备战2024年高考数学一轮复习6.2等比数列(精讲)(原卷版+解析)

6.2等比数列（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一基本量的计算【例1-1】（2022·河南开封）在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．【例1-2】（2022·吉林·洮南市第一中学模拟预测（文））已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．【例1-3】（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.【一隅三反】1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（

）A． B． C． D．2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列的公比，则等于（

）A． B． C．3 D．3．（2022·河南省杞县高中）在等比数列中，，则的公比______．4．（2022·河南安阳）已知为等比数列，，则_________．考点二等比中项【例2-1】（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（

）A．或 B． C． D．【例2-2】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（文））在等比数列中，若，则（

）A．5 B．10 C．15 D．20【例2-3】（2022·江西·二模（文））已知m是1和4的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（

）A． B．或C． D．或【一隅三反】1．（2022·四川广安）已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（

）A．10 B．12 C．32 D．332．（2022·江西·模拟预测（理））在正项等比数列中，，则（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.考点三前n项和的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）记等比数列的前项和为，若，，则（

）A．12 B．18 C．21 D．27【例3-2】（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知等比数列的前项和为，若，则的值为（

）A． B． C．1 D．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列的前项和为，若，则（

）A．2 B．-2 C．1 D．-12．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（

）A．12 B．30C．45 D．813．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的前项和为，若，，则（

）A．66 B．65 C．64 D．63考点四最值问题【例4-1】（2022·四川绵阳·一模（文））已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为(

)A． B． C． D．【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）（多选）等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足.，，下列选项中，正确的结论有（

）A．B．C．的值是中最大的D．使成立的最大自然数等于198【一隅三反】1．（2022·青海西宁）已知等比数列，，的最小值为（

）A．70 B．90 C．135 D．1502．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知等差数列的公差为，且，且、、成等比数列，若，为数列的前项和．则的最小值为（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，则下列选项正确的是（）A．0＜q＜1 B．S2020+1＜S2021C．T2020是数列{Tn}中的最大项 D．T4041＞1考点五等比数列的实际运用【例5】（2022·辽宁·昌图县第一高级中学高二期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（

）A．6里 B．5里 C．4里 D．3里【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（

）A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列2．（2022·广东·高三阶段练习）（多选）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（

）A．该人第五天走的路程为12里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里3．（2022·全国·高三专题练习）某新学校高一、高二、高三共有学生1900名，为了了解同学们对学校关于对手机管理的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1900名学生中抽取一个样本容量为38的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为______人．6.2等比数列（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一基本量的计算【例1-1】（2022·河南开封）在等比数列中，为其前n项和，若，，则的公比为______．【答案】１或.【解析】当时，满足，，此时；当时，由，，可得：，解得，此时.综上所述：公比的值为：１或.

【例1-2】（2022·吉林·洮南市第一中学模拟预测（文））已知是等差数列，，公差，为其前n项和，若，，成等比数列，则________．【答案】【解析】因为，，成等比数列，即解得或（舍）故答案为：【例1-3】（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列的前n项和为，若，且，则λ＝________.【答案】【解析】∵，∴，∴，∵，∴，，将代入，可得.故答案为：【一隅三反】1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由等比数列的性质可知，因为，则，由已知可得，可得，，则，因此，.故选：B.2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列的公比，则等于（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】因为等比数列的公比，所以．故选：D3．（2022·河南省杞县高中）在等比数列中，，则的公比______．【答案】或【解析】因为，所以，所以，因为，所以或．故答案为：或．4．（2022·河南安阳）已知为等比数列，，则_________．【答案】【解析】设公比为，由题意知：，又，解得或，若，则，，则；若，则，，则.故答案为：.考点二等比中项【例2-1】（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列中，其前5项的和，等比数列中，则（

）A．或 B． C． D．【答案】D【解析】由题意得：，解得：，设等比数列的公比是，因为，所以，解得：，显然，所以，所以，所以故选：D【例2-2】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（文））在等比数列中，若，则（

）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】C【解析】因为，所以，所以；故选：C.【例2-3】（2022·江西·二模（文））已知m是1和4的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（

）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】m是1和4的等比中项,所以,解得,当时,圆锥曲线为,离心率为,当时,圆锥曲线,离心率为,故选:B【一隅三反】1．（2022·四川广安）已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（

）A．10 B．12 C．32 D．33【答案】B【解析】因为，为函数的两个零点，所以，所以或所以，当时，，，当时，，，所以，.故选：B2．（2022·江西·模拟预测（理））在正项等比数列中，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题得，所以，所以，所以，故选：A3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，且a3·a5＋a4＝72，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝________.【答案】21【解析】因为对任意的m，n∈N*，am·an＝am＋n恒成立，令m＝1，则a1·an＝a1＋n对任意的n∈N*恒成立，∴数列{an}为等比数列，公比为a1，由等比数列的性质有a3a5＝，因为a3·a5＋a4＝72，则＋a4＝72，∵a4＞0，∴a4＝8，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a7＝log2(a1·a2·…·a7)＝log2＝log287＝21.故答案为：21．考点三前n项和的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）记等比数列的前项和为，若，，则（

）A．12 B．18 C．21 D．27【答案】C【解析】因为为等比数列的前项和，且，，易知等比数列的公比,所以成等比数列所以，所以，解得.故选：C.【例3-2】（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知等比数列的前项和为，若，则的值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】因为等比数列的前项和为，且，所以，，，所以，即，解得.故选：B【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列的前项和为，若，则（

）A．2 B．-2 C．1 D．-1【答案】A【解析】设等比数列的公比为q，当时，，不合题意；当时，等比数列前项和公式，依题意.故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为（

）A．12 B．30C．45 D．81【答案】C【解析】显然公比不为-1，是等比数列，则也成等比数列，，，，则，，则.故选：C.3．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列的前项和为，若，，则（

）A．66 B．65 C．64 D．63【答案】B【解析】由题知：，，，所以，，成等比数列，即5，15，成等比数列，所以，解得.故选：B.考点四最值问题【例4-1】（2022·四川绵阳·一模（文））已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】因为是正项等比数列，所以，，仍然构成等比数列，所以.又，，成等差数列，所以，，所以.又是正项等比数列，所以，，当且仅当时取等号.故选：B.【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）（多选）等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足.，，下列选项中，正确的结论有（

）A．B．C．的值是中最大的D．使成立的最大自然数等于198【答案】ABD【解析】对于，，，.，.又，，且.，故正确；对于，，，即，故正确；对于，由于，而，故有，故错误；对于，，，故正确.不正确的是.故选：.【一隅三反】1．（2022·青海西宁）已知等比数列，，的最小值为（

）A．70 B．90 C．135 D．150【答案】B【解析】设的公比为，由等比数列的知识可知，，结合可得，.由基本不等式及等比数列的性质可得，当且仅当，时等号成立，故的最小值为.故选：B2．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知等差数列的公差为，且，且、、成等比数列，若，为数列的前项和．则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，即，可得，，解得，，所以，，，令，则，当时，，即，当时，，即，所以，数列中，最小，故的最小值为.故选：D.3．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2020a2021＞1，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，则下列选项正确的是（）A．0＜q＜1 B．S2020+1＜S2021C．T2020是数列{Tn}中的最大项 D．T4041＞1【答案】AC【解析】由等比数列{an}公比为q，a1＞1，a2020a2021＞1，，由a1＞1可得，（a2020﹣1）（a2021﹣1）＜0，得或（舍去），故，综上故选项A正确；，故选项B错误；由已知，，可知T2020是数列{Tn}中的最大项，故该选项C正确；由等比数列的性质可知，，所以，故该选项D错误.故选：AC.考点五等比数列的实际运用【例5】（2022·辽宁·昌图县第一高级中学高二期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（

）A．6里 B．5里 C．4里 D．3里【答案】A【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，.故选：A．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（

）A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列【答案】A【解析】设“宫”的频率为，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是；“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是，“商”经过一