2024年中考数学【高分·突破】压轴题培优专题精练压轴热点考点13圆的相关证明与计算(压轴突破)(原卷版+解析)

压轴热点考点13圆的相关证明与计算压轴突破——2024年【中考·冲刺】数学高频热点考点好题精编一、单选题1．如图，点P是外的一点，PA、PC是的切线，切点分别为A，C，AB是的直径，连接BC，PO，PO交弦AC于点D．下列结论中不正确的是（）A．B．C．若，则△PAC是等边三角形D．若△PAC是等边三角形，则2．如图，在半径为1的中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（

）A． B．1 C． D．3．如图，点A，B是半径为2的上的两点，且，则下列说法正确的是（

）A．圆心О到的距离为B．在圆上取异于A，B的一点C，则面积的最大值为C．以AB为边向上作正方形，与的公共部分的面积为D．取的中点C，当绕点О旋转一周时，点C运动的路线长为4．如图，已知AB是半圆O的直径，点C，D将分成相等的三段弧，点M在的延长线上，连接．对于下列两个结论，判断正确的是（

）结论I：若，则为半圆O的切线；结论II：连接，则A．I和II都对 B．I对II错 C．I错II对 D．I和II都错5．如图，已知AB为⊙O的弦，C为的中点，点D在优弧上一点，连接AD下列式子一定正确的是（）A．∠ADC＝∠B B．∠ADC+2∠B＝90°C．2∠ADC+∠B＝90° D．∠B＝30°6．如图所示，已知三角形为直角三角形，，BC为切线，为切点，为直径，则和面积之比为（

）A． B． C． D．7．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（

）A．， B．，C．， D．，8．如图，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，连接DE，EF．若AD＝6，BE＝7，CF＝8，则tan∠DEF的值是（

）A． B．2 C． D．二、填空题9．如图，已知的半径为，为直径，为上一动点，过作的切线，过作，垂足为，连结，若为等腰三角形，则．10．如图，的两条半径与互相垂直，垂足为点，点为上一点，连接并延长交于点若，则的值为．11．如图，，与的一边相切于点P，与另一边相交于B，C两点，且，，则扇形的面积为12．如图，C、D两点在半圆O的弦上，点E在半圆O上，且为等边三角形，已知，，，则劣弧的长为．13．如图，是的直径，，两点在圆上，连接，，且，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为．14．如图，在中，AB是的直径，，AD，BC交于点E，点D为的中点，点G为平面内一动点，且，则AG的最小值为．三、解答题15．一条盘水管的截面如图所示，水面宽垂直平分半径．(1)求的度数；(2)若的半径为6，求弦的长．(3)若连结，请判断四边形的形状，并给出证明．16．如图，为四边形的外接圆，若、，延长至点F，连接并延长至点E，恰好使得．

(1)证明：为的切线(2)连接，若的半径为4，，求的长17．如图，是的内接三角形，E在的延长线上．给出以下三个条件：①是的直径，②是的切线，③．

(1)请从上述三个条件中选两个作为已知，剩下的一个条件作为结论，组合成一个新的真命题，并给予证明；(2)在（1）的条件下，若，求的度数．18．阅读与思考学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务．割线定理如图，A是外一点，过点A作直线分别交于点B，C，D，E，则有．

证明：如图，连接．∵（依据：①________________），，∴．∴②_________________．∴．任务：(1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______．(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充完整，并给出证明．已知：如图，A是外一点，过点A的直线交于点B，C，__________．求证：___________．

19．阅读下面材料，完成相应的任务：阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．

(1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________．(2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明．20．如图，已知，是的两条直径，直径平分，的一边与和直径分别交于点，，连接，且．

(1)证明：；(2)若，求的长．压轴热点考点13圆的相关证明与计算压轴突破——2024年【中考·冲刺】数学高频热点考点好题精编一、单选题1．如图，点P是外的一点，PA、PC是的切线，切点分别为A，C，AB是的直径，连接BC，PO，PO交弦AC于点D．下列结论中不正确的是（）A．B．C．若，则△PAC是等边三角形D．若△PAC是等边三角形，则【答案】B【分析】连接，根据切线的性质，推出，进而推出，圆周角定理，得到，判断A，条件不足，无法得到，判断B，同角的余角相等，得到，进而推出，再根据，判断C，根据等边三角形的性质，圆周角定理，推出，，判断D，即可得出结论．【详解】解析：连接，∵是的切线，∴，∵，，∴，∴，，∴．∵是的直径，∴，∴．选项A正确；∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等边三角形，选项C正确；∵是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵是的直径，∴，∴，∴，选项D正确；条件不足，无法得到，选项B错误；故选B．【点睛】本题考查圆周角定理，切线的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．2．如图，在半径为1的中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】连接、、、、、，则、分别为等边三角形，等腰直角三角形，进而可得到、长；再过点作于点，根据垂径定理可得，，根据锐角三角形函数可求出，进而可得；再根据可判断以、、为边的三角形为直角三角形，即可求出其面积．【详解】解：解：如图，连接、、、、、，则，，，在中，．∵，∴是等边三角形，∴，过点作于点，则，，∴，∴，∵，即，∴以、、为边的三角形为直角三角形，∴其面积为：．故选：D．【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理的逆定理，解题关键是熟练应用垂径定理求弦长．3．如图，点A，B是半径为2的上的两点，且，则下列说法正确的是（

）A．圆心О到的距离为B．在圆上取异于A，B的一点C，则面积的最大值为C．以AB为边向上作正方形，与的公共部分的面积为D．取的中点C，当绕点О旋转一周时，点C运动的路线长为【答案】C【分析】根据垂径定理结合勾股定理可求出，从而可判断A；当的高最大时三角形面积最大即高在的垂直平分线上且在的上方，计算出的面积可判断B；根据可判断C；点C的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆周，求出周长可判断D【详解】解：A.如图1，过点O作于点C，则有，由勾股定理得，，所以，圆心О到AB的距离为1，故选项A说法错误；B.如图2，当的高最大时三角形面积最大即高在的垂直平分线上且在的上方，此时，的最大面积为，故选项B说法错误；C.如图3，根据题意可得，四边形是矩形，∴∴是等边三角形，∴,∴，故选项C正确；D.如图4，点C的运动轨迹是以O为圆心，为半径的圆周，周长为：，所以，选项D错误；故选：C【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周长、扇形面积的计算等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键4．如图，已知AB是半圆O的直径，点C，D将分成相等的三段弧，点M在的延长线上，连接．对于下列两个结论，判断正确的是（

）结论I：若，则为半圆O的切线；结论II：连接，则A．I和II都对 B．I对II错 C．I错II对 D．I和II都错【答案】B【分析】连接，，先得出，，进而得出，为半圆O的切线；连接，再证明，是等边三角形，即可得出．【详解】连接，，∵点C，D将分成相等的三段弧，∴，∴，∵，∴，∵是半径，∴为半圆O的切线，故I对，连接，∵，是半径，，∴，是等边三角形，∴，∴，故II错，故选：B．【点睛】本题考查切线的判定，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．5．如图，已知AB为⊙O的弦，C为的中点，点D在优弧上一点，连接AD下列式子一定正确的是（）A．∠ADC＝∠B B．∠ADC+2∠B＝90°C．2∠ADC+∠B＝90° D．∠B＝30°【答案】C【分析】先利用垂径定理，由C为的中点得到OC⊥AB，则∠A+∠AOC=90°，然后根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ADC，加上∠A=∠B，于是可判断C选项一定正确．【详解】∵C为的中点，∴OC⊥AB，∴∠A+∠AOC＝90°，∵∠AOC＝2∠ADC，∴2∠ADC+∠A＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，∴2∠ADC+∠B＝90°．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．6．如图所示，已知三角形为直角三角形，，BC为切线，为切点，为直径，则和面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据圆周角定理，切线的性质以及等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定及性质进行计算即可．【详解】解：如图取中点O，连接．∵是圆O的直径．∴．∵与圆O相切．∴．∵．∴．∵．∴．又∵．∴．∵，，．∴．∴．∵点O是的中点．∴．∴．∴故答案是：1∶2．故选：B．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形以及全等三角形的性质，理解切线的性质，圆周角定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提．7．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】连接，，先求解，可得，，再求解可得，，从而可得答案.【详解】解：连接，，直径，，，，，，，，直径，，，，，，，所以B符合题意，故选：B．【点睛】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．8．如图，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，连接DE，EF．若AD＝6，BE＝7，CF＝8，则tan∠DEF的值是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】过点B作BM⊥AC于点M，连接OD、OE、OF、AO、BO、CO，根据切线长定理先得出，，，即可得出三角形的三边长，根据勾股定理求出AM的长度，根据面积求出三角形内切圆的半径，根据圆周角定理和三角形全等，求出，即可得出结果．【详解】解：过点B作BM⊥AC于点M，连接OD、OE、OF、AO、BO、CO，如图所示：∵⊙O与△ABC的三边分别相切于点D，E，F，∴OD⊥AB，OF⊥AC，OE⊥BC，，，，，设，∴，，，∵BM⊥AC，∴，∴与为直角三角形，∴根据勾股定理可得：，，即，，解得：，则，∴，∵∴，解得：，∵在Rt△AOD和Rt△AOF中，，∴（HL），，∵，，，∴，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了切线长定理，勾股定理，圆周角定理，三角函数的定义，三角形全等的判定和性质，作出辅助线，求出三角形内切圆的半径，是解题的关键．二、填空题9．如图，已知的半径为，为直径，为上一动点，过作的切线，过作，垂足为，连结，若为等腰三角形，则．【答案】1或【分析】连接，过点作于，如图，根据切线的性质得，则可判断四边形为矩形，所以，，利用为等腰三角形得到或，当时，设，，则，，利用勾股定理，，然后解方程组可得到对应的的长度．【详解】解：连接，过点作于，如图，为的切线，，，，四边形为矩形，，，为等腰三角形，或，当时，设，，则，，在中，，①在中，，②②①得，整理得，解得，（舍去），的长为，综上所述，的长为1或．故答案为：1或．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、折叠的性质和解直角三角形．10．如图，的两条半径与互相垂直，垂足为点，点为上一点，连接并延长交于点若，则的值为．【答案】/【分析】根据延长交于点E，连接，构造出直角三角形，再根据相似三角形的判定和性质解答即可．【详解】解：延长交于点，连接，∵是直径，∴，∵，∴，∵，∴，∵，设，，，∴，即，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆周角定理和相似的判定和性质，熟练掌握这些性质和定理是解答本题的关键．11．如图，，与的一边相切于点P，与另一边相交于B，C两点，且，，则扇形的面积为【答案】/【分析】连接，过O点作于点E，作于点F，利用垂径定理的内容得出，再证明四边形、四边形是矩形，即有，进而有，从而得出是等边三角形，即，利用扇形面积公式求出即可．【详解】连接，过O点作于点E，作于点F，如图，∵，，∴，∵与的一边相切于点P，∴，∵，，，∴可得四边形、四边形是矩形，∵，，∴，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定方法以及扇形的面积求法等知识，利用已知得出是解决问题的关键．12．如图，C、D两点在半圆O的弦上，点E在半圆O上，且为等边三角形，已知，，，则劣弧的长为．【答案】【分析】先利用圆周角定理求得，再根据等边三角形的性质和三角形的外角性质求得，，利用相似三角形的判定证明得到，进而求得、，过O作于F，利用垂径定理和锐角三角函数值求得，然后利用弧长公式求解即可．【详解】解：连接、，∵，，∴，，∵为等边三角形，，∴，∴，，，∴，∴，∴，又，∴，则，∴，过O作于F，则，，在中，，∴，∴劣弧的长为，故答案为：．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、三角形的外角性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质求解线段长是解答的关键．13．如图，是的直径，，两点在圆上，连接，，且，，为上一动点，在运动过程中，与相交于点，当为等腰三角形时，的度数为．【答案】或或【分析】根据，可得：，再由是的直径得，然后分三种况讨论即可得出答案．【详解】解：连接，，，，，是的直径，，，，，，当为等腰三角形时，①当时，，②当时，，③当时，，故答案为：或或．【点睛】本题考查了圆周角定理和直径所对的圆周角等于，解题的关键是利用圆周角定理以及直径所对的圆周角等于，求出的度数，以及掌握利用分类讨论的思想来解决问题．14．如图，在中，AB是的直径，，AD，BC交于点E，点D为的中点，点G为平面内一动点，且，则AG的最小值为．【答案】/【分析】连接AC，以BE为直径作，先证明点G在上，连接AM，当AM于交于点G时，此时AG最短，再求得BE＝AE＝，CE＝AE＝1，则MG＝MB＝ME＝BE＝1，得到CM＝CE＋ME＝2，由勾股定理得到AM，即可得到答案．【详解】解：连接AC，以BE为直径作，∵BG⊥EG，∴∠BGE＝90°，∴点G在上，连接AM，当AM于交于点G时，此时AG最短，如图，∵AD＝BC，∴，∵点D为的中点，∴，∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD，∴AE＝BE，∵AB为的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＋∠ABC＝90°，∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD＝30°，∴AC＝AB＝×2＝，∴BE＝AE＝，CE＝AE＝1，∵MG＝MB＝ME＝BE＝1，∴CM＝CE＋ME＝2，∴AM＝，∴AG＝AM－MG＝，即AG的最小值为，故答案为：【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，作辅助圆是解题的关键．三、解答题15．一条盘水管的截面如图所示，水面宽垂直平分半径．(1)求的度数；(2)若的半径为6，求弦的长．(3)若连结，请判断四边形的形状，并给出证明．【答案】(1)(2)(3)菱形【分析】（1）结合垂直平分线的性质以及圆的性质，证明，易知为等边三角形，即可获得答案；（2）结合题意可得，，利用勾股定理可解得，然后由垂径定理可知，即可获得答案；（3）证明，即可判断四边形的形状．【详解】（1）解：∵垂直平分，∴，由∵，∴，∴为等边三角形，∴；（2）∵的半径为6，即，又∵垂直平分，∴，且，∴，∵，为半径，∴，∴；（3）四边形为菱形，证明如下：连接，如下图，∵垂直平分，∴，，由∵，∴，∴四边形为菱形．【点睛】本题主要考查了圆的基本概念、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．16．如图，为四边形的外接圆，若、，延长至点F，连接并延长至点E，恰好使得．

(1)证明：为的切线(2)连接，若的半径为4，，求的长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据弧，弦之间的关系，推出为直径，，进而得到，根据同角的余角相等，得到，再根据平角的定义，推出，即，即可得证；（2）设交于点，垂径定理得到，勾股定理求出的长，等积法求出，再用勾股定理和等积法求出的长，即可得解．【详解】（1）证明：连接，

∵，，∴，，∴，，∴为半圆，∴为的直径，∴，∴，∴，∵∴，∵，∴，即：；∵为的半径，∴为的切线；（2）设交于点，

则：，，∵的半径为4，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是掌握弧，弦，角之间的关系，得到是的直径．17．如图，是的内接三角形，E在的延长线上．给出以下三个条件：①是的直径，②是的切线，③．

(1)请从上述三个条件中选两个作为已知，剩下的一个条件作为结论，组合成一个新的真命题，并给予证明；(2)在（1）的条件下，若，求的度数．【答案】(1)选择作为条件，③作为结论；选择作为条件，②作为结论；证明见解析(2)【分析】（1）选择作为条件，③作为结论：如图所示，连接，根据切线的性质和圆周角定理得到，则可得，再由等边对等角得到，由此可得；选择作为条件，②作为结论：如图所示，连接，由圆周角定理得到，由等边对等角得到，由此即可得到，进一步得到，则是的切线；（2）证明，再由进行求解即可．【详解】（1）解：选择作为条件，③作为结论：如图所示，连接，∵是的直径，是的切线，∴，∴，∵，∴，∴；选择作为条件，②作为结论：如图所示，连接，∵是的直径，∴，∴，∵，∴，∵；∴，∴，即，∵是的半径，∴是的切线；

（2）解：∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知切线的性质与判定条件是解题的关键．18．阅读与思考学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务．割线定理如图，A是外一点，过点A作直线分别交于点B，C，D，E，则有．

证明：如图，连接．∵（依据：①________________），，∴．∴②_________________．∴．任务：(1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______．(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充完整，并给出证明．已知：如图，A是外一点，过点A的直线交于点B，C，__________．求证：___________．

【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；；(2)与相切于点E．；证明见解析【分析】（1）根据题意得到结论即可；（2）如图，连接，证明即可得到结论．【详解】（1）如图，连接．∵（依据：①__同弧所对的圆周角相等__），，∴．∴②_______．∴．故答案为：同弧所对的圆周角相等；；（2）已知：如图，A是外一点，过点A的直线交于点B，C，与相切于点E．求证：．

证明：如图，连接，连接并延长交于点D，连接．

∵为的切线，∴，∴，∵为的直径，∴，∴，∴∵，∴．∵，∴，∴，∴．故答案为：与相切于点E．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，割线定理，熟练掌握割线定理是解题的关键．19．阅读下面材料，完成相应的任务：阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米