高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)第4章指数与对数章末小结(原卷版+解析)

第4章指数与对数章末小结TOC\o"1-4"\h\z\u一、典型题型 1题型1指数的运算 5题型2对数的运算 10题型3利用对数的运算性质进行求值 14题型4解简单的指数和对数方程 18一．典型例题题型1指数的运算反思领悟：指数的运算是本章的重点内容，是学好本章的前提和基础，为后续对数的学习作铺垫．指数的运算常与根式交汇考查，也常与方程等知识联系，主要考查数学运算的核心素养．例1若实数，满足，则的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3例2（多选题）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．例3化简求值：(1)；(2)已知，求﹒题型2对数的运算反思领悟：对数的运算是本章的重要内容之一，在学习指数运算的基础上学习对数运算，指数运算与对数运算是互逆的．对数运算常与指数、方程等知识交汇考查，主要考查学生的数学运算和逻辑推理能力．对数的运算应遵循以下原则：对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．例1设，，，则（

）A． B． C． D．例2（多选题）已知，，则的值不可能是（

）A． B． C． D．例3化简与求值：(1)(2).题型3利用对数的运算性质进行求值反思领悟：对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题是本节的重点内容之一，常与对数的运算性质相结合，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．具体解决方法：(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．例1已知，则属于（

）A． B． C． D．例2（多选题）若，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．例3已知，估计的大小．题型4解简单的指数和对数方程反思领悟：简单的指数方程和对数方程是指数运算和对数运算的延伸，主要与方程结合交汇考查，培养学生的逻辑推理和数学运算能力，是对指数、对数运算的巩固和提升．具体解决方法如下：(1)化同底：将指数方程变形为am＝an⇔m＝n.形如logaM＝logaN(a＞0，a≠1)的对数方程，等价转化为M＝N，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(M>0，,N>0))求解．(2)定义法：解形如b＝logaM(a＞0，a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为M＝ab求解．(3)换元法：设t＝ax(x＝logat)，将方程转化为关于t的一元二次方程求出t，再解出x.例1根据下列条件，分别求实数x的值：(1)log2(2－x)＝log2(x－1)＋1；(2)32x＋1－6x＝22x＋2.例2解下列关于x的方程：(1)lgeq\r(x－1)＝lg(x－1)；(2)log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1)．二．活学活用培优训练一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．若，则（

）A． B． C． D．2．若，且，则的值为（

）A． B． C． D．3．中国的技术处于领先地位，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到4000，则大约增加了（

）A． B． C． D．4．设且，则（

）A． B． C． D．5．化简可得A．log34 B．C．3 D．46．若，则（

）A．2 B．2或0 C．0 D．或07．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（

）A． B．C． D．二、多选题8．若，，则（

）A． B．C． D．9．已知，则满足的关系是（

）A． B．C． D．10．下列各式或说法中正确的有（

）A． B．C．若，则 D．若则三、填空题11．已知，，则_________．12．已知二次函数的最小值为，则实数______，的值为______．13．解指数方程：__________.14．若，则_________．四、解答题15．（1）已知，化简.（2）设，，，求的值.16．计算下列各式：(1)；(2)17．已知，比较，，的大小.18．若是方程的解，化简：．第4章指数与对数章末小结TOC\o"1-4"\h\z\u一、典型题型 1题型1指数的运算 1题型2对数的运算 3题型3利用对数的运算性质进行求值 5题型4解简单的指数和对数方程 6一．典型例题题型1指数的运算反思领悟：指数的运算是本章的重点内容，是学好本章的前提和基础，为后续对数的学习作铺垫．指数的运算常与根式交汇考查，也常与方程等知识联系，主要考查数学运算的核心素养．例1若实数，满足，则的最小值为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由条件结合基本不等式求的最小值.【详解】因为，又所以所以，当且仅当，时取等号，所以的最小值为2，故选：C.例2（多选题）下列运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据根式的定义与分数指数幂的定义、运算法则判断．【详解】，故A错；，故B正确；与不同，故C错；，故D正确.故选：BD.例3化简求值：(1)；(2)已知，求﹒【答案】(1)；(2).【分析】(1)根据指数幂的计算方法计算即可；(2)先利用完全平方公式求出和的值，从而求出结果.(1)原式.(2)，，，又，，，，.题型2对数的运算反思领悟：对数的运算是本章的重要内容之一，在学习指数运算的基础上学习对数运算，指数运算与对数运算是互逆的．对数运算常与指数、方程等知识交汇考查，主要考查学生的数学运算和逻辑推理能力．对数的运算应遵循以下原则：对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．例1设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用作商法比较的大小，通过比较b与0.8,c与0.8的大小比较b,c的大小，从而得a,b,c的大小.【详解】解：，；，，，；，，，，综上，．故选：．例2（多选题）已知，，则的值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用对数运算的公式计算即可.【详解】由换底公式得：，，，其中，，故故选：ABD.例3化简与求值：(1)(2).【答案】(1);(2).【分析】（1）根据指数的运算法则及性质运算求解；（2）根据对数的运算法则及性质求解.（1）原式.（2）原式.题型3利用对数的运算性质进行求值反思领悟：对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题是本节的重点内容之一，常与对数的运算性质相结合，如果附加条件比较复杂，则需先对其进行变形、化简，并充分利用其最简结果解决问题．具体解决方法：(1)注意指数式与对数式的互化，有些需要将对数式化为指数式，而有些需要将指数式化为对数式；(2)注意换底公式与对数的运算性质的应用，解题时应全方位、多角度地思考，注意已知条件和所求式子的前后照应．例1已知，则属于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据结合换底公式，代入计算即可.【详解】∵，∴，∴，∴，∴.故选:B.例2（多选题）若，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】根据对数的运算与指对数的关系可得，，再结合对数的运算与基本不等式逐个选项判断即可.【详解】由题意可得，．对于A，，所以A正确；对于B，，所以B正确；对于C，因为，所以，所以，所以，所以C正确；对于D，因为，，，所以，当且仅当时取等号，而，所以取不到等号，所以，所以D正确．故选：ABCD．例3已知，估计的大小．【答案】【分析】令，然后两边取常用对数求解即可【详解】令，则两边取常用对数得，因为，所以，所以，所以的大小约为题型4解简单的指数和对数方程反思领悟：简单的指数方程和对数方程是指数运算和对数运算的延伸，主要与方程结合交汇考查，培养学生的逻辑推理和数学运算能力，是对指数、对数运算的巩固和提升．具体解决方法如下：(1)化同底：将指数方程变形为am＝an⇔m＝n.形如logaM＝logaN(a＞0，a≠1)的对数方程，等价转化为M＝N，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(M>0，,N>0))求解．(2)定义法：解形如b＝logaM(a＞0，a≠1)的方程时，常借助对数的定义等价转化为M＝ab求解．(3)换元法：设t＝ax(x＝logat)，将方程转化为关于t的一元二次方程求出t，再解出x.例1根据下列条件，分别求实数x的值：(1)log2(2－x)＝log2(x－1)＋1；(2)32x＋1－6x＝22x＋2.[解](1)原方程可化为log2(2－x)＝log2[2(x－1)]，得2－x＝2(x－1)，解得x＝eq\f(4,3).经检验知，原方程的解为x＝eq\f(4,3).(2)原方程可化为3×32x－2x×3x－4×22x＝0，因式分解得(3×3x－4×2x)(3x＋2x)＝0，则3×3x－4×2x＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x＝eq\f(4,3)，解得x＝eqlog\s\do5(\f(3,2))eq\f(4,3).例2解下列关于x的方程：(1)lgeq\r(x－1)＝lg(x－1)；(2)log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1)．[解](1)原方程等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x－1)＝x－1，,x－1>0，))解之得x＝2.经检验x＝2是原方程的解，所以原方程的解为x＝2.(2)原方程可化为log4(3－x)－log4(3＋x)＝log4(1－x)－log4(2x＋1)．即log4eq\f(3－x,3＋x)＝log4eq\f(1－x,2x＋1).整理得eq\f(3－x,x＋3)＝eq\f(1－x,2x＋1)，解之得x＝7或x＝0.当x＝7时，3－x＜0，不满足真数大于0的条件，故舍去．x＝0满足，所以原方程的解为x＝0.二．活学活用培优训练一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）1．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，代入化简即得解.【详解】解：由题得，所以．故选：A．2．若，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将已知等式条件两边平方可得，再将目标式平方结合指数幂的性质即可求值.【详解】由题设，，即，又，且，所以.故选：A.3．中国的技术处于领先地位，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：．它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升到4000，则大约增加了（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题中的香农公式分别计算等于1000和4000时对应的，进而比较可得出结果.【详解】信噪比提升到4000时对应的值记为，根据题意，时，时，大约增加了20%，选项B正确.故选：B.4．设且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由，用对数表示出，再根据即可求出.【详解】，，，，，即，.故选：D.【点睛】本题考查指数式和对数式的互化，考查对数的运算和换底公式的应用.5．化简可得A．log34 B．C．3 D．4【答案】C【分析】利用对数的运算性质即可得出．【详解】=log28=log223=3．故选C．【点睛】本题考查了对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力．6．若，则（

）A．2 B．2或0 C．0 D．或0【答案】C【分析】根据对数运算法则可知，且，，，化简得，再化简求值.【详解】依题意，，，，或，，，，，（舍去），，．故选C【点睛】本题考查对数的运算法则，以及化简计算.7．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．【详解】令，则，，，，，因此，.故选：C.【点睛】本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．二、多选题8．若，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用指对数的运算性质及其关系求出、、，结合对数函数的单调性判断各选项的正误.【详解】由题设，，即，A正确；，即，B错误，D正确；由，则，C正确；故选：ACD9．已知，则满足的关系是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据指数与对数互化的关系求出，取倒数相加即可判断A选项是否正确；将代入B、C、D选项式子的左端化简,并利用基本不等式即可判断是否正确.【详解】，，，对于A选项：，，，故A选项正确；对于B选项：，，故B选项正确；对于C选项：，,，故C选项错误；对于D选项：，，，，故D选项正确；故选：ABD10．下列各式或说法中正确的有（

）A． B．C．若，则 D．若则【答案】AB【分析】根据对数运算依次分析各选项即可得答案.【详解】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以，故C错误；对于D，因为，所以，故D错误．故选:AB.三、填空题11．已知，，则_________．【答案】【分析】根据对数性质判断，由已知利用对数运算可求得a,b,即得答案.【详解】由题意可知，由，可得，则，则，故,故答案为:12．已知二次函数的最小值为，则实数______，的值为______．【答案】

【分析】对于题空①，根据开口向上的二次函数，自变量取对称轴对应的值达到最小值，解得的值；