新教材2024版高中数学第六章概率章末复习课学生用书北师大版选择性必修第一册

章末复习课一、条件概率1．条件概率的求解(1)利用定义，分别求出P(A)和P(AB)，然后利用P(B|A)＝PAB(2)借助古典概型公式，利用P(B|A)＝nAB例1世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”．通俗点说就是存在A传B，B又传C，C又传D，这就是“持续人传人”．那么A，B，C就会被称为第一代、其次代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、其次代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参与了一次多人宴会，事后知道，参与宴会的人有5名第一代传播者，3名其次代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参与聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率为________．跟踪训练1某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参与演讲竞赛，接受抽签法确定演讲依次，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最终一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为________．2．事务的独立性相互独立事务一般与互斥事务、对立事务结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事务间的内部联系，在此基础上用基本领务之间的交、并、补运算表示出有关事务，并运用相应公式求解．例2每个工作日甲、乙、丙、丁4人需运用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需运用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需运用设备的概率；(2)X表示同一工作日需运用设备的人数，求P(X＝1)．跟踪训练2在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气精确的概率分别为45和3(1)甲、乙两个气象台同时预报天气精确的概率；(2)至少有一个气象台预报精确的概率．3．全概率公式全概率公式供应了计算困难事务概率的一条有效途径，使一个困难事务的概率计算问题化繁为简．例3某药店购进一批消毒液，其品牌、数量和优质率如下表：品牌甲乙丙数量(瓶)24012040优质率95%90%85%现从该药店随意买一瓶消毒液，求买到优质品的概率．跟踪训练3据美国的一份资料报导，在美国总的来说患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，求不吸烟者患肺癌的概率是多少？二、离散型随机变量的分布列、均值与方差求离散型随机变量ξ的分布列、均值、方差的方法(1)理解离散型随机变量ξ的意义，写出ξ的全部可能取值；(2)求ξ取每个值的概率；(3)写出ξ的分布列；(4)依据均值、方差的定义求Eξ，Dξ.例4甲、乙两个同学同时报名参与某重点高校2024年强基支配招生，招生程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参与文化测试，文化测试合格者即可获得入选资格．已知甲，乙两人审核过关的概率分别为35，1(1)求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率；(2)设ξ表示甲，乙两人中获得入选资格的人数，求ξ的数学期望．跟踪训练4甲、乙两人进行定点投篮嬉戏，投篮者若投中，则接着投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.在前3次投篮中，乙投篮的次数为三、概率分布模型1．二项分布把握二项分布的关键是理解随机试验中n次、独立、重复这些字眼，即试验是多次进行，试验之间是相互独立的，每次试验的概率是相同的，判定随机变量符合二项分布后结合相应的公式进行计算．例5某工厂在试验阶段大量生产一种零件．这种零件有A、B两项技术指标须要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为34，B项技术指标达标的概率为8(1)一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；(2)随意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ分布列及Eξ.跟踪训练5乒乓球单打竞赛在甲、乙两名运动员间进行，竞赛接受5局3胜制(即先胜3局者获胜，竞赛结束)，假设每局竞赛甲胜的概率23，乙胜的概率1(1)求乙以3∶1获胜的概率；(2)求甲获胜且竞赛局数多于3局的概率．2．超几何分布不放回取次品是超几何分布的典型试验，可以将取球、选队员等试验归入超几何分布问题，再利用其概率、均值公式进行计算．例6从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参与一项公益活动．(1)求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列及数学期望．跟踪训练6某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参与数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数，(1)请列出X的分布列；(2)依据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．3．正态分布(1)正态密度函数的解析式是由μ，σ确定的，其中μ是均值，是正态曲线的对称轴，σ是标准差．(2)驾驭三个特定区间上概率的值及3σ原则，利用曲线的对称性求解概率问题．例7已知随机变量X～N(2，1)，其正态分布密度曲线如图所示，若在边长为1的正方形OABC内随机取一点，则该点恰好取自黑色区域的概率为()附：若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.A．0.1359B．0.6587C．0.7282D．0.8641跟踪训练7已知某批零件的长度误差X听从正态分布N(μ，σ2)，其密度函数f(x)＝1σ2π第六章章末复习课考点聚集·分类突破例1解析：设事务A，B，C为和第一代、其次代、第三代传播者接触，事务D为小明被感染，则由已知得：P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(C)＝0.2，P(D|A)＝0.95，P(D|B)＝0.90，P(D|C)＝0.85，则P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋P(D|C)P(C)＝0.95×0.5＋0.90×0.3＋0.85×0.2＝0.915.答案：0.915跟踪训练1解析：设事务A：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最终一个出场”；事务B：“学生丙第一个出场”，对事务A，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最终，则优先从中间4个位置中选一个给甲，再将余下的4个人全排列有C41·A44对事件AB故P(B|A)＝nABnA＝C答案：1例2解析：记Ai表示事务：同一工作日乙、丙中恰有i人需运用设备，i＝0，1，2，B表示事务：甲需运用设备，C表示事务：丁需运用设备，D表示事务：同一工作日至少3人需运用设备．(1)D＝A1BC＋A2B＋A2BC，P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C2i×0.52，所以P(D)＝P(A1BC＋A2B＋A2BC)＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2BC)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(B)P(C)＝0.31.(2)X＝1表示在同一工作日有一人需运用设备．P(X＝1)＝P(BA0C+BA0C＋BA1＝P(B)P(A0)P(C)＋P(B)P(A0)P(C)＋P(B)·P(A1)P(C)＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25.跟踪训练2解析：记“甲气象台预报天气精确”为事务A，“乙气象台预报天气精确”为事务B.明显事务A，B相互独立且P(A)＝45，P(B)＝3(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝45×3(2)至少有一个气象台预报精确的概率为P＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝1－15×例3解析：设事务A1，A2，A3分别表示买到的消毒液为甲品牌、乙品牌、丙品牌；事务B表示买到优质品．由题意得P(A1)＝240400＝0.6，P(A2)＝120400＝0.3，P(A3)＝40400＝0.1，P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.9，P(B|由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.6×0.95＋0.3×0.9＋0.1×0.85＝0.925.故从该药店随意买一瓶消毒液，买到优质品的概率为0.925.跟踪训练3解析：以C记事务“患肺癌”，以A记事务“吸烟”，依据题意P(C)＝0.001，P(A)＝0.20，P(C|A)＝0.04，需求条件概率P(CA)，由全概率公式有P(C)＝P(C|A)P(A)+┤P(C将数据代入，得0．001＝0.004×0.20＋P(CA)P(A)＝0.004×0.20＋P(CA)×0.80P(CA)＝0.00025则不吸烟者患肺癌的概率为0.025%.例4解析：(1)设A＝“甲，乙两人至少有一人通过审核”，则P(A)＝1－1-3(2)ξ＝0，1，2P(ξ＝0)＝1-3P(ξ＝2)＝35×P(ξ＝1)＝1－[p(ξ＝0)＋p(ξ＝2)]＝49ξ012p334918∴Eξ＝0×p(ξ＝0)＋1×p(ξ＝1)＋2×p(ξ＝2)＝85100＝17跟踪训练4解析：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2.P(ξ＝0)＝13×1P(ξ＝1)＝13×2P(ξ＝2)＝23×3故ξ的分布列为ξ012P171Eξ＝0×19＋1×718＋2×12Dξ＝0-2518例5解析：(1)设M：一个零件经过检测至少一项技术指标达标，则M：A，B都不达标；故P(M)＝1－P(M)＝1－14·19＝所以一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率为3536(2)依题意两项技术指标都达标的概率为34×8所以ξ～B4，P(ξ＝0)＝134＝181，P(ξ＝1)＝CP(ξ＝2)＝C422P(ξ＝3)＝C432P(ξ＝4)＝234＝ξ的概率分布为：ξ01234P1883216Eξ＝881＋2×827＋3×3281＋4×1681＝故ξ的期望值为83跟踪训练5解析：(1)乒乓球单打竞赛在甲、乙两名运动员间进行，竞赛接受5局3胜制(即先胜3局者获进，竞赛结束)，假设每局竞赛甲胜的概率23，乙胜的概率13.所以乙以3∶1获胜的概率P＝C3(2)甲获胜且竞赛局数多于3局的概率为：P＝C322例6解析：(1)从某小组的5名女生和4名男生中任选3人，共有C所选3故所选3人中恰有一名男生的概率为4084＝10(2)随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3，P(ξ＝0)＝C53C93＝542，P(P(ξ＝2)＝C51CP(ξ＝3)＝C43C所以，随机变量ξ的分布列如下表所示：ξ0123P51051因此，随机变量ξ的数学期望为Eξ＝0×542＋1×1021＋2×514＋3×1跟踪训练6解析：(1)依题意得，随机变量X听从超几何分布，随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，