天津市武清区2024-2025学年高三数学上学期第一次阶段性练习试题含解析

Page12（学问范围：三角函数和平面对量总分：150时长：120分钟）一、单选题1.化为角度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依据弧度化角度公式干脆求解即可.【详解】.故选：B2.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据三角函数的定义求解即可.【详解】由题意，.故选：D.3.在中，“”是“为直角三角形”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】依据充分条件，必要条件的定义即可求出．【详解】当时，即，∴，即，所以直角三角形；当为直角三角形时，直角不愿定是角，当直角不是角时，；所以“”是“为直角三角形”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，以及向量数量积的定义的理解，属于基础题．4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据诱导公式求解即可.【详解】.故选：A5.在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（）A.无解 B.有一解C.有两解 D.解的个数不确定【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理解出再依据，得到，可得角有两个解.详解】由正弦定理，得，解得.因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解.故选：C.6.在中，是边上一点，且，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据图形的特征，则向量的线性运算，把用表示，得到的值.【详解】中，是边上一点，且，如图所示，则，所以的值为.故选：D7.已知向量，，，则实数k的值为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】依据平面对量数量积的坐标表示计算即可.【详解】由题意可得：，所以.故选：B8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则下列结论正确的是（）A.B.为锐角三角形C.若，则的面积是D.若外接圆半径是R，内切圆半径为r，则【答案】D【解析】【分析】依据条件求出三角形三边的比值，利用正弦定理和余弦定理可以推断选项错误；对于求出三边长后，可利用三角形面积公式求解；对于利用正弦定理和等面积法可求出外接圆半径R，内切圆半径，可推断正确.【详解】设则对于故错误；对于角为钝角，故错误；对于若，则所以的面积故错误；对于由正弦定理的周长所以内切圆半径故正确.故选：9.将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的有（）个①函数的最小正周期为；②函数在区间上单调递增；③函数在区间上的最小值为；④是函数的一条对称轴.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】由题可得.对于①,由最小正周期计算公式可推断选项；对于②③，利用的单调性可推断选项正误；对于④，验证是否在处取最值可推断选项正误.【详解】由题.对于①，由题可得其最小正周期为，故①错误；对于②，由，则，因在上单调递增，在上单调递减，则不在区间上单调递增，故②错误；对于③，时，.因在上单调递增，在上单调递减，则此时.故③正确；对于④，留意到，则不是的一条对称轴，故④错误.故选：A二、填空题10.=_________【答案】【解析】【分析】利用特别角的三角函数值来计算.【详解】.故答案为：.11.已知，则______.【答案】【解析】【分析】依据诱导公式及同角关系,即可得到结果.【详解】∵∴当在第一象限时,,即；当在其次象限时,,即.∴故答案为:【点睛】本题考查同角的三角函数的关系,本题解题的关键是诱导公式的应用,娴熟应用诱导公式是解决三角函数问题的必备技能．12.已知向量，，且，则_____．【答案】【解析】【分析】依据向量平行的坐标运算求解.【详解】因为，则，解得.故答案为：.13.设平面对量，满意，，则在方向上的数量投影为___________.【答案】6【解析】【分析】依据投影的定义即可结合数量积求解.【详解】在方向上的数量投影，故答案为：614.已知，，，则向量与的夹角为________.【答案】【解析】【分析】依据平面对量的夹角公式可求出结果.【详解】设向量与的夹角为，，因为，所以.故向量与的夹角为.故答案为：15.已知扇形AOB面积为，圆心角为120°，则该扇形的半径为_____，弧长为______.【答案】①.##1.5②.【解析】【分析】依据扇形的面积公式和弧长公式计算即可.【详解】设扇形的半径为，因为扇形AOB的面积为，圆心角为，由扇形的面积，可得：，解得：，可得扇形的弧长.故答案为：；．四、解答题16.（1）已知．求的值．（2）已知函数.求的解析式及最小正周期.【答案】（1）；（2），最小正周期为.【解析】【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系化简求值；（2）利用诱导公式、降幂公式和帮助角公式化简函数解析式，依据周期公式求最小正周期.【详解】（1）已知，则（2）.最小正周期为.17.在中，三个内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，且.（1）求B；（2）若，三角形的面积，求b.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理，结合已知条件即可求解；（2）利用三角形面积公式可得，然后结合和即可求解.【小问1详解】在中，由余弦定理可得，又，所以，又因为，故.小问2详解】由可得，又因为，，所以，所以.18.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求角B的大小；（2）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般接受到正弦定理，出现边的二次式一般接受到余弦定理．应用正、余弦定理时，留意公式变式的应用．解决三角形问题时，留意角的限制范围．19.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的最小正周期及解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1），（2）.【解析】【分析】（1）由图象可知，相邻的对称中心和对称轴距离相差，再代入关键点可得解析式；（2）依据图象的变换得到解析式，再依据正弦函数的图象与性质可得其在区间上最值.【小问1详解】由图象可知的最大值为1，最小值-1，故；又∴，将点代入，∴，∵∴故答案为：，.【小问2详解】由的图象向右平移个单位长度得到函数∵∴∴当时，即，；当时，即，故答案为：20.已知，设．（1）求当取最大值时