不同函数增长的差异+高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章指数函数与对数函数人教版A2019-必修第一册高一数学组4.4对数函数4.4.3不同函数增长的差异学习目标1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢．2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义，比较三种函数模型的性质．3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问题．新课引入知识点回顾函数y=logax(a＞0且a≠1)底数0＜a＜1a＞1图象定义域值域定点单调性值分布1xyo1xyo(0,+∞)R过定点(1,0)，即x=1时，y=0当

x＞1时，y＞0当0＜x

＜1时，

y＜0当

x＞1时，y＜0当0＜x＜1时，y＞0增函数减函数

对数函数的图象和性质新课引入探究新知识在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异．事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映．因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异．新课引入探究新知识思考1选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞)上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？思考2:以函数y=2x与y=2x为例,研究指数函数和一次函数，探索它们在区间[0,+∞）上的增长差异，描述指数函数增长的特点.xy=2xy=2x0100.51.41411221.52.82832442.55.6575386·········x132y8O5123764新课引入探究新知识(1)函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)(2)在区间(0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上(3)在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下(4)在区间(2,3)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上x132y8O5123764综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快.新课引入探究新知识思考3:取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系？xy=2xy=2x0102444168664128256161010242012409624·········x51510yO1000200400600800随着自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道.新课引入探究新知识函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下：

虽然函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.

随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.

尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x.新课引入探究新知识一般地,指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似.

即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0，当x>x0时，

y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度.指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长(指数爆炸).新课引入探究新知识思考4选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间[0，＋∞)上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？xy=lgx0不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786·········x204030yO612345106050新课引入探究新知识x204030yO612345106050在(0,+∞)上增长速度不变，y=lgx在(0,+∞)上的增长速度在变化.随着x的增大，的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.新课引入探究新知识思考5将y=lgx放大1000倍，将函数y=1000lgx与比较，仍有上面规律吗？对数函数

与一次函数y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.

随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数的增长速度越来越慢.

不论a值比k值大多少，在一定范围内，可能会大于kx，但由于的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，恒有.新课引入探究新知识一一次函数，指数函数与对数函数的增长差异

直线上升指数爆炸对数增长新课引入探究新知识练习某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？按此模型，如果某人的销售利润是343万元，则所获奖金为多少？新课引入探究新知识解：确定三个奖励模型中哪个能符合公司的要求，其本质是判断这三个函数模型哪一个的函数值y符合y≤5且y≤0.25x.下面画出了三个奖励模型的函数图象，观察图象，对于模型y＝0.25x，当x＝20时，y＝5，因此，当x>20时，y>5，所以不符合．对于模型y＝1.002x，由函数图象知，当x的取值在800附近，y值为5，因为函数是增函数，所以y值越过了5，不符合要求．对于函数y＝log7x＋1，当x∈[10,1000]时，函数y＝log7x＋1是增函数，所