2024八年级数学下册专题2.7一元二次方程的应用3面积与动点问题重难点培优含解析新版浙教版

Page1专题2.7一元二次方程的应用（3）面积与动点问题（重难点培优）姓名：__________________班级：______________得分：_________________留意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空9道、解答5道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（青山区校级月考）现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是A．1 B．2 C．2.5 D．3【分析】设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，依据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解析】设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，依题意得：，整理，得．解得，，．（不合题意，舍去），．答：小道进出口的宽度应为2米．故选：．2．（上虞区期末）取一张长与宽之比为的长方形纸板，剪去四个边长为的小正方形（如图），并用它做一个无盖的长方体形态的包装盒．要使包装盒的容积为（纸板的厚度略去不计），问这张长方形纸板的长与宽分别为多少厘米？若设这张长方形纸板的长为厘米，则由题意可列出的方程是A． B． C． D．【分析】依据题意设这张长方形纸板的长为，宽为，进而表示出长方体的底面积，即可表示出长方体体积，进而得出方程．【解析】设这张长方形纸板的长为，宽为，依据题意可得：，故选：．3．（江干区期末）某公司支配用的材料沿墙（可利用）建立一个面积为的仓库，设仓库中和墙平行的一边长为，则下列方程中正确的是A． B． C． D．【分析】分别表示地处仓库的长和宽，然后依据矩形的面积计算方法列出方程即可．【解析】设仓库中和墙平行的一边长为，则垂直于墙的边长为，依据题意得：，故选：．4．（下城区期末）将正方形的一边长增加4，另一边长保持不变，所得的矩形的面积是原来的2倍．设正方形的边长为，则A． B． C． D．【分析】设这个正方形的边长为，依据把一个正方形的一边增加，另一边不变，得到的矩形面积的2倍，建立方程．【解析】设这个正方形的边长为，依据题意得．故选：．5．（香坊区期末）如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，假如要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为，依据题意可列方程A． B． C． D．【分析】设彩条的宽为，依据要设计一幅宽、长的图案，假如要使彩条所占面积是图案面积的六分之一，可列方程．【解析】设彩条的宽度是，则，故选：．6．（安溪县期中）在长为，宽为的长方形田地中开拓三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度设道路的宽度为，则可列方程A． B． C． D．【分析】依据余田的面积为468列出方程即可．【解析】设入口的宽度为，由题意得：．故选：．7．（上城区校级期中）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示），假如要使整个挂图的面积是，设边框的宽为，那么满足的方程是A． B． C． D．【分析】依据题意表示出矩形挂画的长和宽，再依据长方形的面积公式可得方程．【解析】设边框的宽为，所以整个挂画的长为，宽为，依据题意，得：，故选：．8．（官渡区期末）《生物多样性公约》第十五次缔约方大会将于2024年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，支配在一个长为，宽为的矩形场地（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行、另一条与平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为，求道路的宽度、若设道路的宽度为，则满足的方程为A． B． C． D．【分析】设道路的宽度为，则六块草坪可合成长，宽的矩形，依据矩形的面积计算公式，结合每一块草坪的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解析】设道路的宽度为，则六块草坪可合成长，宽的矩形，依题意得：．故选：．9．（平顶山模拟）如图所示，把四个长和宽分别为和的矩形拼接成大正方形．若四个矩形和中间小正方形的面积和为，则依据题意能列出的方程是A． B． C． D．【分析】依据正方形的面积公式，即可得出关于的一元二次方程，变形后即可得出结论．【解析】依题意，得：，即．故选：．10．（洛阳期末）如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽米．则可列方程为A． B． C． D．【分析】设道路的宽为，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程．【解析】设道路的宽为，依据题意得．故选：．二、填空题（本大题共9小题，每小题3分，共27分）请把答案干脆填写在横线上11．（浦江县期末）把面积为的一张纸分割成如图所示的正方形和长方形两部分，设正方形的边长为，则列出的方程化为一般形式是．【分析】设正方形的边长为，依据正方形和矩形的面积公式列方程即可．【解析】设正方形的边长为，依据题意得，，化为一般形式是，故答案为：．12．（开江县期末）如图，有一块长，宽的矩形空地，支配在这块空地上修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相同的人行通道，两块绿地的面积和为．设人行通道的宽度为，依据题意可列方程：．【分析】设人行通道的宽度为，则两块绿地可合成长，宽的矩形，依据两块绿地的面积和为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解析】设人行通道的宽度为，则两块绿地可合成长，宽的矩形，依题意得：．故答案为：．13．（东安县期末）将一块长方形桌布铺在长为1.5米，宽为1米的长方形桌面上，各边下垂的长度相同，并且桌布的面积是桌面面积的2倍，求桌布下垂的长度．设桌布下垂的长度为米，可列方程为．【分析】设桌布下垂的长度为米，则桌布的长为米，宽为米，依据桌布的面积是桌面面积的2倍，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解析】设桌布下垂的长度为米，则桌布的长为米，宽为米，依题意得：．故答案为：．14．（兴隆台区期末）如图，在宽为，长为的矩形场地上修建同样宽的三条小路（横向与纵向垂直），其余部分种草坪，假设草坪面积为，求道路宽为多少？设宽为，则列出的方程是．【分析】设宽为，剩下的耕田面积可平移成长方形，且能表示出长和宽，从而依据面积可列出方程．【解析】设宽为，．故答案为：．15．（鹿城区校级开学）如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15立方米的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需10元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了350元．【分析】设此长方体箱子的底面宽为米，则长为米，依据长方体箱子的容积为15立方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，进而可得出矩形铁皮的长和宽，再利用购回这张矩形铁皮的费用铁皮的面积，即可求出结论．【解析】设此长方体箱子的底面宽为米，则长为米，依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去），矩形铁皮的长为（米，宽为（米，购回这张矩形铁皮的费用为（元．故答案为：350．16．（永嘉县校级模拟）如图，世纪广场有一块长方形绿地，，，在绿地中开拓三条宽为的道路后，剩余绿地的面积为，则3．【分析】由在绿地中开拓三条宽为的道路后，剩余绿地的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解析】设道路的宽为，依据题意得：，解得：或3，不合题意，舍去，答：道路的宽为．故答案为：3．17．（商河县校级模拟）现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道的宽度应是2．【分析】设小道进出口的宽度为米，然后利用其种植花草的面积为列出方程求解即可．【解析】设小道进出口的宽度为米，依题意得，整理，得．解得，，．（不合题意，舍去），．答：小道进出口的宽度应为2米．故答案为：2．18．（永嘉县校级期末）如图，在宽为4、长为6的矩形花坛上铺设两条同样宽的石子路，余下部分种植花卉，若种植花卉的面积15，设铺设的石子路的宽为，依题意可列方程．【分析】首先设铺设的石子路的宽应为米，由题意得等量关系：（长方形的宽石子路的宽）（长方形的长石子路的宽），依据等量关系列出方程即可．【解析】设铺设的石子路的宽应为米，由题意得：，故答案为：．19．（任城区期中）如图，在中，，，．点从点动身沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点动身沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点．运动的时间是秒．过点作于点，连接、．则当时，四边形的面积是面积的一半．【分析】易证四边形为平行四边形，当点．运动的时间是秒时，，，，，依据四边形的面积是面积的一半，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【解析】，，，，．点的速度为点速度的一半，．又，，，四边形为平行四边形．当点．运动的时间是秒时，，，，，依题意，得：，即，整理，得：，解得：．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共43分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（浦东新区期中）如图所示，若要建一个由两个相同的小长方形组成的长方形花圃．花圃的面积为63平方米且一边靠墙（墙长15米），三边用篱笆围成．现有篱笆30米．求这个长方形花圃的长与宽．【分析】设这个长方形花圃的宽为米，平行于墙的边长为米，依据面积为63平方米，可列方程求解．【解析】设这个长方形花圃的宽为米，依题意得：，解得：，，当时，（舍去）．当时，．答：这个长方形花圃的长为9米，宽为7米．21．（黄浦区校级期中）如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米，为了使这个长方形的面积为96平方米，求、边各为多少米？【分析】设为米，然后表示出的长为米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．【解析】设为米，则为米，，解得：，，当时，（不合题意，舍去），当时，．答：米，米．22．（武进区期中）如图，中，，，，点从点动身沿边向点以的速度移动，点从点动身沿边向点以的速度移动；（1）若，两点同时动身，几秒后可使的面积为？（2）若，两点同时动身，几秒后的长度为；（3）的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．【分析】（1）设果、同时动身，秒钟后，，，，此时的面积为：，令该式，由此等量关系列出方程求出符合题意的值；（2）利用，则，由勾股定理定理可得解；（3）的面积的一半等于，令，推断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．【解析】点的移动速度为，点的移动速度为，所以设，则，（1）的面积为，即，解得或4，故2秒或4秒后的面积为；（2）的长度为．即，解得，故1.2秒后的长度为．（3）由题意得：，即：，，△，该方程无实数解，所以，不存在使得的面积等于的面积的一半的时刻．23．（商水县月考）如图，在中，，，．点从点起先沿边向点以的速度移动，点从点起先沿边向点以的速度移动，假如、分别从、同时动身，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒．（1）当为何值时，的面积等于？（2）当为何值时，的长度等于？（3）若点，的速度保持不变，点在到达点后返回点，点在到达点后返回点，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当为何值时，的面积等于？【分析】（1）依据题意表示出、的长，再依据三角形的面积公式列方程即可；（2）依据题意表示出、的长，再依据勾股定理列方程即可；（3）依据题意表示出、的长，再分三种状况，依据三角形的面积公式列方程即可．【解析】依据题意知，．（1）依据三角形的面积公式，得，，，解得，．故当为5或7时，的面积等于．（2）设秒后，的长度等于，依据勾股定理，得，，解得，．故当为或4时，的长度等于．（3）当时，，即，则，解得，．当时，则，，，则的面积，解得：或8（均舍去）；当时，，，，△，故方程无实数根．综上