注册电气工程师公共基础高数大纲

注册电气工程师公共基础高数大纲PAGEPAGE95注册电气工程师执业资格考试基础考试大纲（供配电）高等数学1.1空间解析几何1.1.1 向量代数一、向量的概念1、空间直角坐标系空间两点与之间的距离2、向量既有大小又有方向的量称为向量。常用有向线段表示向量，其长度为向量的大小称为向量的模，其方向为向量的方向。用或a表示。模为1的向量称为单位向量。模为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向不定。和向量a大小相同方向相反的向量称为向量a的负向量，记作-a。设=(a1，a2，a3)，=(b1，b2，b3)是两个向量，有关向量有如下一些基本概念要掌握：（1）模=（2）方向余弦 且Cos2+Cos2+Cos2=1。（3）向量的加减法 ±=(a1±b1,a2±b2,a3±b3).(4)数乘向量 λ=（λa1，λa2，λa3），其中λ为数量，λ为与平行的向量。（5）数量积，两个向量的数量积是一个数.（6）向量积=(a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1)，两个向量的向量积是一个向量. 成右手系.（7）两个向量平行或垂直的充分必要条件 或3．向量的坐标表达式2、直线与直线的关系：直线l1：方向向量；直线l2：方向向量，相互平行的充要条件：l1l2即相互垂直的充要条件：，即a1a2+b1b2+c1c2=0系数不满足以上条件时，两直线斜交.两直线的夹角θ满足：3、直线与平面的位置关系直线l1：方向向量；平面1：A1x+B1y+C1z+D1=0，法方向直线与平面的夹角θ满足： 直线与平面平行的充要条件：l11直线与平面垂直的充要条件：l11 系数不满足以上条件时，直线与平面斜交.1.1.4 二次曲面1、定义：如果曲面上的点的坐标用x,y,z表示，常用表示一张曲面的方程。如果为二次方程，则它所表示的曲面为二次曲面。特殊的二次曲面方程: 球面方程：(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2=R2，球心：(a，b，c)，半径：R 椭球面：单叶双曲线方程双叶双曲线方程椭圆抛物面方程 （p,q同号）双曲椭圆抛物面方程 （p,q同号）锥面方程 1.1.5 柱面如果曲面方程中缺少一个变元，则称其为柱面方程。柱面的母线与所缺变元同名的坐标轴平行。如为母线平行于z轴的柱面方程；为母线平行于x轴的柱面方程；为母线平行于y轴的柱面方程。1.1.6 旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面，这条定直线称为旋转曲面的轴。如：xOy平面内一段方程为的曲线C，绕x轴旋转一周得到一个旋转面，该旋转曲面的方程为 。1.1.7 空间曲线一般方程：空间曲线可以看作是两个曲面的交线。若空间曲线L是曲面和的交线，则L的方程可用下述方程组表示，此方程组称为空间曲线L的一般方程。（2）参数方程：若将空间曲线L上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数：这方程组称为空间曲线L的参数方程。例如，参数方程表示的空间曲线是螺旋线。已知两点A（1，-1，2）和B（3，1，1），求向量的方向余弦。解 ={3-1，1-（-1），1-2}={2，2，1}，设的方向角为，则 例1.2 求通过点P（2,-1,-1），Q（1,2,3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。解 ，已知平面的法矢量取所求平面为：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0 即：9x-y+3z-16=0例1.3 已知两直线方程 ，试求过且平行的平面方程。解 过的平面束方程：即由平行∴ 得所求方程为：例1.4 方程表示什么曲面？解 单叶双曲面。1.2 微分学1.2.1极限定义1、数列的极限：如果对于任意给定的ε>0，总存在正整数N当n>N时，恒有<ε成立，则称常数a为数列当n趋于无穷时的极限。记为。2、函数的极限（1）定义1：设函数f(x)在点的某一去心邻域内有定义。如果对于任意给定的ε>0，总存在正整数δ>0，使得对于满足0<<δ的一切x，恒有<ε，则称常数A为函数f(x)当x→时的极限。记为。（2）定义2：如果对于任意给定的ε>0，总存在N>0使得对于满足>N的一切x，恒有<ε，则称常数A为函数f(x)当x→时的极限。记为。左极限、右极限（1）在的定义中，把0<<δ改为-δ<x<,那么A为函数f(x)当x→时的左极限。记为或f(-0)=A。(2)在的定义中，把0<<δ改为<x<+δ,那么A为函数f(x)当x→时的右极限。记为或f(+0)=A。（3）在的定义中，把>N换为x>N，则称常数A为函数f(x)当x→+时的极限。记为。（4）在的定义中，把>N换为-x>N，则称常数A为函数f(x)当x→-时的极限。记为。二、极限的性质1、若>0，则必存在的某邻域，在该邻域内任何异于的点x处，恒有f(x)>0.2、若f(x)≥0，且，则必有A≥0。3、f(x)在处极限存在的充要条件是f(x)f(x)在处的左极限和右极限都存在且相等，三个值相同。三、极限的四则运算注意：上述记号‘上m”下面的自变量变化过程可以是x、x。，x、co，x、x。，x。xo＋，x、－co，x、＋co，但等号两端出现的必需是同一种。四、极限存在准则和两个重要极限1、夹通准则若，且当时，，则当时，有。2、单调有界的数列（或函数）必有极限。3、两个重要极限：；或）五、无穷小量、无穷大量1、无穷小量：如果，则称函数f(x)当x→（x→）时为无穷小量（无穷小）。2、无穷小量的性质（1）有限个无穷小量的代数和是无穷小量；（2）有限个无穷小量的乘积是无穷小量；（3）无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量。 3、无穷小的比较设α及β都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，且α≠0，也是在这个变化过程中的极限。4、无穷大量：如果当x→（x→），对应称函数值的绝对值无限增大，则称函数f(x)当x→（x→）时为无穷大量（无穷大）。例1.5 求下列极限 （1）（2）(为非零常数)（3）解 （1）题给极限式分子的最高次项为分母的最高次项为，由此得（2）对任意的，，由重要极限得（3）由于时，有，，因此还是无穷小量，故1.2.2 连续一、函数的连续性函数的连续性的定义（1）若函数y=f(x)在点的某邻域内有定义，如果，则称f(x)）在处连续。（2）如果，即，则称f(x)在处左连续。（3）如果，即，则称f(x)在处右连续。若函数f(x)在区间I上每一点都连续，则称f(x)在该区间上连续。特别，当I=[a，b]时，f(x)在[a，b]上连续，是指f(x)在（a，b）内每一点处连续，且在a处右连续，在b处左连续。2．函数的间断点由函数在一点连续的定义可知，函数f(x)在一点处连续的条件是：（1）有定义；（2）存在；（3）。若上述条件中任何一条不满足，则f(x)在处就不连续，不连续的点就称函数的间断点。间断点分成以下两类：第一类间断点：是f（x）的间断点，但及均存在；第二类间断点：不是第一类的间断点。在第一类间断点中，若、均存在但不相等，则称这种间断点为跳跃间断点；若及均存在而且相等，则称这种间断点为可去间断点。二、初等函数的连续性1．基本初等函数和初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。2．初等函数的连续性一切初等函数在其定义区间内都是连续的，这里的“定义区间”是指包含在定义域内的区间。三、闭区间上连续函数的性质设f(x)在闭区间[a，b]上连续上连续，则（1）f(x)在［a，b］上有界（有界性定理）；（2）f(x)在在［a，b］上必有最大值和最小值（最大值最小值定理）；（3）当f（a）f（b）＜0时，在（a，b）内至少有一点ξ，使得f(ξ)=0（零点定理）；（4）对介于f（a）＝A及f（b）＝B之间的任一数值C，在（a，b）内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C（介值定理）。例1.6讨论函数在处的连续性。解的定义域为由于在点处的左右极限不相等，故极限不存在，因此函数在点间断。（补充说明：由于，所以在点左连续，它的连续区间应为为，。）1.2.3 导数1、导数的概念设函数在点及其某个邻域内有定义，对应于自变量在的改变量Δ＝－，函数相应的改变量，如果当时，极限存在，则称此极限值为函数在点处的导数。记作，或或。左导数 右导数 存在的充要条件、存在且相等。函数在处连续是可导的必要条件，但不是充分条件，即在可导，则在必连续，反之不然。2、导数的几何意义函数在点的导数，在几何上表示曲线在点（，）处的切线的斜率。3、求导法则导数的四则运算反函数求导法则复合函数求导法则（4）隐含数求导法则4、求导基本公式5、高阶导数（1）定义：若函数的导函数仍可导，则的导数叫做函数的二阶导数，记作或或或。类似地，有的三阶导数，四阶导数，…。一般地，的（n-1）阶导数的导数，叫做f（x）的n阶导数，记作或或。（2）高阶导数的求导法则若u＝u（x）及v=v（x）都在点x处有n阶导数，则 其中后一个公式称为莱布尼兹公式。1.2.4 微分1．微分的定义设函数在某区间正内有定义，若函数的增量其中A是不依赖于Δx的常数，则称在点可微分，AΔx叫做在点相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy＝AΔx函数在点x的微分称为函数的微分，记作dy或df（x）。2．函数可微分的充要条件函数在点可微分的充要条件是f（x）在点可导，且当f（x）在点可导时，其微分一定是。函数的微分是通常把Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx=Δx。于是函数的微分可写成。而导数可写成。即导数等于函数的微分dy与自变量的微分dx之商。3、微分法则微分的四则运算设函数u=u（x）、v＝v（x）均可微，则复合函数的微分法则设y＝f（u）、u=φ（x）均可微，则y=f［φ（x）］也可微，且4、基本微分公式例1.7 求下列函数的导数或微分（1），求。（2），求。（3）由方程确定了y是x的函数，求（0）。（4）求曲线在处的切线方程。解（1）（2）＋则＋（3）方程两端对x求导，得 故将x=0代入原方程中，得，于是（0）＝。（4）由，得由于时 故所求切线方程为。1.2.5 偏导数1、定义2、多元复合函数的求导法则设u=φ(x，y)，v=ψ（x，y)均具有偏导数，而z=f(u，v)有连续偏导数，则复合函数z=f[φ（x，y），ψ（x，y)]的偏导数存在，且 特别，当u=φ(x)，v=ψ（x)，z=f(u，v)时，则复合函数z=f[φ（x），ψ（x)]有全导数 3、隐函数的求导法则 4、高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数，如z=f（x，y)的二阶偏导数按求导次序不同有下列四个： 5、偏导数的应用（1）空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法.1)设空间曲线方程为x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，在t=t0处的切线方向为，则在t0处曲线的切线方程为 法平面方程为=02)曲面F(x，y，z)=0(或z=f(x，y))，在曲面上的点P(x0，y0，z0)处的法方向为，则在点(x0，y0，z0)处的切平面方程为 法线方程为 注意：点(x0，y0，z0)一定在曲线或曲面上，必须是方向向量在该点处的值。多元函数的极值例1.8 例1.9 例1.10 1.2.6 全微分 1、全微分的概念若函数z＝f（x，y）的全增量其中A、B仅与x，y有关，而，则称函数z＝f（x，y）在点（x，y）可微分，并称AΔx＋BΔy为函数z＝f（x，y）在点（x，y）的全微分，记作dz，即 dz=AΔx＋BΔy2、函数可微分的条件函数可微分的充分条件是函数具有连续偏导数。例1.11 导数与微分的应用导数的应用 2、其他形式的未定式的情形（三）函数性态的判别1．函数单调性的判定：利用一阶导数的符号判定，如表1.2-l所示表1.2-l表1.2-22．函数极值的判定：利用一阶导数判定，如表1.2-2所示。利用二阶导数判定，如表1.2-3所示。3．曲线凹、凸及其拐点的判定：利用二阶导数的符号判定曲线的凹、凸，如表1.2-4所示。表1.2-3表1.2-4 二、微分的应用例1.12 求 渐近线 （斜渐近线不讨论）解 ∵∴为水平渐近线∵∴垂直渐近线例1.13 当 证明 证 令 驻点唯一，∵∴极小 ∴为最小值即1.3 积分学1.3.1 不定积分1、不定积分的定义在区间Ⅰ上，如，称为的导函数，称为的原函数，原函数与导函数是一种互逆关系。如为的一个原函数，则为的全体原函数。记为，即=2、不定积积分性质(1) 或 (2) (3) (4)3、计算方法（1）第一类换元法（凑微分法）常用凑微分形式 （2）第二类换元法（其中是x=的反函数，且≠0）当被积函数中含有二次根式，令；，令；，令如是配方（3）分部积分<定理> 如、均具有连续的导函数，则4、基本积分表例1.13 求下列积分（1）（2）(3)(4)（5）（6）解 （1） （2） （3）令原式 （4）令 原式 （5） （6）1.3.2 定积分1、定义：，注意(1)积分区间有限，被积函数有界；(2)与“分法”、“取法”无关；(3)定积分的值与积分变量的选取无关；(4)在有界是在可积的必要条件，在连续是在可积的充分条件。<几何意义>：在几何上表示介于，，，之间各部分面积的代数和。补充规定 （当a=b）; (当a>b)性质(7)为估计定理：在，，则(8)中值定理：如在连续，，使 3、计算方法（1）变上限积分基本定理：设在连续，为上任意一点，则是可导函数，且。即 说明为的一个原函数。（2）牛顿莱伯尼兹公式<定理>设在[a,b]连续。为在[a,b]上的任意一个原函数，则有（3）换元法设函数f（x）在闭区间[a,b]连续，函数及其导数都在闭区间[α,β]连续，其中a=，b=，复合函数在闭区间[α,β]连续，则（4）分部积分法4、奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质(1)在连续，当为偶数，则当为奇函数，则(2)，以T为周期说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。计算解 设 则 例1.15 设在连续，可导，且，证明在内，有证：在单调减， 故 1.3.3 广义积分1、无限区间上的积分（1）定义 设函数f(x)在区间[a，+∞）上连续，极限存在，称此期限值为f(x)在区间[a，+∞）上的广义积分，记作此时称广义积分收敛，若不存在，则称发散。 类似的，定义= =+ （2）计算方法 设F（x）函数f(x)的一个原函数，则== 2、无界函数的积分（1）定义 设函数f(x)在区间（a，b]上连续，当时，如果存在，称此期限值为无界函数f(x)在区间[a，b]上的广义积分，记作此时称广义积分收敛，若不存在，则称发散。类似的，若f(x)在区间[a，b）上连续，且，则定义= （ε）0）若f(x)在区间[a，c）（c，b]上连续，且，则定义=+（） （2）计算方法 设F（x）函数f(x)的一个原函数，则 1）当f(x)在区间（a，b]上连续，时， 2）当f(x)在区间[a，b）上连续，且时，= 3）当f(x)在区间[a，c）（c，b]上连续，且时，=例1.16 计算解 1.3.4 重积分一、二重积分定义 设函数f（x，y）在有界闭区域D上有定义。分割 用任意两组曲线将区域D分成n个小区域，分别记为。并以代表第i个小区域的面积。求和 在每个小区域上任取一点（，）作乘积，并求和 求极限 记λ为n个小区域的最大的直径，如果 存在，且此极限值不依赖区域D的分法，也不依赖于点（，）的取法，则称此极限值为函数f（x，y）在区域D上的二重积分。记为称为面积元素。2、存在性 若函数f（x，y）在闭区域D上连续，则f（x，y）在D上的二重积分必存在。3、几何意义，，则表示以为顶，以D为底的曲顶柱体体积。4、性质（1）都在有界闭区域D上可积，则=+（2）表示平面区域D的面积。（3）在有界闭区域D上连续，则存在，使,是D的面积。（4）D可分解为两个互不重叠的区域D1与D2，则=+ （5）对任意的，，则≤ （6）设M、m分别是在D上的最大值、最小值，是D的面积，则 m≤≤M5、二重积分的计算法直角坐标下的计算法在直角坐标下，二重积分可表示为。若积分区域D（见图）可表示成则二重积分可化成先对y后对x的二次积分，即或若积分区域D（见图）可表示成则二重积分可化成先对x后对y的二次积分，即 在极坐标下计算方法直角坐标和极坐标的关系 ，则例1.17 计算二重积分其中D由曲线直线及轴所围成。解 首先画出积分区域D例1.18 计算 D：解 二、三重积分定义 设函数f（x，y，z）在有界闭区域上有界，与二重积分的定义类似的有f（x，y，z）在上的三重积分的定义，即若f（x，y，z）表示某物体在点（x，y，z）处的密度，表示该物体占有的空间闭区域，则三重积分就表示该物体的质量M，即M=。三重积分具有与二重积分类似的性质。2、三重积分的计算方法其中1.3.5 平面曲线积分一、对弧长的曲线积分1、定义，即 若一曲线形构件L在点（x，y）处的线密度为μ（x，y），则曲线积分就表示此构件的质量M，即 当L为闭合曲线时，曲线积分记为。2、性质3、计算方法计算对弧长的曲线积分，首先要将它化成定积分。要注意积分的下限应小于上限。（1）设在曲线弧L上连续，L的参数方程为α≤t≤β。其中函数具有一阶连续导数。则弧微分=（2）设在曲线弧L上连续，L的方程为，a≤x≤b，且具有一阶连续导数,则弧微分=(3)设在曲线弧L上连续，L的方程为，c≤y≤d，且具有一阶连续导数,则弧微分=二、对坐标的曲线积分 1、定义 2、性质3、计算方法（1）设在有向曲线弧L上连续，L的参数方程为其中函数具有一阶连续导数。当参数t单调地由α变到β时，对应的动点（x，y）从L的起点A运动到终点B。则其中α对应起点A，β对应终点B，α不一定小于β。（2）设在有向曲线弧L上连续，L的方程为且具有连续导数。当x单调地由a变到b时对应的动点（x，y）从L的起点A运动到终点B。则（3）设在有向曲线弧L上连续，L的方程为且具有连续导数。当y单调地由c变到d时对应的动点（x，y）从L的起点A运动到终点B。则三、格林公式 设函数在有界区域D内具有一阶连续偏导数，则有格林公式其中L为区域D的边界的正向。四、曲线积分与路径无关的条件设区域D是单连通域。函数在区域D内有一阶连续偏导数，则曲线积分（其中L在区域D内）与路径无关的充分必要条件是在上述条件下，沿着D内任意封闭曲线上的曲线积分为零的充分必要条件是五、全微分若有，则称为函数的全微分。函数在单连通区域D内具有一阶连续偏导数，则为函数的全微分的充分必要条件为。且函数（不计其与常数之差）可以表示为=或=其中（x。，y。）为区域D内任意一点。例1.20 计算下列对弧长的曲线积分解 例1.21 计算下列对坐标的曲线积分解 （1）如图所示如图所示，1.3.6 积分应用一、定积分应用 （一）几何应用1、平面图形面积(1)直角坐标 （2）极坐标 平面图形由曲线及射线所围成，则其面积2、体积（1）旋转体体积由所围平面图形绕轴旋转一周所生成的立体体积，由所围平面图形绕旋转一周所得旋转体体积（2）平行截面面积为已知的的立体的体积设立体由曲面及平面所围成，过点且垂直于轴的截面面积为A（x），则其体积为3、平面曲线的弧长（1）直角坐标设曲线的方程为y=f（x）（a≤x≤b），f（x）在[a，b]上具有一阶连续导数，则其弧长（2）参数方程情形设曲线的参数方程为在[α，β]上具有连续导数，则其弧长（3）极坐标情形设曲线的极坐标方程为在[α，β]上具有连续导数，则其弧长(二) 物理应用1、变力沿直线所作的功设物体受变力F（x）的作用，沿轴由点a运动到点b，力F的方向同x轴的正向，则力F所作的功为2、液体的侧压力其中P为液体对薄板侧面的压力，ρ为液体的密度，g为重力加速度．薄板铅直插入液体中（如图）。薄板baAB的曲边为，其方程为y=f（x），p=ρgx表示微元所在处板所受的压强，f（x）d（x）表示微元的面积．因此被积式表示微元所受的侧压力dP，定积分就是薄板ABCD所受的液体的侧压力．在解实际问题时，先画出示意图，一般用微元法，先求出dP的表达式，后写出P的定积分表达式。二、二重积分的应用例1.22 求抛物线及其点和处的切线所围成图形的面积。解 在点处，，切线方程 在点处，，切线方程 得交点例1.23 求由曲线所围图形公共部分的面积。解 两曲线的交点+例1.24 过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积解 设切点为 切线方程（3,1）切点在切线上，∴（3,1）0123，∴切线方程：0123无穷级数1.4.1 数项级数一、常数项级数概念及性质1、定义由数列所构成的表达式称为无穷级数。称为一般项或通项；称为前n项部分和，即。2、级数收敛的必要条件 若级数收敛，则。3、常数项级数的性质4、常用级数（1）等比级数（几何）当时收敛，当时发散。（2）p－级数当时收敛，当时发散。当p=1时，又称调和级数。例1.25 判断下列级数的收敛性（1）（2）（3）解 （1）发散，∵ （2）发散，∵ （3）发散，但二、常数项级数的审敛法1、正项级数判别法若级数，其中≥0（n=1，2，…，），则称级数为正项级数。正项级数收敛的充要条件是其部分和数列有上界。（1）比较判别法设两个正项级数和满足，那么有⑴若收敛，则收敛；⑵若发散，则发散。例1.26 判别下列级数敛散性（1） （2） （3）解（1）由于∵发散，∴原级数发散（2）由于，而收敛，∴原级数收敛比较判别法的极限形式如 则有时，，，同时收敛，同时发散判别下列级数敛散性（3）又发散，∴原级数发散例1.27 （1） （2） （3）解 （1）由（2）∵收敛 ∴原级数收敛（3）∵∵发散，∴发散（2）比较判别法（达朗贝尔准则）设正项级数的一般项满足，则当时，级数收敛；或时发散；时级数可能收敛也可能发散。（3）根值判别法（柯西准则）设为正项级数，如（ρ是实数或+∞），则当时，级数收敛，时发散，时级数可能收敛也可能发散。(4)正项级数判别其敛散性的步骤：需进一步判别发散首先考察需进一步判别发散①如中含或的乘积通常选用比值法；②如是以为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法；③如含形如（α可以不是整数）因子，通常用比较法；④利用级数性质判别其敛散性；⑤据定义判别级数敛散性，考察是否存在，实际上考察是否有上界。∴原级数收敛2、任意项级数收敛性的判别法（1）对任意项级数，有绝对收敛准则：如收敛，则绝对收敛；如发散，收敛，则称条件收敛。（2）交错级数的敛散性的判别法：如果，则称为交错级数。莱伯尼兹判别法：如交错级数满足：(=1\*romani)（n=1，2，…），(=2\*romanii)，则称级数收敛，且有余项（n=1，2，…）。（3）设为任意项级数，若（或），则当l<1时，级数绝对收敛；l>1或时级数发散；l=1时级数可能收敛也可能发散。例1.28 判断下列级数的敛散性。（1） （2）解 =1\*GB3（1）① =2\*GB3②∴收敛=1\*GB3（2）①∵=2\*GB3②∴即∴收敛幂级数定义级数称为幂级数，当=0时，可写为更简单的形式。2、收敛性（阿贝尔定理） 如果幂级数当x=（≠0）收敛，则适合不等式的一切x使幂级数绝对收敛；如果幂级数当x=时发散，则适合不等式的一切x使幂级数发散。 3、幂级数的收敛半径及其求法若幂级数在某些点收敛，在某些点发散，则必存在唯一的正数R，使当时，级数绝对收敛，当时，级数发散。这个R称为幂级数的收敛半径；若幂级数只在x＝0处收敛，则规定收敛半径R＝0；若幂级数对一切x都收敛，则规定收敛半径R=+∞。对幂级数，若（或）则其收敛半径4、幂级数的性质若幂级数的收敛半径为R，则称开区间（－R，R）为幂级数的收敛区间；根据幂级数在x=±R处的收敛情况，可以决定幂级数的收敛域（即收敛点的全体）是四个区间：（－R，R）、[－R，R）、（－R，R]、[R，R]之一。幂级数具有以下性质：（1）幂级数的和函数在其收敛域上连续；（2）幂级数的和函数在其收敛区间内可导，且有逐项求导、逐项积分公式逐项求导、逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。例1.29 求下列幂级数的收敛域（1）（2）（3）（4）解 （1） 故当 原级数为 为交错级数，满足 ∴收敛当 原级数为 发∴收敛域为（2）由于 ∴故收敛域为（3）∴当 原级数为 发 原级数为为交错级数满足（1）（2）设，当，，∴单调减，∴故收敛∴收敛域为[-1，1）（4）令∴当原级数为 ∴发散同理 级数也发散 ∴收敛域1.4.3 泰勒级数1、泰勒级数的概念若f（x）在点x0处具有各阶导数，则幂级数称为函数f（x）在点x0处的泰勒级数，特别当x0=0时，级数称为函数f（x）的麦克劳林级数。2、函数展开成泰勒级数的条件设函数f（x）在点x0的某邻域U（x0）内具有各阶导数，则f（x）在该邻域内能展开成泰勒级数（即f（x）的泰勒级数收敛于f（x）本身）的充分必要条件是f（x）的泰勒公式中的余项（其中）。3、常用函数的幂级数展开式1.4.4 傅立叶级数一、傅立叶级数概念1、傅立叶系数和傅立叶级数设f（x）在区间[-，]上有定义，则三角级数称为f（x）在区间[-，]上以2为周期的傅立叶级数，其中叫做函数f（x）的傅立叶系数。2、收敛定理（狄利克雷条件）设f（x）在区间[-，]上以2为周期的傅立叶级数，如果它满足条件：（1）在一个周期内连续，或只有有限个第一类间断点；（2）在一个周期内至多只有有限个极值点，则f（x）的傅立叶级数收敛在区间[-，]上收敛，并且它的和函数为定理中的两个条件称为狄利克雷条件。二、正弦级数和余弦级数1、正弦级数设f（x）在区间[-，]上是奇函数时，级数为正弦函数级数，其中2、余弦函数设f（x）在区间[-，]上是偶函数时，级数为余弦级数，其中 三、周期为2l的周期函数的傅立叶级数设f（x）在[-l，l]（或-l，l）上有定义，则三角级数 为f（x）在[-l，l]（或-l，l）上以2l为周期的傅立叶级数，其中 级数的主要性质：若和收敛，则收敛，且若收敛，为常数，则收敛，且级数收敛的必要条件：若收敛，则。常微分方程1.5.1 基本概念1、含有自变量、未知函数及其导数（或微分）的方程称为微分方程。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称它为常微分方程，简称微分方程。2、微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶数。3、满足微分方程的函数称为微分方程的解，微分方程的解有时是显式形式：y=f（x）或x=φ（y）；有时为隐式形式：f（x，y）=0。4、含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同的解称为微分方程的通解，不包含任意常数的解称为方程的特解。5、对n阶微分方程，条件称为初始条件，根据初始条件，可以在通解中确定出所有任意常数的值而得到一个特解。1.5.2 可分离变量方程1、可分离变量方程 形如的一阶微分方程称为可分离变量方程。解法：先将分离变量写成g（y）dy=f（x）dx，然后两端分别积分,如此求通解的方法称为分离变量法。设g（y）、f（x）的原函数为G（y）、F（x），则方程的通解为G（y）=F（x）+C2．齐次方程形如的方程称为齐次方程。解法：作变换，即y=xu，两边对x求导，，代入齐次方程，得可分离变量方程 。一阶线性方程称为一阶线性方程。当Q（x）=0时，称为线性齐次方程，否则称为线性非齐次方程。解法：首先用分离变量法求出相应的线性齐次方程的通解，再用常数变更法求出非齐次方程的一个特解，即令。（C（x）是待定函数）代入原方程后确定出故。原非齐次方程的通解为可降阶方程这里讨论的几种特殊类型的高阶微分方程，利用变量代换将方程降阶，因此称这些高阶方程为可降阶方程。1、这类方程只需连续积分n次即可。积分一次得，把原方程降低一阶。积分n次得通解为。2、此方程的特点为不显含y。解法：令，则，原方程化简为，关于x，p的一阶微分方程。3、此方程的特点为不显含x。解法：令，则，原方程化简为，关于y，p的一阶微分方程。1.5.5 常系数线性方程称为二阶线性方程。Q（x）称为自由项，p1、、、p2为常数，当Q（x）=0时，称为二阶常系数线性齐次方程，否则称为二阶常系数线性非齐次方程。1、二阶常系数线性齐次方程方程称为二阶常系数线性齐次方程的特征方程，其解称为特征根。根据特征根的不同，可直接写出二阶常系数线性齐次方程的通解：二阶常系数线性非齐次方程设二阶常系数线性非齐次方程。解法：求出对应的二阶常系数线性齐次方程的通解；求出的一个特解；求出的通解y（x）=+；当自由项Q（x）为，，时，可用待定系数法求非齐次方程的特解。（1）如果Q（x）=，其中是m次多项式，则当λ不是特征根时，设特解=；当λ是单重特征根时，设特解=；当λ是二重特征根时，设特解=，当是待定的m次多项式，将所设特解带入非齐次方程定出，即可得出特解。（2）如果Q（x）=，或Q（x）=1）设特解=，其中当不是特征根时，k=0；当是特征根时，k=1；将代入非齐次方程定出常数A、B既可得出特解。2）考虑方程，这里λ=，特解=+i，则其实部是方程的特解，其虚部是方程的特解。例题1.30 求解下列微分方程：⑴求微分方程的通解；⑵求微分方程满足的特解．解 ⑴题给方程为可分离变量微分方程上式两端积分得即其中为任意常数．⑵题给方程为齐次一阶线性微分方程，可分离变量上式两端积分得即其中为任意常数，将代入上式，得，满足初始条件的特解为例1.31 求解下列微分方程：⑴求微分方程的通解；⑵求微分方程的通解．解 ⑴题给方程的特征方程为 解出，齐次微分方程的通解为 其中为任意常数。因为是二重根，故设题给方程的一个特解为，得代入题给方程得即得．由此得题给方程的通解为⑵题给方程的特征方程为解出，齐次微分方程的通解为 其中为任意常数。设题给方程的一个特解为，得代入题给方程得得，解出。即特解为．由此得题给方程的通解为1.6概率与数理统计1.6.1 随机事件与概率一、随机事件1、定义（1）随机试验（试验）：是指一定综合条件的实现，条件实现一次完成一次试验，试验就是观察。（2）样本空间（用字母S表示）：试验可能出现的每一个结果组成的集合称为该试验的样本空间，试验可能出现的每一个结果（即样本空间的元素）称为样本点，或基本事件。（3）随机事件（常用字母A，B，...表示）：样本空间的任一子集AS称为随机事件，Φ称为不可能事件，Ω称为必然事件。2、随机事件之间的关系（1）包含若事件A发生必然导致事件B发生，则事件B包含事件A，记作AB或BA。（2）相等 若事件A和事件B相互包含，即AB，BA，则称这两个事件相等，记作A=B。（3）并（和）称“两个事件A与B中至少有一个发生”这一事件C为事件A与事件B的并（或和），记作C=AUB（或C=A＋B）；（4）交（积）称“两个事件A与B同时发生”这一事件D为事件A和事件B的交（或积），记作D=AB（或D=AB）。（5）差 称“事件A发生而事件B不发生”这一事件E为事件A和事件B的差，记作E=A-B。（6）逆 事件A的逆事件=Ω-A。（7）互不相容若两个事件A与B满足AB=Φ，则称事件A与B互不相容（或互斥）；否则称事件A与事件B为相容事件。（8）互余若事件A与B满足AUB=Ω，且AB=Φ，则称A与B它们为互余事件（或对立事件），记为B=或A=。相互对立的事件一定是互不相容事件。3、随机事件的运算概率1、定义设S是随机试验E的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数P（A），如果P（A）满足下列条件：（1）对于任一事件A，有1≥P（A）≥＞0；（2）对于S，有P（S）=1；（3）对于两两互不相容事件，有可列可加性，即。则称P（A）为事件A的概率．也可以用数值P～／n来定义概率，通常称为统计概事．还可以把事件A与样本空间分别表述为几何量SA与S，用P=SA／S来定义概率，称为几何概率，它们都是概率．2、概率的基本性质3、条件概率及概率的乘法定理（1）条件概率 在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定条件B下的条件概率，记为P（A|B）．而把P（A）称为无条件概率．条件概率符合概率定义中的三个条件．即1）对于每一事件A，有l≥P（A|B）≥0；2）P（S|B）=1；3）对两两互不相容事件…，有概率的一些运算性质都适用于条件概率．（2）乘法定理或可以推广到多个事件，有4、全概率公式和贝叶斯公式定义：设是随机试验E的一组事件，若；Ω。则称为样本空间的一个划分或一个完备事件组。（1）全概率公式 如果是随机试验E的样本空间Ω的一个划分，A是E的一个事件，且（i=1，2，…，n），则（2）贝叶斯公式如果是随机试验E的样本空间Ω的一个划分，A是E的一个事件，且P（A），（i=1，2，…，n），则5、事件的独立性（1）设A、B是随机试验E的两个事件，如果P（AB）=P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立。（2）设是随机试验E的n个事件，如果满足等式则称相互独立。例1.32在不超过500的自然数里随机地取一数，问取出的数不能被6或不能被8整除的概率是多少？解 设A表示“取出的数能被6整除”，B表示“取出的数能被8整除”，则A∩B={取出的数同时能被6与8整除}，∪={取出的数不能被6或不能被8整除}，由于一个自然数同时能被6与8整除就相当于能被24整除，而20＜＜21，故例1.33 某种类型的灯泡，用满5000小时仍未坏损的概率为，用满10000小时仍未坏损的概率为·试求一个已经用过5000小时的这种灯泡能够用到10000小时的概率·解 设A={灯泡用满5000小时仍未坏损}，B={灯泡用满10000小时}，则所求的概率为P（B|A）．显然，BA，所以AB=B。因此例1.34 甲、乙、丙3人各自独立地炮击同一架飞机，3人击中飞机的概率分别是0.4，0.5，0.7．如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有2人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击中，则飞机必定被击落．（1）求飞机被击落的概率．（2）已知飞机被击落，求飞机是被一人击中的概率（3）已知飞机被击落，求飞机是只被甲击中的概率．例1.35 设P（A）＝a，P（B）=0.3，P（UB）＝0.7．试问：（l）若事件A与B互不相容，则a应取何值?（2）若事件A与B相互独立，则a应取何值？解 由概率的加法定理和概率的包含可减性知[注] 事件的“互不相容”和“相互独立”是两个容易混淆的概念．“事件A与B互不相容”是指：A与B不能同时发生，即AB=。而“事件A与B相互独立”是指：一事件发生与否，并不影响另一事件发生的概率，即P（A|B）=P（A）（或P(B|A）=P（B）)．因此，这两个概念在内涵上是有严格区别的.1.6.2 古典概型（等可能概型）等可能概型也称为古典概型，它在概率论发展初期曾是主要的研究对象．1、定义若随机试验E具有以下特点：（1）试验的样本空间Ω只有有限个（n个）元素；（2）试验中每个基本事件发生的可能性相同．则称试验是等可能概型，也称为古典概型．2、古典概型的特点就是具备有限性和等可能性。3、若Ω为试验E的样本空间，A为E的事件且包含m个基本事件，则事件A的概率P(A)为P(A)=m/n=A包含的基本事件的个数/基本事件的总数例1.36 考虑一元二次方程，其中B，C分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数．求该方程有实根的概率p和有重根的概率q．解 这是古典概型问题．将一枚骰子掷两次，用（i，j）表示“掷第一次骰子出现i点，掷第二次骰子出现j点”，i，j=1，2，…，6．显然，样本空间所包含的基本事件总数为36．方程有实根的充分必要条件是，或。易知由此可见，“使方程有实根”这一事件所包含的基本事件的个数为1＋2＋4＋6＋6=19，因此方程有重根的充分必要条件是，或，满足此条件的基本事件共有2个．故1.6.3 一维随机变量的分布和数字特征一、随机变量随机变量及其分布函数随机变量（1）对于随机试验的每一个可能的结果ω，实变量X都有唯一确定的值X（ω）与之对应，称X为随机变量。随机变量常用大写字母X，Y，Z等表示，也常用希腊字母ξ，η等表示。例1.37 一汽车沿某街道行驶，要通过3个设有红绿灯的路口，各个信号灯显示红或绿彼此独立，且红绿两种信号显示时间相等．以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，试求随机变量X的分布律和分布函数。例1.38 设连续型随机变量X的分布函数为例1.39 抽样调查结果表明：考生的外语成绩（采用百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3％。试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率．例1.40 设随机变量X的概率分布密度为，-∞〈x〈+∞。例1.41 设随机变量X的概率密度为1.6.4 数理统计的基本概念1、基本概念2、几种常用的抽样分布3、正态抽样分布例1.42 设总体X服从正态分布，其中μ是已知的，而是未知的。是从总体中抽取的一个简单随机样本。1.6.4 参数估计1、参数的点估计2、参数的区间估计例1.43 设总体X的概率密度为例1.44 下面是14名青少年足球运动员在比赛前的脉搏，求μ的置信水平1-a=0.95的置信区间：1.6.6 假设检验1、假设检验的基本概念对总体的分布形式或分布中某些未知参数作出某种假设，然后抽取样本构造合适的统计量，对假设的正确性进行判断的问题，称为假设检验问题。2、假设检验的步骤1）根据问题的要求做出原假设H0备择假设H1；2）建立检验H0的合适的统计量，并将样本值代入统计量计算出其值；3）对给定的显著性水平α，查相应的概率分布表确定出对应于α的临界值λ；4）做出H0的拒绝域，根据统计量的样本值是否落入拒绝域做出H0是否成立的判断。3、假设检验的两类错误（1）第一类错误 H0本来是正确的，但作出错误的拒绝H0的判断，这种“弃真”的错误发生的概率为显著性水平α。（2）第二类错误 H0本来是不正确的，但错误的接受了他，这种“存伪”的错误发生的概率记为β。4、正态总体参数的假设检验（见表1.6-1）正态总体均值、方差的检验法（显著性水平为α）6、单个正态总体均值μ的检验7、单个正态总体方差的检验例1.45 某种零件的尺寸方差，对一批这类零件检查6件，得尺寸数据（单位：mm）为32.5629.6631.6430.0031.8731.03当显著性水平时，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50mm（假设零件尺寸服从正态分布）？解H0：μ=32.50．因为已知，故用U-检验法．由查正态分布表得临界值λ0=1.96，由样本值算得因为＞1.96，故拒绝假设H0，即在时，不能认为这批零件的平均尺寸是32.50mm。1.6.7 方差分析1、基本概念方差分析就是对试验结果进行分析，鉴别不同因素对试验结果影响大小的一种有效的方法。方差分析的基本假设为：正态性，即假定数据均来自正态分布；等方差性，即假定各总体总体方差相等。数学模型考虑因素A，在不同的a种试验条件下各作了m次试验，共n＝mα次试验。假定在第i种水平下获取数据，设~N(,)，i=1,2,…,a,j=1,2,…,m。习惯上，把样本表示成其中是n个独立、同分布的随机变量，且都服从N(0,)。这里，与是a+1个未知参数。方差分析方法（1）平方和分解公式

（2）方差分析表4、检验H0：在检验标准α下，当数据满足FA＞λ时拒绝H0，其中λ满足P（F＞λ）=α，F服从自由度为a－1、n－a的F分布。当检验结果为“H0相容”时，可以认为不同的试验条件对所考察的指标值没有显著性影响；当检验结果为“拒绝H0”时，可以认为不同的试验条件对所考察的指标值有显著性影响，进而通过比较值的大小来获取较优的试验条件。1.6.8 一元回归分析回归分析用来处理自变量与因变量之间的相关关系。一、数学模型（线性模型）考虑自变量x与因变量Y之间的线性相关关系，设（x1，y1）、…、（）为n组数据。假定，i＝1，…，n，其中是n个独立同分布的随机变量，且都服从N(0,)这里a、b与是三个未知参数。二、最小二乘法三、回归分析方法分布。例1.46 对于某种作物进行5种不同肥料的耕作试验，每种肥料座4次试验，试验的结果（收获量）如表所示，问不同的肥料对收获量又无显著的影响？（α=0.05）解 分别以来表示5种不同肥料的收获量总体的均值，检验假设例1.47 为了研究某企业的生产率与废品率的关系，调查记录了以下数据根据数据拟合出合适的曲线模型．解 画出散点图（略），观察散点图显示的趋势，既呈线性趋势，又呈某种指数增长趋势．放对给定数据，分别用直线和指数曲线拟合．有关计算如下用两个模型残差平方和的大小比较，残差小的优于残差大的，可以确定用哪个模型好些．直线回归模型的残差平方和Q=5.3371，指数模型的残差平方和Q=6.11，故可确定直线回归模型比指数曲线回归模型好些。1.7 向量分析一、向量函数1、定义设有实变量t及实空间中的变向量A，如果对于t在某个范围D内的每一个数值，A总有一个确定的向量与它对应，那么称变向量A为变数t的向量函数，记作设在变向量A所在的空间中取定OxOy直角坐标系,A在OxOy坐标系中的坐标为，则三坐标显然都是t的数量函数从而向量函数A（t）的坐标表示式为（1.7-1）2、向量函数的终端曲线设向量A的起点取在坐标原点，终点为M，即。当t变化时，终点M迹l称为向量函数A（t）的终端曲线，也称为向量函数A（t）的图形。显然终端曲线l有参数方程表示式（1.7-1）称为曲线l的向量方程。例如圆柱螺线有参数方程,其向量方程为 二、向量函数的极限与连续性1、向量函数的极限设向量函数A（t）在点t。的某个去心邻域内有定义，A。为一常向量。如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使当t满足0＜<δ时，有＜ε成立，那么向量A0称为向量函数A（t）当t→to时的极限，记作。向量函数的极限的定义与数量函数极限的定义类同，因此它们的性质也相仿。例如并由此可推知即 2、向量函数的连续性设向量函数A（t）在点to的某个邻域内有定义，且有，则称向量函数在t＝to处连续。三、向量函数的导向量与微分1、定义及求导法则设向量函数A（t）在某点t的邻域内有定义，如果极限存在，则称此极限为向量函数A（t）在点t处的导向量，记作称为向量函数A（t）的微分。数量函数的求导法则对于向量函数均适用，例如：2、导向量的几何意义社曲线l是A（t）的终端曲线，。当与t的增长方向一致，当与t的增长方向相反，而的增长方向仍一致。因此导向量是曲线l在点M处沿t增长方向的一个切向量。四、向量函数的积分向量函数的不定积分与定积分的定义类似于数量函数的不定积分与定积分。一个向量函数的积分也可归结为三个数量函数的积分，即例1.48 设质点M作匀速圆周运动的运动规律为，试求点M的速度向量和加速度向量，并讨论各向量之间的关系。解 运动规律的向量方程为例1.49 曲线的向量方程为，则此曲线在处的切线向量是解 故答案为（A）。1.8 线性代数1.8.1 行列式一、n阶行列式定义：n阶行列式即它是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，它由n！项组成，其中是由1，2，…，n这n个数构成的一个n级排列，τ（）是排列的逆序数，表示对所有n级排列求和．特别地，对二阶行列式与三阶行列式，可以采用对角线法则来记它所代表的数：但计算3阶以上的行列式时，不能采用对角线法则．2、转置行列式]行列式的行列互换所得的行列式称为原行列式的转置行列式，即这里（或A’）是A的转置矩阵．3、余子式与代数余子式将n阶行列式中元素所在的第i行第j列的元素划掉，剩余的元素按原位置次序所构成的n－l阶行列式，称为元素的余子式，记为，即而称为元素的代数余子式．注 的余子式和代数余子式与的大小无关，只与该元素的位置有关．二、行列式的性质三、与行列式有关的结论例1.50 计算行列式例1.51 计算例1.52 用Gramer法则求解：1.8.2矩阵1、矩阵的概念m×n个数排成的m行n列的表格称为是一个m×n矩阵．数称为矩阵A的第i行第j列元素。当m=n时，称A为n阶方阵，称-A=为A的负矩阵。当m=1时，称A为行矩阵。当n=1时，称A为列矩阵。2、矩阵的相等（l）同型矩阵：两个矩阵如果m=s,n=t，则称A与B是同型矩阵．（2）相等：两个同型矩阵的对应元素都相等，即(i=1，2，…，m；j=1,2,…，n)，则称A与B相等，记为A=B．3、矩阵的线性运算（1）加法：设，则A与B的和A+B=。（2）数乘：设A=，k是一个常数，数k与A的数乘kA=。4、矩阵乘法设A=，B=，A与B的乘积AB=，其中5、转置矩阵设A=，A的转置矩阵。6、方阵的行列式由n阶方阵A=的元素构成的行列式称为方阵A的行列式，记为或detA．7、几类特殊矩阵（l）零矩阵；元素都是0的矩阵称为零矩阵，记为O。（2）行（列）矩阵：A=（…）称为行矩阵，常称为行向量；称为列矩阵，常称为列向量。（3）单位矩阵：（4）对角矩阵：；数量矩阵：。（5）上（下）三角矩阵：设A=，如果A满足，即则称A为上三角矩阵。如果A满足，则称A为下三角矩阵。（6）对称矩阵：设A=，如果A满足，即（i=1，2，…，n），则称A为对称矩阵。（7）反对称矩阵：设A=，如果A满足，即-（i=1，2，…，n），则称A为反对称矩阵。（注：对于反对称矩阵A必有）（8）非奇异矩阵：设A为n阶方阵，如果≠0，则称A为非奇异矩阵；如果=0，则称A为奇异矩阵。8、可逆矩阵与逆矩阵设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵．A的逆矩阵唯一，记为。9、伴随矩阵设A=，由的代数余子式构成的矩阵称为A的伴随矩阵，记为。2阶方阵的伴随矩阵具有“主对角线互换，副对角线变号”的规律。10、矩阵的秩（1）矩阵的子式：从m×n矩阵A中任取k行k列（k≤min｛m，n｝），由位于这些行列交叉处的个元素按原顺序构成的k阶行列式称为A的k阶子式．（2）矩阵的秩：矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩，记为r（A），或R（A），或rankA．零矩阵的秩规定为0。（3）满秩矩阵：设A是m×n矩阵，若r（A）=m，称A为行满秩矩阵；若r（A）=n，称A为列满秩矩阵；若A是n阶方阵，且r（A）=n，称A为满秩矩阵（或非退化矩阵）；若r（A）<n，称A为降秩矩阵（或退化矩阵）．11、矩阵的初等变换（1）初等变换：对矩阵进行的以下三种变换；①交换两行（列）；②以数k（