2024年高考数学第一轮复习讲义第三章3.1　导数的概念及其意义、导数的运算(学生版+解析)

§3.1导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数公式.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作____________或________．f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝____________________.(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的________，相应的切线方程为________________________________．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝________f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝________f(x)＝sinxf′(x)＝________f(x)＝cosxf′(x)＝________f(x)＝axf′(x)＝________f(x)＝exf′(x)＝________f(x)＝logaxf′(x)＝________f(x)＝lnxf′(x)＝________4.导数运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝____________________；[f(x)g(x)]′＝____________________；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝____________.5．复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝eq\f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．()(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.()(4)(cos2x)′＝－2sin2x.()教材改编题1．若函数f(x)＝3x＋sin2x，则()A．f′(x)＝3xln3＋2cos2xB．f′(x)＝3x＋2cos2xC．f′(x)＝eq\f(3x,ln3)＋cos2xD．f′(x)＝eq\f(3x,ln3)－2cos2x2．函数f(x)＝ex＋eq\f(1,x)在x＝1处的切线方程为________．3．已知函数f(x)＝xlnx＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________.题型一导数的运算例1(1)下列求导正确的是()A．[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2B．(x3lnx)′＝3x2lnx＋x2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sinx,x2)))′＝eq\f(2xcosx＋4sinx,x3)D．(2x＋cosx)′＝2xln2＋sinx听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于()A．1B．－9C．－6D．4听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1(1)下列求导运算错误的是()A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3)B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1C．若f(x)＝eq\f(x,ex)，则f′(x)＝eq\f(1－x,ex)D．若f(x)＝xlnx，则f′(x)＝lnx＋1(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))sinx，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________.题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2lnx＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为()A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________________，________________.听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝aln(x＋1)相切，则a＝________.听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________________．听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．跟踪训练2(1)曲线f(x)＝eq\f(x2＋x－2,ex)在(0，f(0))处的切线方程为()A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2C．y＝－3x－2 D．y＝－3x＋2(2)(2023·泸州模拟)已知曲线y＝eq\f(acosx,x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，－\f(a,π)))处的切线方程为y＝eq\f(2,π2)x＋b，则a的值是()A.eq\f(4,π)B．－2C．－eq\f(4,π)D．2题型三两曲线的公切线例4(1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝elnx的公切线，则l的纵截距b等于()A．0B．1C．eD．－e听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝lnx－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是()A．(0,2e] B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e－3，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)e－3)) D．[2e，＋∞)听课记录：________________________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6lnx－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于()A．－3B．1C．3D．5(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝lnx＋1，则f(x)与g(x)的公切线有()A．0条B．1条C．2条D．3条§3.1导数的概念及其意义、导数的运算考试要求1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数公式.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数．知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或.f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)4.导数运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)；[cf(x)]′＝cf′(x)．5．复合函数的定义及其导数复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．(2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,fx)))′＝eq\f(－f′x,[fx]2)(f(x)≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(×)(4)(cos2x)′＝－2sin2x.(√)教材改编题1．若函数f(x)＝3x＋sin2x，则()A．f′(x)＝3xln3＋2cos2xB．f′(x)＝3x＋2cos2xC．f′(x)＝eq\f(3x,ln3)＋cos2xD．f′(x)＝eq\f(3x,ln3)－2cos2x答案A解析因为函数f(x)＝3x＋sin2x，所以f′(x)＝3xln3＋2cos2x.2．函数f(x)＝ex＋eq\f(1,x)在x＝1处的切线方程为________．答案y＝(e－1)x＋2解析由题意得，f′(x)＝ex－eq\f(1,x2)，∴f′(1)＝e－1，又∵f(1)＝e＋1，∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1，即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.3．已知函数f(x)＝xlnx＋ax2＋2，若f′(e)＝0，则a＝________.答案－eq\f(1,e)解析由题意得f′(x)＝1＋lnx＋2ax，∴f′(e)＝2ae＋2＝0，解得a＝－eq\f(1,e).题型一导数的运算例1(1)下列求导正确的是()A．[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2B．(x3lnx)′＝3x2lnx＋x2C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sinx,x2)))′＝eq\f(2xcosx＋4sinx,x3)D．(2x＋cosx)′＝2xln2＋sinx答案B解析对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A错误；对于B，(x3lnx)′＝(x3)′lnx＋x3(lnx)′＝3x2lnx＋x2，故B正确；对于C，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sinx,x2)))′＝eq\f(2sinx′x2－2sinxx2′,x4)＝eq\f(2xcosx－4sinx,x3)，故C错误；对于D，(2x＋cosx)′＝(2x)′＋(cosx)′＝2xln2－sinx，故D错误．(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，则f′(2)等于()A．1B．－9C．－6D．4答案C解析因为f(x)＝x3＋x2f′(1)＋2x－1，所以f′(x)＝3x2＋2xf′(1)＋2，把x＝1代入f′(x)，得f′(1)＝3×12＋2f′(1)＋2，解得f′(1)＝－5，所以f′(x)＝3x2－10x＋2，所以f′(2)＝－6.思维升华(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1(1)下列求导运算错误的是()A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3)B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1C．若f(x)＝eq\f(x,ex)，则f′(x)＝eq\f(1－x,ex)D．若f(x)＝xlnx，则f′(x)＝lnx＋1答案B解析f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A正确；f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误；f(x)＝eq\f(x,ex)，f′(x)＝eq\f(ex－xex,ex2)＝eq\f(1－x,ex)，故C正确；f(x)＝xlnx，f′(x)＝x′lnx＋x(lnx)′＝lnx＋1，故D正确．(2)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))sinx，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________.答案eq\f(π2,36)＋eq\f(2π,3)解析∵f′(x)＝2x＋f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))cosx，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(2π,3)＋eq\f(1,2)f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\f(4π,3)，∴f(x)＝x2＋eq\f(4π,3)sinx，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(π2,36)＋eq\f(2π,3).题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2023·大同模拟)已知函数f(x)＝2e2lnx＋x2，则曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为()A．4ex－y＋e2＝0 B．4ex－y－e2＝0C．4ex＋y＋e2＝0 D．4ex＋y－e2＝0答案B解析因为f(x)＝2e2lnx＋x2，所以f′(x)＝eq\f(2e2,x)＋2x，所以f(e)＝2e2lne＋e2＝3e2，f′(e)＝4e，所以曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y－3e2＝4e(x－e)，即4ex－y－e2＝0.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为__________，____________.答案y＝eq\f(1,e)xy＝－eq\f(1,e)x解析先求当x>0时，曲线y＝lnx过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y′＝eq\f(1,x)，得切线斜率为eq\f(1,x0)，又切线的斜率为eq\f(y0,x0)，所以eq\f(1,x0)＝eq\f(y0,x0)，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切线斜率为eq\f(1,e)，切线方程为y＝eq\f(1,e)x.同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－eq\f(1,e)x.综上可知，两条切线方程为y＝eq\f(1,e)x，y＝－eq\f(1,e)x.命题点2求参数的值(范围)例3(1)(2022·重庆模拟)已知a为非零实数，直线y＝x＋1与曲线y＝aln(x＋1)相切，则a＝________.答案e解析设切点坐标为(t，aln(t＋1))，对函数y＝aln(x＋1)求导得y′＝eq\f(a,x＋1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,t＋1)＝1，,alnt＋1＝t＋1，))解得t＝e－1，a＝e.(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．答案(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a))，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝＝(x0＋a＋1)＝，化简，得xeq\o\al(2,0)＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程xeq\o\al(2,0)＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．思维升华(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．跟踪训练2(1)曲线f(x)＝eq\f(x2＋x－2,ex)在(0，f(0))处的切线方程为()A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2C．y＝－3x－2 D．y＝－3x＋2答案A解析由题知f′(x)＝eq\f(2x＋1ex－x2＋x－2ex,ex2)＝eq\f(－x2＋x＋3,ex)，所以f′(0)＝3，f(0)＝－2，所以曲线f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－(－2)＝3(x－0)，即y＝3x－2.(2)(2023·泸州模拟)已知曲线y＝eq\f(acosx,x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，－\f(a,π)))处的切线方程为y＝eq\f(2,π2)x＋b，则a的值是()A.eq\f(4,π)B．－2C．－eq\f(4,π)D．2答案D解析令y＝f(x)＝eq\f(acosx,x)，则f′(x)＝eq\f(－axsinx＋cosx,x2)，曲线在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，－\f(a,π)))处的切线的斜率为f′(π)＝eq\f(a,π2)＝eq\f(2,π2)，解得a＝2.题型三两曲线的公切线例4(1)若直线l：y＝kx＋b(k>1)为曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝elnx的公切线，则l的纵截距b等于()A．0B．1C．eD．－e答案D解析设l与f(x)的切点为(x1，y1)，则由f′(x)＝ex－1，得l：y＝同理，设l与g(x)的切点为(x2，y2)，则由g′(x)＝eq\f(e,x)，得l：y＝eq\f(e,x2)x＋e(lnx2－1)．故解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝e))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2，,x2＝1.))则l：y＝x或y＝ex－e.因为k>1，所以l：y＝x不成立，故b＝－e.(2)(2023·晋中模拟)若两曲线y＝lnx－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是()A．(0,2e] B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)e－3，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)e－3)) D．[2e，＋∞)答案B解析设公切线与曲线y＝lnx－1和y＝ax2的切点分别为(x1，lnx1－1)，(x2，axeq\o\al(2,2))，其中x1>0，对于y＝lnx－1有y′＝eq\f(1,x)，则y＝lnx－1的切线方程为y－(lnx1－1)＝eq\f(1,x1)(x－x1)，即y＝eq\f(x,x1)＋lnx1－2，对于y＝ax2有y′＝2ax，则y＝ax2的切线方程为y－axeq\o\al(2,2)＝2ax2(x－x2)，即y＝2ax2x－axeq\o\al(2,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＝2ax2，,lnx1－2＝－ax\o\al(2,2)，))则－eq\f(1,4ax\o\al(2,1))＝lnx1－2，即eq\f(1,4a)＝2xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,1)lnx1(x1>0)，令g(x)＝2x2－x2lnx，则g′(x)＝3x－2xlnx＝x(3－2lnx)，令g′(x)＝0，得x＝，当x∈(0，)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，所以g(x)max＝g()＝eq\f(1,2)e3，故0<eq\f(1,4a)≤eq\f(1,2)e3，即a≥eq\f(1,2)e－3.思维升华公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3(1)已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝x2－m，h(x)＝6lnx－4x，设两曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点处的切线相同，则m等于()A．－3B．1C．3D．5答案D解析依题意，设曲线y＝f(x)与y＝h(x)在公共点(x0，y0)处的切线相同．∵f(x)＝x2－m，h(x)＝6lnx－4x，∴f′(x)＝2x，h′(x)＝eq\f(6,x)－4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx0＝hx0，,f′x0＝h′x0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)－m＝6lnx0－4x0，,2x0＝\f(6,x0)－4，))∵x0>0，∴x0＝1，m＝5.(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝lnx＋1，则f(x)与g(x)的公切线有()A．0条B．1条C．2条D．3条答案C解析根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，lnn＋1)(n>0)，对于f(x)＝ex－1，f′(x)＝ex，则k1＝em，则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)，即y＝emx＋em(1－m)－1，对于g(x)＝lnx＋1，g′(x)＝eq\f(1,x)，则k2＝eq\f(1,n)，则直线l的方程为y－(lnn＋1)＝eq\f(1,n)(x－n)，即y＝eq\f(1,n)x＋lnn，直线l是f(x)与g(x)的公切线，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(em＝\f(1,n)，,1－mem＝lnn＋1，))可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1，则切线方程为y＝ex－1或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有两条．课时精练1．(2023·广州模拟)曲线y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为()A．y＝3x＋3 B．y＝3x＋1C．y＝－3x－1 D．y＝－3x－3答案A解析因为f′(x)＝3x2，所以f′(－1)＝3，又当x＝－1时，a＝(－1)3＋1＝0，所以y＝x3＋1在点(－1，a)处的切线方程为y＝3(x＋1)，即y＝3x＋3.2．记函数f(x)的导函数为f′(x)．若f(x)＝exsin2x，则f′(0)等于()A．2B．1C．0D．－1答案A解析因为f(x)＝exsin2x，则f′(x)＝ex(sin2x＋2cos2x)，所以f′(0)＝e0(sin0＋2cos0)＝2.3．(2022·广西三市联考)设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝eq\f(1,2)x＋2，那么f(1)＋f′(1)等于()A．1B．2C．3D．4答案C解析由题意得f(1)＝eq\f(1,2)×1＋2＝eq\f(5,2)，f′(1)＝eq\f(1,2)，所以f(1)＋f′(1)＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)＝3.4．已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为()A．－2B．2C．－eD．e答案B解析设切点坐标为(t，tlnt)，∵f(x)＝xlnx，∴f′(x)＝lnx＋1，直线l的斜率为f′(t)＝lnt＋1，∴直线l的方程为y－tlnt＝(lnt＋1)(x－t)，将点(0，－e)的坐标代入直线l的方程得－e－tlnt＝－t(lnt＋1)，解得t＝e，∴直线l的斜率为f′(e)＝2.5．已知函数f(x)＝alnx，g(x)＝bex，若直线y＝kx(k>0)与函数f(x)，g(x)的图象都相切，则a＋eq\f(1,b)的最小值为()A．2B．2eC．e2D.eq\r(e)答案B解析设直线y＝kx与函数f(x)，g(x)的图象相切的切点分别为A(m，km)，B(n，kn)．由f′(x)＝eq\f(a,x)，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(km＝alnm，,\f(a,m)＝k，))解得m＝e，a＝ek.又由g′(x)＝bex，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kn＝ben，,ben＝k，))解得n＝1，b＝eq\f(k,e)，所以a＋eq\f(1,b)＝ek＋eq\f(e,k)≥2eq\r(e2)＝2e，当且仅当a＝e，b＝eq\f(1,e)时等号成立．6．已知曲线C：f(x)＝x3－ax＋a，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为()A.eq\f(27,8)B．－2C．2D．－eq\f(27,8)答案A解析由f(x)＝x3－ax＋a，得f′(x)＝3x2－a，设切点坐标为(x0，xeq\o\al(3,0)－ax0＋a)，∴f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－a，∴过切点的切线方程为y－xeq\o\al(3,0)＋ax0－a＝(3xeq\o\al(2,0)－a)(x－x0)，∵切线过点A(1,0)，∴－xeq\o\al(3,0)＋ax0－a＝(3xeq\o\al(2,0)－a)(1－x0)，解得x0＝0或x0＝eq\f(3,2).∴f′(0)＝－a，f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(27,4)－a，由两切线的倾斜角互补，得－a＝a－eq\f(27,4)，∴a＝eq\f(27,8).7．写出一个同时具有性质：①f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，②当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0的函数f(x)＝________.答案lnx(答案不唯一)解析若函数f(x)＝lnx，则f(x1x2)＝ln(x1x2)＝lnx1＋lnx2＝f(x1)＋f(x2)，满足①；f(x)＝lnx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(1,x)>0，满足②，故f(x)＝lnx符合题意．8．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)·(x－5)，则f′(3)＝________.答案12解析由题意得，f′(x)＝x(x－1)(x－2)(x－4)·(x－5)＋(x－3)[x(x－1)(x－2)(x－4)(x－5)]′，所以f′(3)＝3×(3－1)×(3－2)×(3－4)×(3－5)＋0＝12.9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx.(1)求f′(e)及f(e)的值；(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程．解(1)∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋eq\f(1,x)，f′(e)＝2f′(e)＋eq\f(1,e)，∴f′(e)＝－eq\f(1,e)，f(x)＝－eq\f(2x,e)＋lnx，∴f(e)＝－eq\f(2e,e)＋lne＝－1.(2)∵f(x)＝－eq\f(2x,e)＋lnx，f′(x)＝－eq\f(2,e)＋eq\f(1,x)，∴f(e2)＝－eq\f(2e2,e)＋lne2＝2－2e，f′(e2)＝－eq\f(2,e)＋eq\f(1,e2)，∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,e)＋\f(1,e2)))(x－e2)，即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.10．(2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线．(1)若x1＝－1，求a；(2)求a的取值范围．解(1)当x1＝－1时，f(－1)＝0，所以切点坐标为(－1,0)．由f(x)＝x3－x，得f′(x)＝3x2－1，所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，所以切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2.将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，得x2－2x＋a－2＝0.由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，解得a＝3.(2)由(1)知，y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线斜率k＝f′(x1)＝3xeq\o\al(2,1)－1，又f(x1)＝xeq\o\al(3,1)－x1，所以切线方程为y－(xeq\o\al(3,1)－x1)＝(3xeq\o\al(2,1)－1)(x－x1)，即y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)x－2xeq\o\al(3,1).将y＝(3xeq\o\al(2,1)－1)x－2xeq\o\al(3,1)代入y＝x2＋a，得x2－(3xeq\o\al(2,1)－1)x＋a＋2xeq\o\al(3,1)＝0.由切线与曲线y＝g(x)也相切，得Δ＝(3xeq\o\al(2,1)－1)2－4(a＋2xeq\o\al(3,1))＝0，整理，得4a＝9xeq\o\al(4,1)－8xeq\o\al(3,1)－6xeq\o\al(2,1)＋1.令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.则h′(x)＝36x3－24x2－12x＝12x(3x＋1)(x－1)．由h′(x)＝0，得x＝－eq\f(1,3)，0,1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示，x(－∞，－eq\f(1,3))－eq\f(1,3)(－eq\f(1,3)，0)0(0,1)1(1，＋∞)h′(x)－0＋0－0＋h(x)↘极小值↗极大值↘极小值↗由表知，当x＝－eq\f(1,3)时，h(x)取得极小值heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(20,27)，当x＝1时，h(x)取得极小值h(1)＝－4，易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，当x→＋∞时，h(x)→＋∞，所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，所以由4a∈[－4，＋∞)，得a∈[－1，＋∞)，故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．11．已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线与曲线y＝lnx在点(x2，lnx2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于()A．－1B．－2C．1D．2答案B解析已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线方程为y－＝(x－x1)，即y＝曲线y＝lnx在点(x2，lnx2)处的切线方程为y－lnx2＝eq\f(1,x2)(x－x2)，即y＝eq\f(1,x2)x－1＋lnx2，由题意得解得x2＝，＝－1＋＝－1－x1，则＝eq\f(x1＋1,x1－1)，又x2＝，所以x2＝eq\f(x1－1,x1＋1)，所以x2－1＝eq\f(x1－1,x1＋1)－1＝eq\f(－2,x1＋1)，所以(x1＋1)(x2－1)＝－2.12．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为eq\f(0,0)型分式，比如：当x→0时，eq\f(ex－1,x)的极限即为eq\f(0,0)型．两个无穷小之比的极限可