CD

的一个四等分点，求BE

与

DF₁所成角的余弦值.法一：几何法(定义)法二：向量法【方法提炼】①建系、读取点坐标②构造向量并坐标化⑤进行向量的坐标运算，

获得几何结论例题分折如图，在正方体ABCD-A₁BC₁D₁中

，点E,F

分别是AB,CD

的一个四等分点，求BE

与

DF

所成角的余弦值.法一：几何法(定义)法二：向量法【方法提炼】①建系、读取点坐标②构造向量并坐标化⑤进行向量的坐标运算，获得几何结论变

式

1

:若点E,F

分别是BB,D₁B₁的中点，求证EF⊥DA₁

.例题分折如图，在正方体ABCD-A₁BC₁D₁

中，点E,F

分别是AB,CD

的一个四等分点，求BE

与

DF

所成角的余弦值.法一：几何法(定义)法二：向量法【方法提炼】①建系、读取点坐标②构造向量并坐标化⑤进行向量的坐标运算，获得几何结论变式1:若点E,F分别是BB,D₁B₁的中点，求证EF⊥DA.变式2:G是

BB₁

的一个靠近点B

的四等分点，H

为DD₁

上的一点，

若GH⊥DF,

试确定H点的位置.(课本97页练习3)如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M是AB的中点，求DB₁与CM所成角的余弦值.能力提升如图，在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁

中，点P在线段CC₁上，且CC₁=3CP,Q

为CD上一

点，若BQ⊥平面

AD₁P,试

确

定Q点的位置.演练反馈1、空间向量运算的坐标表示(1)空间向量