2025届新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程课件新人教A届选择性必修第一册

3.2双曲线3．2.1双曲线及其标准方程素养目标•定方向

1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.(重点)2．掌握双曲线的标准方程及其求法.(重点)3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.(难点)

1．通过双曲线概念的学习，培养数学抽象素养.2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升数学运算、逻辑推理及数学抽象素养.必备知识•探新知

双曲线的定义知识点11．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的_________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，0<2a<|F1F2|}.3．焦点：两个_________________.4．焦距：___________的距离，表示为|F1F2|.绝对值定点F1，F2两焦点间思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？提示：(1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(2)点M在双曲线的右支上.做一做：1.已知平面上定点F1，F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，则甲是乙的(

)A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]

根据双曲线的定义知甲

乙，乙⇒甲，因此甲是乙的必要条件，故选B.B2．已知A(0，－5)，B(0,5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为(

)A．双曲线或一条直线

B．双曲线或两条直线C．双曲线一支或一条直线

D．双曲线一支或一条射线[解析]

当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.D双曲线标准方程知识点2焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上焦点___________________________________a，b，c的关系c2＝_____________(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)a2＋b2做一做：1.设动点M到点A(0，－5)的距离与它到点B(0,5)的距离的差等于6，则M点的轨迹方程是(

)Cx(6,0)和(－6,0)关键能力•攻重难1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：题型探究题型一求双曲线的标准方程[分析]

(1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解.(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解.(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解.[规律方法]

用待定系数法求双曲线方程的步骤.(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.(2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)；(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.(4)结论：写出双曲线的标准方程.对点训练❶题型二双曲线标准方程的识别(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.[解析]

(1)方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0，即(k＋4)(k－1)>0，解得k>1或k<－4，因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞).(1)若方程表示双曲线，求a的取值范围；(2)试说明(1)中的双曲线有共同的焦点.对点训练❷(2)由(1)可知，双曲线的焦点在y轴上，且c2＝5＋a＋(－4－a)＝1.所以，方程表示的双曲线的焦点坐标为(0,1)，(0，－1)，显然与方程中的a无关，因此(1)中的双曲线有共同的焦点.题型三双曲线定义的简单应用BC[规律方法]

双曲线的定义的应用(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离.(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用.对点训练❸易错警示4．已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值.课堂检测•固双基1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(

)C2．已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是(

)A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0[解析]

∵|F1F2|＝6，A中，∵||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点P的轨迹是双曲线；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，∵||PF1|－|