2023-2024学年重庆市九龙坡区杨家坪中学高一（下）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆市九龙坡区杨家坪中学高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z满足2z+3z−=5−2i，则|z|=A.3 B.2 C.5 2.已知角α的终边经过点P(1,3)，则cos2α的值为A.−12 B.−32 3.在△ABC中，AB=a，AC=b，若BD=13BC，A.13a+16b B.14.已知平面向量a=(−1,2)，b=(3,4)，则a在b上的投影向量为(

)A.(−35,−45) B.(5.在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是(

)A.a=4，b=5，c=6 B.a=3，b=2，A=45°

C.a=10，A=45°，B=70° D.a=3，b=26.在△ABC中，A=120°，b=5，且△ABC的面积为1543，则△ABC的周长为A.15 B.12 C.16 D.207.折扇是我国传统文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC=120°，则该圆台的体积为(

)

A.5023π B.9π C.8.如图，在函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象中，若TA=AB，则点A的纵坐标为A.2−22

B.3−12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=1+i，则下列说法正确的是(

)A.z的共轭复数是1−i

B.z的虚部是i

C.z−z=i

D.若复数z0满足|10.已知向量a=(cosθ,sinθ)，b=(−3,4)，则(

)A.若a//b，则tanθ=−43

B.若a⊥b，则sinθ=35

C.|11.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为2，A.BP的最小值为6

B.PA+PC的最小值为22−2

C.三棱锥B1−ACD1的体积为83

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z是方程x2−2x+2=0的一个根，则i⋅13.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个相同的四面体得到的(如图)，若被截正方体的棱长是6dm，那么该几何体的表面积是______dm2．

14.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．已知HE=2EB，M为线段AB的中点，设P为中间小正方形EFGH内一点(不含边界).若MP=λME−MB，则λ

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(1,1),|b|=22．

(1)若a//b，求b的坐标；

(2)若(516.(本小题15分)已知函数f(x)=Asin(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π6个单位，得到函数g(x)的图象，当x∈[−π6,π]17.(本小题15分)

古语云：“积善之家，必有余兴”，扇是扇风的，有“风生水起”走好运之意，“扇”与“善”字谐音，佩戴扇形玉佩，有行善积德之意，一支考古队在对某古墓进行科考的过程中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩已经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过测量得到数据AC=2−1，BC=3，AB=2(图1中破碎边缘呈锯齿形状)．

(1)求这个扇形玉佩的半径；

(2)现又找到一块比较规则的三角形碎片，如图2所示，其三边长分别为37，57，1，且该三角形碎片有两边是原扇形边界的一部分，请复原该扇形玉佩的具体参数18.(本小题17分)

在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2sinBsinC+cos2C=1+cos2A−cos2B．

(1)求证：B+C=2A；

(2)求c−ba的取值范围．19.(本小题17分)

已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx，称向量OM=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量，同时称函数f(x)为向量OM的相伴函数．

(1)记向量ON=(1,3)的相伴函数为f(x)，求当f(x)=85且x∈(−π3,π6)时，sinx的值；

(2)设函数g(x)=3cos(x+π6)+cos(π3−x)，试求g(x)的相伴特征向量OM，并求出与参考答案1C

2A

3A

4B

5B

6A

7D

8B

9AD

10ACD

11ACD

121

1336(3+14(2,4)

15解：(1)由题意，设b=λa=(λ,λ)，

因为|b|=22，所以λ2+λ2=22，所以λ=±2，

所以b=(2,2)或b=(−2,−2)．

(2)因为(5a−2b)⊥(a+b)，

所以(5a−2b)⋅(a16解：(1)由图象可知，A=2，

周期T=43[5π12−(−π3)]=π，

∴2π|ω|=π，ω>0，则ω=2，

从而f(x)=2sin(2x+φ)，

代入点(5π12,2)，得sin(5π6+φ)=1，

则5π6+φ=π2+2kπ，k∈Z，即φ=−π3+2kπ，k∈Z，

又|φ|<π2，

则φ=−π3，

∴f(x)=2sin(2x−π3)；

(2)∵f(x)=2sin(2x−π317解：(1)由余弦定理得cos∠BAC=22+(2−1)2−322×2×(2−1)=22，

记扇形的中心为O，设OC=x，由题意可知OB=x+2−1，

由余弦定理得(x+2−1)2+22−2×2×(x+18(1)证明：(1)因为2sinBsinC+cos2C=1+cos2A−cos2B，

所以2sinBsinC+1−2sin2C=1+1−2sin2A−1+2sin2B，

则sinBsinC−sin2C=−sin2A+sin2B，

由正弦定理可得bc−c2=−a2+b2，即bc=b2+c2−a2，

由余弦定理可得2bccosA=b2+c2−a2，

可得cosA=12，又A∈(0,π2)，故A=π3，

由A+B+C=π，

19解：(1)由已知可得：f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+π3)=85，

所以sin(x+π3)=45，

又x∈(−π3,π6)，所以x+π3∈(0,π2)，

所以cos(x+π3)=35，

所以sinx=sin[(x+π3)−π3]

=si