2023-2024学年河南省商丘市高一（下）联考数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省商丘市高一（下）联考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知非零向量a=(4−k,0)，b=(6,k+2)，若a//b，则A.8 B.62 C.6 2.如图，在△ABC中，E为边AB的中点，BD=2DC，则DE=(

)A.−16AB+23AC

B.3.设z=2+4i1−3i，则z−的虚部是A.1 B.−1 C.−i D.i4.北京天安门广场中心屹立着一座中国最大的纪念碑——人民英雄纪念碑，它专门为缅怀近现代英雄而建，它不仅仅是一个简单的建筑，更是民族精神的象征.某学生为测量该纪念碑的高度CD，选取与碑基C在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=90米，在点B处测得碑顶D的仰角为30°，则纪念碑高CD为(

)A.156米 B.302米 C.155.如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，E为边AB的中点，线段AC与DE交于点F，则cos∠AFE=(

)

A.−32114 B.−216.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6,O′C′=2，则原图形OABC的面积为(

)

A.242 B.122 C.7.已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是(

)A.若m上有两点到平面α距离相等，则m/​/α

B.若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m与n是异面直线

C.若α/​/β，m⊂α，n⊂β，则m与n没有公共点

D.若α∩β=n，m⊂α，则m与β一定相交8.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点F是棱AA1上的一个动点，平面A.存在点F，使得A1C1/​/平面BED1F

B.对于任意点F，四边形BED1F均为平行四边形

C.四边形BED

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知向量a=(1,3)，b=(x,−2)(x>0)，且(a+A.与b同向的单位向量为(55,−255) B.a与b的夹角为π410.下列说法正确的是(

)A.|1+2i2023+3i2024|=20

B.z⋅z−=|z|2，z∈C

C.若|z+i|=1，z∈C，则|z−2|11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(

)A.若A>B，则sinA>sinB

B.若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形

C.若a=23,b=4,A=π4，则满足条件的三角形有两个

D.若(三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a+b+c)(sinA+sinB−sinC)=asinB，则C=______．13.已知边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，以AD为折痕进行折叠，使折后的∠BDC=π2，则过A，B，C，D四点的球的体积为______．14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，圆O的直径MN/​/CD，点P在正六边形的边上运动，则PM⋅PN的最小值为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知非零向量a，b满足|a|=1，且(a−b)⋅(a+b)=34．

(1)求|b16.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a=3bcosC+csinB．

(1)求角B的值；

(2)若b=2，且△ABC的面积为17.(本小题15分)

已知在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是DD1中点．

(1)求证：BD118.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=8，且(a−b)(sinA+sinB)=c(sinC−sinB)．

(Ⅰ)求△ABC面积的最大值；

(Ⅱ)若AB⋅AC=8,D为边BC的中点，求线段19.(本小题17分)

如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，PA是圆柱的母线，PA=3，AD=2AB=2，∠BAD=120°，C是BD上的动点．

(1)求圆柱的侧面积S；

(2)求四棱锥P−ABCD的体积V的最大值．

参考答案1.C

2.D

3.B

4.A

5.C

6.A

7.C

8.D

9.ACD

10.BD

11.ACD

12.2π313.514.8

15.解：(1)因为(a−b)⋅(a+b)=34，即a2−b2=34，即|a|2−|b|2=34，16.解：(1)由正弦定理及已知，化边为角得3sinA=3sinBcosC+sinCsinB．

∵A+B+C=π，∴sinA=sin(B+C)，代入得3sinBcosC+3cosBsinC=3sinBcosC+sinCsinB，

∴3cosBsinC=sinCsinB．

∵0<C<π，∴sinC≠0,tanB=3，

又∵0<B<π，∴B=π17.解：(1)证明：在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是DD1中点，

连接BD交AC于O，连接OE，显然O是BD的中点，则OE/​/BD1，

又OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，

所以BD1//平面AEC；

(2)显然AD，DC，DE两两垂直，而AD=a，

则AE=CE=52a,AC=218.解：(Ⅰ)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

又(a−b)(sinA+sinB)=c(sinC−sinB)，

则(a−b)(a+b)=c(c−b)，

即b2+c2−a2=bc，

即cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，

又0<A<π，

故A=π3，

因为a2=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，

所以bc≤64，当且仅当b=c时取等号．

所以S△ABC=12bcsinA=34bc≤163，

故△ABC面积的最大值为163．

(Ⅱ)因为D是边BC的中点，

所以AD=12(AB+AC)，

19.解：(1)∵在△ABD中，AD=2AB=2，∠BAD=120°，

∴由余弦定理可得：BD=22+12−2×1×2×(−12)=7，

设圆柱的底面圆的半径为r，则在△ABD中，由正弦定理