理论力学考研考点讲义

哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲选择考试的的专业技术基础课，是以上所述所有专业的公共基础。因此，理论力学中所建立的基本概念、处理问题的思想和解决问题的相应方法具有普适性。2．现行通用的理论力学课程和考研内容体系：第一部分为刚体静力学理论，包括空间和平面各类平衡力系的简化理论和平衡方程的应用以及摩擦专题；第二部分为点和刚体的运动学理论，包括点的运动学(基本描述理论和复合运动理论)以及刚体平动、刚体定轴转动和刚体平面运动的运动学理论；第三部分为质点和刚体的动力学理论，包括牛顿三大定律、动力学三大普遍定理、达朗伯原理、虚位移原理和分析力学初步。3．针对不同学科的考研学生，理论力学的考察情况亦有不同侧重。总体而论：对机械类、航空航天类等相关专业的考研学生，第二部分(机构运动学)和第三部分 (机构动力学)要求较高；对土木类、水利水工类等相关专业的考研学生，第一部分(刚体静力学)和第三部分 (机构动力学)要求较高；4．学习理论力学时的问题和难以理解的原因： (1)“似曾相识”感觉的欺骗性：例各构件的受力图。答案：—2—2．(1)惯性(参考)坐标系的定义？牛顿第二定律中，令F＝0a＝0。则是否第一定律是第二定律的特例？ (2)基本概念的严谨性和理论体系的严密性：例质点系对某点的动量矩是否等于质点系总动量对同一点之矩？ (3)数学工具应用的难度和生疏性：求当系统微幅振动时的运动规律。λ＝±ωi＝±9mgl＋6ki··应用运动初始条件确定积分常数C1和C2，略。 (4)动力学问题处理方法的多样性：例平面机构如图(a)所示，质量均为m的鼓轮和物块A以不计质量不打滑的细绳 径ρ＝^2r，水平弹簧的刚度系数为k。初始时弹簧原长，系统静止，求：物块A下落高度h时：物块A的加速度a和轴承O处的反力。哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲—3— 第一章静力学公理和物体的受力分析1．静力学公理(五公理、二推论)的适用范围2．二力物体(构件)的概念；力的可传性原理与三力平衡汇交定理的应用3．物体(系统)受力图的绘制本章内容的考研题型以填空、选择、简答为主，不会有大题出现，常将有关概念融汇于受力图的分析之中。作受力图要注意对约束(反)力的分析。同时，受力图也是以后很多部分的共同基础。第二章平面基本力系2．平面基本力系的平衡条件3．平面基本力系平衡方程的应用第三章平面任意力系1．平面任意(一般)力系特征量(主矢、对某点的主矩)的概念以及计算2．平面任意(一般)力系的简化结论及其应用3．不考虑摩擦作用时物体系统平衡问题的求解4．平面简单理想桁架在外力系给定时其中零力杆的判定5．定问题和超静定问题(静不定问题)的概念本章是静力学部分的重点章节，考研题型必有计算大题出现；另外也常以填空、选念的理解；对考点3的考查则重于计算和对各类平衡方程的综合应用，并常将二力物体的考察融于其中。—4—第四章空间力系1．空间力对点之矩与力对轴之矩的概念与计算2．简单空间力系、特别是简单空间任意(一般)力系的简化3．力螺旋的概念及其分类4．重心的简单计算本章内容的考研题型没有大题出现，常以填空、选择、简答等题型考查对概念的理解，故本章的复习应侧重于概念和简单的计算。第五章摩擦1．库仑摩擦定律2．滚动摩阻力偶的概念及性质3．用摩擦角和自锁条件分析考虑摩擦作用时物体系统的平衡问题(几何法)4．考虑摩擦作用时物体系统平衡问题的求解(解析法)： (1)判定在已知条件下系统能否平衡(滑倒、翻倒) (2)求系统能保持平衡的相关参数(力参数、位置参数) (3)由摩擦构成的静不定问题本章内容的考研题型常以填空、选择、简答等题型考查对概念的理解，鲜有大题出第六章点的运动学系中的表述及其意义本章内容的考研题型常以填空、选择、简答等为主，多为考查自然系中描述结果的力第七章刚体的简单(基本)运动2．定轴转动刚体上各点速度和加速度的描述哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲—5—本章内容的考研题型常以填空、选择、简答等为主，不会有单独的大题出现，但后续的机构运动学问题中必会涉及刚体平动和定轴转动问题的考查。第八章点的合成(复合)运动1．点的三种运动的相关概念及其计算2．科氏加速度的概念及其计算3．点的速度合成定理和加速度合成定理的应用本章是运动学部分的重点章节，考研题型必有计算大题出现；另外也常以填空、选的理解；对考点3的考查则重于计算和综合应用，共有三种题目类型。第九章刚体的平面运动1．刚体平面运动的分解描述；运动方程2．平面图形方位角、角位移、角速度和角加速的概念3．速度瞬心的概念及其位置的确定方法4．求平面图形内任一点速度和加速度的问题本章是运动学部分的重点章节，考研题型必有计算大题出现，考查求图形内指定点加第十章质点动力学基本方程1．用质点运动微分方程求解质点动力学逆问题本章内容的考研题型没有大题出现，常以填空、选择、简答等题型考查对概念的理解和对质点动力学逆问题的简单计算，但本章内容是后续动力学各章内容的基础。第十一章动量定理1．质点及刚体(系)动量的计算2．动量定理(含动量守恒定律)和质心运动定理(含质心运动守恒定律)的应用3．刚体系统动量定理(含动量守恒定律)和刚体系统质心运动定理(含质心运动守—6—恒定律)的应用动量定理是动力学三大普遍定理之一。本章是动力学部分的重点章节，考研题型除常以填空、选择、简答等形式考查对概念的理解外，也经常以计算大题考查本章定理和定律的应用，既有考查单独应用的计算大题，也常在考查动力学普遍定理综合应用的计算大题中涉及本章内容。第十二章动量矩定理1．质点及刚体(系)动量对点之矩的计算和对轴之矩的计算2．定轴转动刚体对转轴的动量矩的计算3．质点系相对定点和质心的动量矩定理4．刚体定轴转动微分方程的应用5．刚体平面运动微分方程(一般形式、特殊形式)的应用动量矩定理是动力学三大普遍定理之一。本章是动力学部分的重点章节，考研题型除的应用，既有考查单独应用的计算大题，特别是常考查刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程的应用，也常在考查动力学普遍定理综合应用的计算大题中涉及本章内容。第十三章动能定理1．力(系)元功和有限功的计算2．刚体平动、定轴转动、平面运动时动能的计算3．应用动能定理(积分式、微分式、导数式)和机械能守恒定律(积分式、导数式)求解单自由度刚体系统的动力学问题4．动力学普遍定理综合应用求解刚体系统的动力学问题动能定理是动力学三大普遍定理之一。本章是动力学部分的重点章节，考研题型除常以填空、选择、简答等形式考查对概念的理解外，也经常以计算大题考查本章定理和定律的应用，既有考查单独应用的计算大题，也常在考查动力学普遍定理综合应用的计算大题中涉及本章内容。第十四章达朗贝尔原理哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲—7—2．动平衡的概念3．用动静法求解刚体系统的动力学问题本章是动力学部分的重点章节，考研题型除常以填空、选择、简答等形式考查对概念的理解外，也经常以计算大题考查动静法的应用。第十五章虚位移原理本章内容的考研题型除常以填空、选择、简答等形式考查对概念的理解外，也经常以计算题考查虚位移原理的应用。第十六章分析力学初步2．第二类拉格朗日方程及其应用3．第二类拉格朗日方程的首积分本章是动力学部分的专题章节，考研题型常以计算大题考查具体的应用，特别是容易考察第二类拉格朗日方程在微振动系统中的应用问题。 (二)复习思路以基本概念为支撑；以动力学为纲；以时间描述和空间描述为界；以矢量法(几何法)和解析法为目；以典型数学技巧为辅助；以统一观点看待动、静力学问题。点归纳(按照章节顺序进行)：第一章二力物体(构件)的概念★★★☆一个销钉同时连接多个构件，受集中力作用时的受力分析★★☆☆物体(系统)受力图的绘制★★★★第二章平面基本力系的平衡条件★☆☆☆能会考到平面基本力系平衡方程的应用★★★☆第三章平面任意力系特征量的概念以及计算★★☆☆平面任意力系的简化结论及其应用★★★☆不考虑摩擦作用时物体系统平衡问题的求解★★★★★★☆☆第四章空间力对点之矩与力对轴之矩的概念与计算★★★☆简单空间任意力系的简化★★★☆力螺旋的概念及其分类★☆☆☆能会考到重心的简单计算★★☆☆第五章滚动摩阻力偶的概念及性质★☆☆☆能会考到用摩擦角和自锁条件分析考虑摩擦作用时物体系统的平衡问题(几何法)★★★☆考虑摩擦作用时物体系统平衡问题的求解(解析法)★★★☆求解由摩擦构成的静不定问题★★☆☆第六章点的速度、加速度和运动方程在自然坐标系中的表述及其意义★★★★同一动点的运动学参量在直角坐标系和自然坐标系中的转换描述及相应问题的求解★★☆☆第七章刚体平动和定轴转动的特征★★★★定轴转动刚体上各点速度和加速度的描述★★★★第八章点的三种运动的相关概念及其计算★★☆☆科氏加速度的概念及其计算★★★☆点的速度合成定理和加速度合成定理的应用★★★★哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲—9—第九章刚体平面运动的分解描述★★☆☆角、角位移、角速度和角加速的概念★★☆☆刚体瞬时平动的特征★★★☆速度瞬心的概念及其位置的确定方法★★★☆求平面图形内任一点速度和加速度的问题★★★★第十章惯性坐标系的概念★☆☆☆能会考到用质点运动微分方程求解质点动力学逆问题★★☆☆第十一章质点及刚体(系)动量的计算★★★☆动量定理(含动量守恒定律)和质心运动定理 (含质心运动守恒定律)的应用★★★☆刚体系统动量定理(含动量守恒定律)和刚体系统质心运动定理(含质心运动守恒定律)的应用★★★★第十二章质点及刚体(系)动量对点之矩的计算和对轴之矩的计算★★★☆定轴转动刚体对转轴的动量矩的计算★★☆☆质点系相对定点和质心的动量矩定理★★★☆刚体定轴转动微分方程的应用★★★★刚体平面运动微分方程(一般形式、特殊形式)的应用★★★★第十三章力(系)元功和有限功的计算★☆☆☆能会考到算★★★☆ (积分式、导数式)求解单自由度刚体系统的动力学问题★★★☆动力学普遍定理综合应用求解刚体系统的动力学问题★★★★第十四章的简化★★★☆动平衡的概念★☆☆☆能会考到用动静法求解刚体系统的动力学问题★★★★第十五章★★☆☆虚位移原理的应用★★☆☆第十六章动力学普遍方程及其应用★★★☆第二类拉格朗日方程及其应用★★★☆第二类拉格朗日方程的首积分★☆☆☆能会考到①总开场白导思路及辅导的优势。老师要在课程开场五分钟内就能够吸引考生，让考生对本门课程“如何复习”能够有豁然开朗的感觉！开场白是很重要的课程营销，老师对本门课程考研的理解和把握讲解越到位，考生针对性。(至少5张以上PPT，10分钟左右讲解)ⅱ本课程所依据的权威教材，可以告诉考生，若使用的是其它极为相似的同类教材也可通过学习本课程来复习备考！若教材版本有差别，老师一定要加以说明，对版本的区别加以弱化，让使用不同版本教材的考PPT哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲1：静力学公理(五公理、二推论)的适用范围静力学公理及其适用范围(条件)1．二力平衡公理：刚体在两个力作用下保持平衡的充要条件是这两个力等值、反向、共线。提问：若为非刚体(即变形体)，则会怎样？(必要不充分条件)概念2：平衡力系：使物体保持相对惯性系做惯性运动的力系。概念3：二力物体(构件)：两个力作用下平衡的刚体。2．加减平衡力系公理：在作用于刚体的已知力系中加上或减去任意多个平衡力系，都不会改变原力系对刚体已经产生的作用效果。提问：若为非刚体(即变形体)，则会怎样？(结论不成立)作用于刚体的力可沿其作用线在刚体内任意滑移，都不会改变此力系刚体已经产生的作用效果。3．刚化(硬化)公理：当变形体在某力系作用下处于平衡状态时，若在该位置将此变形体刚化(硬化)为刚体，则其平衡状态保持不变。注意：可以进行刚化处理的前提条件。作用：此公理可使我们将刚体的平衡条件应用于变形体。力的平行四边形法则：作用于物体上同一点的两个力可以合成为作用于该点的一个合力，此合力的大小和方向(力矢)由此二力力矢为邻边构成的平行四边形的对角线确定，即合力矢等于二分力矢的矢量和。提问1：结论的成立与否一定要求受力体为刚体吗？(否)提问2：多个共点力时又如何？(可以逐次应用结论)提问3：法则是否适用于其他矢量的求和运算？(是)若刚体在三个力作用下处于平衡状态，当其中两个力的作用线汇交于一点时，第三个力的作用线也必定通过此汇交点，且此三力必定共面。注意：结论成立的前提条件。提问：若为非刚体(即变形体)，则会怎样？(结论不成立)作用力与反作用总是同时存在、同时消失，大小相等、方向相反，沿同一直线分别作用于两个相互作用的物体上。提问：结论的成立与否一定要求受力体为刚体吗？(否)体)例判断下列论述是否正确 (1)一物体在在两个力作用下保持平衡的充要条件是这两个力等值、反向、共线。 () (2)若作用在刚体上的三个力的作用线共面且汇交于一点，则此刚体必处于平衡状 a)所示，不计各物块的变形，将力P沿其作用线滑移到A、D块的交界处，然后做出D块的受力图(b)，图(b)是否正确？(否)考点2：六种常见约束所提供的约束(反)力的特征和物体 一、六种常见约束所提供的约束(反)力的特征约束(柔绳约束、光滑面约束、光滑圆柱铰链约束、固定铰链约束、活动铰链约束、球铰链约束)所提供的约束(反)力的特征及其本质，能正确、灵活的进行反力的分析。哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲二、物体(系统)的受力图步骤：(1)明确研究对象； (2)取分离体(必不可少)； (3)受力分析：先画主动力，后画约束反力。只能画外力，不能画内力。注意：(1)二力物体的判定(突破口)； (2)受力分析时不要将力进行滑移； (3)作用力与反作用的表示。例各构件的受力图。图所示，不计各构件自重及摩擦，分别作出各构件的受力图。，不计各构件自重及摩擦，分别作出各构件的受力图。哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲面结构如图所示，不计各构件自重及摩擦，分别作出各构件的受力图。答案：考点1：平面力对点之矩的概念及其计算意义：力对受力体产生的绕矩心的转动效果的度量。提问1：为何要以逆时针方向为正？(为与空间情形的规定统一)2．平面情形的合力矩定理：MO(R)＝∑MO(Fi)若平面力系存在合力，则力系的合力对平面内某点之矩必等于力系中各分力对同一点之矩之代数和。注意：结论成立的前提条件。例图示偏心手柄上作用已知力F，AC＝l，求此力对支点O之矩MO(F)。答案：MO(F)＝MO(Fx)＋MC(Fy)考点2：若干相关概念1．力系的等效：两效应完全相同的力系互称为等效力系2．力系的简化：在保证效应相同的前提下，以较简单的力系等效代替较复杂力系的过程哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲系中各分力满足的条件称为平衡条件；平衡条件的数学表示式称为平衡方程注意：平衡条件是力系平衡的充分条件？必要条件？还是充要条件？ (1)力偶：等值、反向、不共线的一对力构成的力系(F，F′)。 (2)性质：1)力偶无合力，故力偶不能与力等效，只能与力偶等效；2)力偶对刚体只能产生转动效应。 (3)平面力偶的力偶矩：M＝±Fd＝±F′d力偶转动效应的唯一度量量，与矩心的位置无关。 (4)力偶的三要素：力偶的作用面、对应力偶矩的大小和其在力偶的作用面内的方 (5)两力偶等效一两力偶的力偶矩相等(条件：两力偶作用于同一刚体上)。 (6)力偶系：考点3：平面汇交力系和平面力偶系的简化及平衡平面汇交(共点)力系；平面力偶系；平面一般(任意)力系；平面平行力系提问：汇交力系和共点力系有区别吗？(有)2．平面汇交(共点)力系的简化、平衡条件及平衡方程： (1)简化：必可简化为一作用线过汇交点的合力，合力系的力矢R＝∑Fi； (2)平面汇交(共点)力系平衡一力的多边形自行封闭(几何表现)一合力R＝0一合力的模R＝＝0一(解析表现)提问：上述平衡方程中两方程式独立的条件是什么？(x0×y0≠0) (1)简化：必可简化为一合力偶，合力偶的力偶矩M＝∑Mi； (2)平面力偶系平衡一力合力偶的力偶矩M＝0一∑Mi＝0。例 〈22 AD如图(b)，有：或解： 〈2222 AD如图(b)，有：技巧：因力的投影轴可任取，可灵活选择力的投影轴，以避开求解联立方程组。哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲力系的特征量—主矢；对某点的主矩内效应和外效应(刚体只可能产生外效应)2．力(系)外效应的分类 (1)力系的主矢：R＝∑Fi概念：力系中各力力矢的矢量和。意义：描述力(系)使刚体平移的效应。 (2)平面力系对某点的主矩：MO＝∑MO(Fi)概念：力系中各分力对平面内某点O之矩的代数和。特征：大小、方向(即符号)一般与矩心的位置有关。意义：描述力(系)使刚体绕矩心转动的效应。4．提问：力系的特征量的概念是否适用于平面汇交力系和平面力偶系？是否适用于空间力系？(适用)考点2：平面任意(一般)力系的简化及平衡1．平面一般(任意)力系的简化、平衡条件及平衡方程： (1)力的平移定理：M＝MB(F)—20—M力的平移定理的逆定理：MMB(F)F提问2：d的正负号代表什么含义？ (A点在B点的左侧还是右侧) 可见：平面一般(任意)力系向作用面内任一点简化，若主矢非零，则必可简化为一合力；若主矢为零，对简化中心的主矩非零，则必可简化为一合力偶，且此时主矩与简化中心无关；若主矢和对简化中心的主矩均为零一力系平衡。 (∑MA((∑MA(Fi＝0|＝0一〈∑MB(Fi)＝0(A、B、C三点不共线)三矩式∑MC(Fi)＝0 (1)简化：若主矢非零，则必可简化为一合力；若主矢为零，对简化中心的主矩非零，哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲—21—则必可简化为一合力偶，且此时主矩与简化中心无关；若主矢和对简化中心的主矩均为零一力系平衡。 (2)力系平衡一 (不妨取x轴平行于各力线)一一(x0·AB≠0) (1)常用结论：一矩式(基本式)二矩式物体系统时：必要不充分条件例闭正方形，如图所示。则此刚体()—22—2．某平面力系向任一点简化的结果均相同，则此力系()1)根据力的平移定理，可以将一个力分解为另一个力和一个力偶；反之，一个力和一个力偶可以合成为一个合力。()2)同一平面内的两个力，只要不构成力偶，都可以合成为一个力。()4．若一平面任意力系向其作用面内任意两点简化所得主矢相等，主矩也相等且主矩5．一平面任意力系向其作用面内O点简化后，得到如图所示的一个力和一个力偶矩为的力偶，则该力系简化的最后结果是()A．作用在O点的一个合力；C．作用在O点左侧某点的一个合力；D．作用在O点右侧某点的一个合力D．与简化中心有关哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲—23—答案：MO(F)＝M＋MO(F)＝MC(F)＋MO(F)＝MC(Fx)＋MC(Fy)＋MO(F)考点3：求平面简单理想桁架杆件内力的方法及在外力(系)给定时其中零(力)杆的判定1)一次性截开的杆件根数一般不要超过三个，除非被截开杆件的内力多于两个汇交于同一点；2)不一定必须是平面去截开，曲面也可以。3．外力系给定时桁架中零(力)杆的判定：什么？(否)例—24— (1)以图一所示部分为对象：〈33 (2)以图二所示部分为对象：〈3NBD32．不经计算，写出图示平面桁架中所有零力杆的标号。哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲—25—答案： (2)以图(c)所示部分为对象， ∑MB＝0，－FCD·DB－F·DF·sin60°＝0考点4：不考虑摩擦作用时物体系统平衡问题的求解解题要点：(1)研究对象的选取； (2)灵活分析受力，特别是约束(反)力； (3)灵活选用平衡方程；选取力的投影轴。例大小以及水平地面的约束反力。—26—3ABa)所示： (2)以凸轮为对象，分析受力如图(b)所示：(|N＝^(〈33 (2)以凸轮为对象：结果同上。哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲—27—2．平面结构如图(a)所示，已知水平力P、铅垂力Q和力偶矩为M的平面力偶。K受力。解：(1)以DE杆为对象，分析受力如图(b)所示： (2)以整体为对象，分析受力如图(c)所示：MBMYAaP·2b＋Q·a＝0YA＝－－ (3)以如图(d)所示部分为对象：| (4)再以整体为对象，分析受力如图(c)所示： (2)以如图(e)所示部分为对象：∑MB＝0，－N′D·b－YA·2a－P·2b＋Q·a＝0YA＝－－ (2)以整体为对象，分析受力如图(c)所示：∑MA＝0，－M＋YB·2a－P·2b－Q·a＝0YB＝＋＋ (3)以如图(f)所示部分为对象：MCXBbYBa－Q·a＝0||—28— (4)再以整体为对象，分析受力如图(c)所示：C处所受的力。解：(1)以杆DEF为对象，受力分析如图(b)所示： (1)哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲—29— (2)以杆ABC为对象，受力分析如图(c)所示： (2)|∑MA＝0，F (2) (1)、(2)联立，得：〈又解：(1)以整体为对象，受力分析如图(a)所示： (2)以杆ABC为对象，受力分析如图(b)所示：〈∑MA＝0，－NC·6－F·4－NBE·^2·2〈∑MA＝0，－NC·6－F·4－NBE·^2·2＝0|—30—载时塔吊均不翻倒，求平衡锤的最小重量P2以及平衡锤到左轨的最大距离x。解：以塔吊整体为对象，受力分析如图(b)所示：CDe)所示：哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲—31— (2)以杆BC为对象，分析受力如图(c)所示： (3)以销钉B为对象，分析受力如图(d)所示： (4)以杆AB为对象，分析受力如图(b)所示：∑MA＝0，MA＋F′B2x·3a－F′B2y·a－q·3a·a＝0|〈FAy＝F＋qa不计各杆和轮的自重以及各处的摩擦，求弯杆DB的B端所受的力。—32—解：(1)以整体为对象，分析受力如图(a)所示： (2)分别以销钉D、B为对象，分析受力如图(b)所示，对销钉D： (3)以如图(c)所示部分为对象： (4)以如图(d)所示杆ACB为对象：∑MC＝0，－YA·AC－Y′B·BC＝0Y′B＝－2YA(2)直杆在D、E、H处分别以铰链连接。已知水平力P以及尺寸a、b和角度自重和摩擦，求铰链H对杆CH的约束力(要求：所用平衡方程不得超过三个)。哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲—33—解：(1)以整体为对象，分析受力如图(a)所示： (2)以杆CH为对象，分析受力如图(b)所示：ME＝0，N1·－P·cosθ＝0N1＝Pcosθ (3)以如图(c)所示部分为对象：已知水平力P以及力偶矩为M的平面力偶如图所示，求：BD杆两端所受的销钉的力(要求：所用平衡方程不得超过三个)。—34—解：(1)以整体为对象，分析受力如图(b)所示： (2)以如图(c)所示部分为对象： (3)以杆BD为对象，分析受力如图(d)所示：哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲—35—考点1：空间力对点之矩与力对轴之矩的概念与计算—→定义：MO(F)＝OA×F＝r×F(矢量)意义：力对受力体产生的绕矩心的转动效果的度量。特征：大小、方向(绕向)一般与矩心的位置有关。三要素：大小、方向、矩心(故力矩MO(F)必须由矩心画出)。ixXjkzZ提问：何时力对点之矩为零？(力的作用线通过矩心时)比较：空间力对点之矩和平面力对点之矩的符号规定—均满足右手螺旋法则定义1：力F对任意轴l之矩定义为此力在与该轴相垂直的平面α上的投影Fα对该轴与此投影平面的交点之矩(代数量)。定义2：力F对任意轴l之矩定义为此力对该轴上任意一点A之矩在该轴上的投影 (代数量)。若l0为该轴正向的单位矢量，则：Ml(F)＝MA(F)·l0意义：力对受力体产生的绕此轴的转动效果的度量。提问：何时力对轴之矩为零？(力的作用线与轴共面(即平行或相交)时)—36—O为原点建立直角坐标系，则：MO(F)＝Mx(F)i＋My(F)j＋Mz(F)k＝(yZ－zY)i＋(zX－xZ)j＋(xY－yX)k考点2：若干概念矩定理：MO(R)＝∑MO(Fi)若力系存在合力，则力系的合力对(空间内)某点之矩必等于力系中各分力对同一点之矩之矢量和；力系的合力对(空间内)某轴之矩必等于力系中各分力对同一轴之矩之代数和。注意：结论成立的前提条件。—→—→ (1)空间力偶的力偶矩(矢)：M＝BA×F＝AB×F′力偶转动效应的唯一度量量(矢量)，与矩心的位置无关。 要素：力偶的作用面、对应力偶矩的大小和其在力偶的作用面内的方向。 (3)两力偶等效一两力偶的力偶矩(矢)相等(条件：两力偶作用于同一刚体上)。 (4)空间力偶系：3．空间力系的特征量—主矢；对某点的主矩 (1)空间力系的主矢：R＝∑Fi概念：力系中各力力矢的矢量和。意义：描述力(系)使刚体平移的效应。 (2)空间力系对某点的主矩：MO＝∑MO(Fi)概念：力系中各分力对空间内某点O之矩的矢量和。特征：大小、方向(即绕向)一般与矩心的位置有关。意义：描述力(系)使刚体绕矩心转动的效应。哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲—37—例如图所示，边长为a的立方体A、B、C三顶点及上表面分别作用有已知力F1、ijk—→－F－FFijkijk—→－F－FFijk—→F0Fijk—→F0Fijk—→—→a )也可由合力矩定理求力F1、F2对O点之矩，略。空间汇交(共点)力系；空间力偶系；空间一般(任意)力系；空间平行力系—38—2．空间汇交(共点)力系的简化、平衡条件及平衡方程 (1)简化：必可简化为一作用线过汇交点的合力，合力的力矢R＝∑Fi； (2)空间汇交(共点)力系平衡一力的多边形自行封闭(几何表现)一合力R＝0一合力的模提问：上述平衡方程中三个方程式独立的条件是什么？ (1)简化：必可简化为一合力偶，合力偶的力偶矩矢M＝∑Mi； (2)空间力偶系平衡一合力偶的力偶矩矢|M＝0一∑Mi＝0一〈∑My＝0。4．空间一般(任意)力系的简化、平衡条件及平衡方程 (1)空间情形力的平移定理和力的平移定理的逆定理： i2)R＝0，MO≠0：合力偶(此时主矩与简化中心无关)；3)R≠0，MO≠0：a)R·MO＝0：合力(作用线不过O点)；b)R·MO≠0：力螺旋；可见：空间一般(任意)力系向空间任一点简化，1)R·MO≠0一简化结果为力螺旋； (3)空间一般(任意)力系平衡哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲—39—一三矩式(基本式) (1)简化：若主矢非零，则必可简化为一合力；若主矢为零，对简化中心的主矩非零，则必可简化为一合力偶，且此时主矩与简化中心无关；若主矢和对简化中心的主矩均为零一力系平衡。 (2)空间平行力系平衡 (不妨取z轴平行于各力线)一二矩式：1)力螺旋：由一个力和一个力偶矩与此力平行的力偶组成的力系。2)力螺旋的分类：左力螺旋；右力螺旋。如下图所示：7．空间力系和平面力系简化结论小结： (1)空间一般(任意)力系简化为力螺旋一R·MO≠0；空间平行力系(R·MO＝0)不可能简化为力螺旋；空间力偶系(R＝0)不可能简化为力螺旋；空间汇交力系(MO＝0)不可能简化为力螺旋；所有平面力系(R·MO＝0)不可能简化为力螺旋； (2)空间一般(任意)力系可能的最简简化形式：空间汇交力系和平面汇交力系可能的最简简化形式：平衡、合力；哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲 δrm＝rδφ方向(或正转向)应与广义坐标qj的正方向(或正转向)一致。考点3：动力学普遍方程及其应用在任意瞬时，作用于双面、理想约束质点系上的主动力系和达朗伯惯性力系在该质点系的任何一组虚位移上所做的虚功总和为零(达朗伯－－拉格朗日原理)。即：nn∑(Fi＋Gi)·δri＝0一∑(Fi－minn (1)质点系中各质点或各刚体的质心加速度和刚体的角加速度均必须是相对惯性参考系的绝对加速度和绝对角加速度 (2)计算各主动力和各达朗伯惯性力的虚功时所涉及的虚位移均必须是相对惯性参考系的绝对虚位移； (3)计算达朗伯惯性力系的虚功时，只需考虑简化后的力系的虚功将动力学系统正确施加达朗伯惯性力后，其解题步骤即同虚位移原理。例端固定，自然原长为l0。弹簧在平衡位置的长度为l，以图示坐标(r，φ)系统的广义坐标，用动力学普遍方程求出摆在铅垂平面内的运动方程，并求摆做微小振动时的运动。解：以质点m为对象，分析受力如图(b)所示，F为弹簧的弹性恢复力。依题：F＝k以质点m为动点，此瞬时动系与弹簧固连，分析速度如图(e)、分析加速度如图(f)所示：v＝v＋varea＝a＋a＋retvva·2rφv＋＋2v哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲 (1)施加达朗伯惯性力系的简化结果：如图(g)所示： 图(h)所示：则由动力学普遍方程得： 将(*)与(**)代入上式，得： (***) (***)式即摆在铅垂平面内的运动方程。则(***)式化为：－gφ糙斜面上，斜面放置于光滑水平面上，初始时系统静止。将圆轮无初速释放后，圆轮在斜面上纯滚动，用动力学普遍方程列出该系统的运动微分方程。解：以整体为对象，在任意位置分析受力如图(b)所示。以(x，s)为系统的广义坐标，则： (1)施加达朗伯惯性力系的简化结果：如图(c)所示： 图(d)所示：将(*)与(**)代入上式，得： 由δx与δs的独立性，得： 哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲注：(1)式(***)即为该系统的运动微分方程。提问：将上式与动能定理一章第四讲所得结果(＃)进行比较：发现第二个式子的形式不一致。为何？答案：将(＃)式的第一式表以广义坐标形式并代入(＃)式的第二式，化简后即得(***)式。 (2)求解上式，即可得出斜面的加速度a1＝x¨和均质圆轮相对与斜面的加速度a2＝长度为l，圆盘半径为r。位于固定圆弧轨道圆心位置的支座O上置有刚度系数为k的扭圆盘纯滚动。应用动力学普遍方程，求释放后：(1)系统的运动微分方程；(2)系统微幅振动的频率。 (1)分析主动力并施加达朗伯惯性力系的简化结果：如图(b)所示： (2)令δφ≠0，方向与系统的广义坐标φ的正向同向，去除扭簧并代之以力偶M。分则由动力学普遍方程得：mg·δrC＋mg·δrA＋G·δrA－MGOδφ－MGAδw－Mδφ＝0将(*)与(**)代入上式，得： (1)式即为系统的运动微分方程sin(1)式成为： (2) (2’)注意：(1)本题在系统中安装了扭转弹簧，则弹性内力对系统的虚功有贡献。因内力都是成对出现的(弹簧对杆O有作用力，而杆对弹簧有反作用力，它们做功的总和为题时一定要将弹簧去掉。 (2)本题所用分析方法为几何法。几何法也可以给出下图(d)所示虚位移δφ≠0 (方向与系统的广义坐标φ的正向反向)，通过类似计算也可得到(1)式。拉格朗日方程通常是指第二类拉格朗日方程，它是完整约束系统分析力学的基础。方程的形式：将动力学普遍方程应用于具有完整约束的质点系，并以广义坐标表示，可得第二类哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲拉格朗日方程。 想约束质点系：－＝注意：第二类拉格朗日方程适用于双面、完整、理想约束质点系，而不论约束定常与否。 定义：L＝T－V~拉格朗日函数(亦称动势)注：动势中的T是以广义坐标表示的质点系在任意瞬时的动能；V是以广义坐标表示的质点系在任意瞬时的势能。2．第二类拉格朗日方程的特点：由第二类拉格朗日方程建立的质点系运动微分方程的个数等于系统的自由度数，且为二阶常微分方程(组)。 (1)质点系的动能T和势能V(从而动势L)必须表示以广义坐标形式，其中涉及的各质点或各刚体的质心加速度和刚体的角加速度均必须是相对惯性参考系的绝对加速度和绝对角加速度 (2)对于完整、双面、非理想约束质点系，只需将非理想约束解除并代之以约束反力，且视之为主动力，则也可以应用第二类拉格朗日方程求解问题。 (1)判断系统是否为完整约束，主动力是否有势，以决定选用何种形式的拉格朗日方程； (2)确定系统的自由度数，选择广义坐标； (3)按照所选广义坐标，写出系统的动能、势能或广义力； (4)将各项代入拉格朗日方程，进行计算，得出结果。例端固定，自然原长为l0。弹簧在平衡位置的长度为l，以图示坐标(r，φ)系统的广义坐标，用第二类拉格朗日方程求摆在铅垂平面内的运动方程，并求摆做微小振动时的运动。mbF为弹簧的弹性恢复力。依题：F＝k WδWWδW－＝上式即摆在铅垂平面内的运动方程。哈尔滨工业大学《理论力学》考点精讲上式即摆在铅垂平面内的运动方程。2．如图(D)所示，一质量为w，半径为北的均质圆轮放置于质量为M，倾角为φ的粗糙斜面上，斜面放置于光滑水平