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文档简介
2.2排列数公式[教材要点]要点排列数公式Anm=______________________=__________(m≤状元随笔(1)排列的定义中包含两个基本内容:一是取出元素,二是按确定依次排列.(2)一个排列就是完成一件事情的一种方法,不同的排列就是完成一件事情的不同方法.(3)两个排列相同,须要满意两个条件:一是元素完全相同,二是元素的排列依次相同.4Anm表示一个数,且An5Ann[基础自测]1.思索辨析(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)由于排列数的阶乘式是一个分式,所以其化简的结果不愿定是整数.()(2)若Anm=10×9×8×7×6,则n=10,(3)n!=1×2×3×…×(n-1)×n.()(4)某班从8名运动员中选取4名参与4×100米接力赛,有A82.90×91×92×…×100可以表示为()A.A10010B.A3.若A2n3=10AnA.6B.7C.8D.94.3名男生和3名女生排成一排,男生不相邻的排法有______种.题型一排列数的计算例1(1)已知An+12A.4B.5C.6D.7(2)计算:A9方法归纳排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,应用时留意:连续正整数的积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用.(2)应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算,这样往往会削减运算量.跟踪训练11AA.12B.24C.30D.362A题型二排列的应用角度1特殊元素或特殊位置问题例2六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?(1)甲不站右端,也不站左端;(2)甲、乙站在两端;(3)甲不站左端,乙不站右端.状元随笔对于“人站队”问题,由于有依次,所以是排列问题,又由于支配甲、乙时有限制,所以这又是有限制条件的排列问题,应先考虑特殊元素甲、乙或特殊位置左、右两端,再考虑其他的状况.方法归纳特殊元素或特殊位置问题一般从以下三种思路考虑:(1)以元素为主考虑,即先支配特殊元素,再支配其他元素;(2)以位置为主考虑,即先支配特殊位置,再支配其他位置;(3)用间接法解题,先不考虑限制条件,计算出排列总数,再减去不符合要求的排列数.以上三种思路可以简化如图.当限制条件有两个或两个以上时,若互不影响,则干脆按分步解决;若相互影响,则先分类,然后在每一类中再分步解决.跟踪训练2从6名短跑运动员中选出4人参与4×100m接力赛,甲不能跑第一棒和第四棒,问共有________种参赛方案.()A.120B.240C.300D.360角度2相邻问题例3已知A,B,C,D,E共5名同学,按下列要求排列,分别求出满意条件的排列方法数.(1)把这5名同学支配到5个空位上,且A,B必需相邻;(2)把这5名同学支配到5个空位上,且A,B必需相邻,C,D,E也必需相邻;(3)把这5名同学支配到排成一排的6个空位中的5个空位上,且A,B必需相邻.状元随笔(1)符合“捆绑法”的要求,可干脆利用“捆绑法”解题;(2)由于A,B必需相邻,C,D,E也必需相邻,可考虑将二者各自视为整体,先对这两个整体进行排列,再对整体内部进行排列;(3)先把同学和座位“绑到一起”,进行排列,然后把剩余的空位插到中间.“捆绑法”主要用于解决元素相邻的问题,解题思路是先整体,后局部.由第(2)题可知,只要是相邻元素问题,即使是受多个相邻条件限制的排列问题,都可以接受“捆绑法”解题.方法归纳解决“相邻”问题用“捆绑法”.将n个不同的元素排成一排,其中k个元素排在相邻位置上,求不同排法的种数,详细求解步骤如下:(1)先将这k个元素“捆绑”在一起,看成一个整体;(2)把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列,其排列方法有An(3)“松绑”,即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列,其排列方法有Ak(4)依据分步乘法计数原理,符合条件的排法有An跟踪训练3某单位支配7位员工在10月1日至7日值班,每天支配1人,每人值班1天.若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的支配方案共有()A.504种B.960种C.1008种D.1108种角度3不相邻问题例4已知A,B,C,D,E五名同学,按下列要求进行排列,求全部满意条件的排列方法数.(1)把5名同学排成一排且A,B不相邻;(2)把5名同学排成一排且A,B都不与C相邻;(3)把5名同学支配到排成一排的6个空位中的5个空位上,且A,B不相邻.状元随笔(1)由于要求A,B不相邻,先将无限制条件的C,D,E排列好,然后将不相邻的A,B插入已经排好的同学之间及两端,也可用间接法进行计算.(2)先排不受限制的D,E,然后按要求将不相邻的A,C插入已经排好的同学之间或两端,再按要求把B插入已经排好的同学之间或两端.(3)可以接受间接法进行计算,即先不考虑限制条件进行排列,然后减去不符合条件的排列方法数;也可用干脆法,先排A,B,C,D,E,再对A,B相邻和不相邻进行分类探讨.方法归纳解决不相邻问题用“插空法”.将n个不同的元素排成一排,其中k个元素互不相邻(k≤n-k+1),求不同排法的种数,详细求解步骤如下:(1)将没有不相邻要求的元素共(n-k)个排成一排,其排列方法有An(2)将要求两两不相邻的k个元素插入(n-k+1)个空隙中,相当于从(n-k+1)个空隙中选出k个分别支配给两两不相邻的k个元素,其排列方法有An(3)依据分步乘法计数原理,符合条件的排法种数为An跟踪训练46把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24角度4定序问题例5(1)用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的依次确定,则有________个七位数符合条件.(2)将A,B,C,D,E这5个字母排成一列,要求A,B,C在排列中的依次为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻).这样的排列方法有________种(用数字作答).方法归纳解决“定序”问题用“倍缩法”.有(m+n)个元素排成一列,其中m个元素之间的先后依次确定不变,将这(m+n)个元素排成一列,有A固定其他是我们需要的,因此共有A跟踪训练5《中国诗词大会》(其次季)亮点颇多,十场竞赛每场都有一首特殊设计的开场诗词,在声光舞美的协作下,百人团齐声朗诵,别有韵味.若《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场,且《将进酒》排在《望岳》的前面,《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最终,则后六场的排法有()A.144种B.288种C.360种D.720种易错辨析忽视排列的有序性致错例68人站成前后两排,每排4人,其中甲、乙两人必需在前排,丙在后排,则共有________种排法.解析:先排甲、乙,有A故不同排法共有A答案:5760【易错警示】易错缘由纠错心得求解本题时简洁出现下列两种错解.错解一:甲、乙两人在前排,前排还少2人,从余下5人(不含丙)中选2人排在前排,有A法,故不同排法共有A错解二:甲、乙两人在前排,有A22种排法,再从余下5人(不含丙)中选2人排在前排,有A5排列问题中,若对元素的位置没有要求,则各元素间是有依次之分的,解题时要时刻把握这一“原则”.[课堂特殊钟]1.信号兵用3种不同颜色的旗子各一面,每次打出3面,最多能打出不同的信号有()A.1种B.3种C.6种D.27种2.从a,b,c,d,e五人中选2人分别参与数学和物理竞赛,但a不能参与物理竞赛,则不同的选法有()A.16种B.12种C.20种D.10种3.6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必需摆放在两端,丙、丁两本书必需相邻,则不同的摆放方法有()A.24种B.36种C.48种D.60种4.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有________种.5.用1,2,3,4,5,6,7这7个数字组成没有重复数字的四位数.(1)这些四位数中偶数有多少个?(2)这些四位数中大于6500的有多少个?2.2排列数公式新知初探·课前预习要点n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)n[基础自测]1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.解析:由排列数公式可知原式为A100答案:B3.解析:因为A2n3=10An3,所以n≥3,n所以有2n·(2n-1)·(2n-2)=10n·(n-1)·(n-2),即2(2n-1)=5(n-2),解得:n=8.故选C.答案:C4.解析:3名女生先排好,有A3答案:144题型探究·课堂解透例1解析:1An+12-An2=n(n+1)-n(解析:方法一A95+A94A106方法二A95+A94A方法三A95+A94A106答案:(1)B(2)3跟踪训练1解析:1A76解析:原式=A6答案:(1)D(2)120例2解析:(1)方法一(位置分析法)因为甲不站左右两端,故先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端,有A有A方法二(元素分析法)因为甲不能站左右两端,故先让甲排在除左右两端之外的任一位置上,有A数原理知,共有A方法三(间接法)在排列时,我们对6个人不考虑甲站的位置全排列,有A有A(2)方法一(元素分析法)首先考虑特殊元素,让甲、乙先站两端,有A2方法二(位置分析法)首先考虑两端两个位置,由甲、乙去站,有A2(3)方法一(间接法)甲在左端的站法有A5方法二(干脆法)从元素甲的位置进行考虑,可分两类:第1类,甲站右端有A5跟踪训练2解析:方法一从人(元素)的角度考虑,优先考虑甲,分以下两类:第1类,甲不参赛,有A第由分类加法计数原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A方法二从位置角度考虑,优先考虑第一棒和第四棒,则这两棒可以从除甲外的5人中选2人,有A由分步乘法计数原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒参赛方案共有方法三(间接法)不考虑甲的约束条件,有A6答案:B例3解析:(1)第一步,把A,B这2名同学看作一个整体,和C,D,E共四个元素进行排列,其排列方法有A第三步,根据分步乘法计数原理知,符合题意的排列方法有A(2)第一步,把A,B这2名同学看作一个整体,把C,D,E这3名同学看成一个整体,故这两个整体排成一列的方法有A对第三步,根据分步乘法计数原理知,符合题意的排列方法有A(3)第一步,先看成A,B,C,D,E这5名同学带着座位排列,而且满意A,B相邻的要求,由(1)可知,其排列方法有48种;其次步,把剩下的1个空位往已经坐好的5名同学中间(包括两端)插空,且不能插在A,B之间,其排列方法有A51种;第三步,依据分步乘法计数原理知,符合题意的排列方法有跟踪训练3解析:依题意,满意甲、乙两人值班支配在相邻两天的方案共有A22A66=1440(种),其中满意甲、乙两人值班支配在相邻两天且丙在10月1日值班的方案共有A因此,满意题意的方案共有1440-2×240+48=1008(种).故选C.答案:C例4解析:(1)方法一第一步,先排不受限制的同学C,D,E,其排列方法有A33种.其次步,由于已经排好的C,D,E间(包括两端)形成了4个空,把有限制条件(不相邻)的同学A,B插到这4个空中,其排列方法有方法二先不考虑A,B不相邻这个限制条件,把5名同学全排列有A5(2)第一步,先排不受限制的同学D,E,其排列方法有A22种.其次步,由于已经排好的D,E之间(包括两端)形成了3个空,把有限制条件(不相邻)的同学A,C插到这3个空中,共有排列方法A32种.第三步,由于已经排好的A,C,D,E之间(包括两端)形成了5个空,但由于B不能与C相邻,所以把B插入已经排好的A,C,D,E(3)方法一(间接法)先不考虑A,B不相邻这个限制条件,把5名同学支配到6个空位中的5个空位上,其排列方法有AB相邻的排列方法有方法二(干脆法)先排A,B,C,D,E,再将剩余的空位插到中间.①当A,B不相邻时,由(1)知,其排列方法有72种,然后把剩余的空位插入到已经排好的排列中,有6种插入的方法,由分步乘法计数原理知,其排列方法有6×72=432(种);②当A,B相邻时,其排列方法有A插入方法只有1跟踪训练4解析:先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端共有4个位置,再把三人带椅子插在这四个位置中,共有A4答案:D例5解析:(1)若1,3,5,7的依次随意,则排法有A44=24(种),而1,3,5,7的依次确定的排法数占总排法数的124解析:方法一(整体法)5个元素无约束条件的全排列有A合“方法二(插空法)若字母A,B,C的排列依次为“A,B,C”,将字母D,E插入这时形成的4个空中,分两类:第一类,若字母D,E相邻,则有A第二类,若字母则不同的排列方法有A同理,字母A,B,C的排列依次为
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