河南省郑州市外国语中学2021-2022学年八下期中数学试题（解析版）

河南省郑州市外国语中学2021-2022学年八年级下学期期中数学试题一、选择题（每题3分，共30分）1.北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意；B．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念．解题的关键是掌握中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.下列说法错误的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质进行判断．【详解】解：A．若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；B．若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；C．若，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；D．a＞b，当c＜0时，ac＜bc，原变形错误，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了不等式的性质．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．3.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（）A.等边对等角B.垂线段最短C.等腰三角形“三线合一”D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC，故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．4.用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（）A.有一个锐角小于 B.每一个锐角都小于C.每个锐角都大于 D.有一个锐角大于【答案】C【解析】【分析】用反证法证明命题的真假，应先按符合题设的条件，假设结论的反面成立，再判断得出的结论是否成立即可．【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．故选：C．【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．5.如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（）A.点A B.点B C.点C D.点D【答案】C【解析】【分析】分别将两个三角形三个顶点与B，C，D，三角相连，判断连线是否长度相等，围成角度是否相等，如果都相等则是旋转中心．【详解】解，连接FC，PC，由图可知，，且，连接EC，RC，由图可知，，且，连接GC，QC，由图可知，，且，故点C为旋转中心，故选：C．【点睛】本题考查图形旋转，能够判断旋转中心是解决本题的关键．6.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为（）A.14 B.18 C.20 D.26【答案】A【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，∵△ABC的周长为22，∴AB+BC+AC＝22，∴AB+AC＝14，∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，故选A．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7.如图，已知点A（2，3），B（5，1），若将线段AB平移至A1B1，A1在y轴正半轴上，B1在x轴上，则A1的纵坐标、B1的横坐标分别为（）A.2，3 B.1，4 C.2，2 D.1，3【答案】A【解析】【分析】根据平面直角坐标系中，点上下平移横坐标不变、纵坐标上加下减，点左右平移纵坐标不变、横坐标左减右加，即可确定答案．【详解】解：∵点A（2，3），B（5，1），在y轴正半轴上，在x轴上，∴线段AB向左平移2个单位长度，向下平移1个单位长度，∴的纵坐标为，的横坐标为．故选：A．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，解题关键是理解平面坐标系中点平移的特点．8.已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a＝4，b＝7；c＝8；②a2：b2：c2＝1：3：2；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④∠A＝2∠B＝2∠C．其中能判断△ABC是直角三角形的有（）个．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】分别根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】①∵a2+b2＝＝（）2，c2＝（8）2＝（）2∴a2+b2＝c2，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；②∵a2：b2：c2＝1：3：2，∴设a2＝x，则b2＝3x，c2＝2x，∵x+2x＝3x，∴a2+c2＝b2，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确；③∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴设∠A＝3x，则∠B＝4x，∠C＝5x．∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴此三角形不是直角三角形，故本小题错误；④∵∠A＝2∠B＝2∠C，∴设∠B＝∠C＝x，则∠A＝2x，∴x+x+2x＝180°，解得：x＝45°，∴∠A＝2x＝90°，∴此三角形是直角三角形，故本小题正确．故选C．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．9.对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据“操作恰好进行两次就停止了”可得第一次运行的结果小于等于190，第二次运行的结果大于190，由此建立不等式组，再解不等式组即可得．【详解】由题意得：，解不等式①得：，解不等式②得：，则不等式组的解集为，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据程序运行的次数，正确建立不等式组是解题关键．10.若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的方程的解为负整数，则符合条件的整数a的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】【分析】解不等式组得到，利用不等式组有且仅有3个整数解得到，再解分式方程得到，根据解为负整数，得到a的取值，再取共同部分即可．【详解】解：解不等式组得：，∵不等式组有且仅有3个整数解，∴，解得：，解方程得：，∵方程的解为负整数，∴，∴，∴a的值为：-13、-11、-9、-7、-5、-3，…，∴符合条件的整数a为：-13，-11，-9，共3个，故选C．【点睛】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．也考查了解一元一次不等式组的整数解．二、填空题（每题3分，共15分）11.等腰三角形的两边长为2和3，则等腰三角形的周长为________．【答案】7或8【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为2时，②当腰长为3时，解答出即可．【详解】解：根据题意，①当腰长为2时，周长=2+2+3=7；②当腰长为3时，周长=3+3+2=8，故答案为：7或8．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意本题要分两种情况解答．12.若关于x的不等式的解集是x<1，则m的取值范围是_____________．【答案】【解析】【分析】不等式性质之一：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；根据此性质可得答案.【详解】解：关于x的不等式的解集是x<1，故答案为：【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，一元一次不等式的解法，掌握不等式的基本性质是解题的关键.13.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，且AB=1，BC=2，则AD的值为________．【答案】【解析】【分析】连接BD，根据旋转的性质可得BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，CA＝CE，∠ACE＝90°，从而求出BD，∠CAE＝∠E＝45°，进而可得∠BAD＝90°，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理进行计算即可解答．【详解】解：连接BD，由旋转得：BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，∴BD＝，由旋转得：CA＝CE，∠ACE＝90°，∴∠CAE＝∠E＝45°，由旋转得：∠CAB＝∠E＝45°，∴∠BAD＝∠CAB+∠CAE＝90°，在Rt△ABD中，AB＝1，∴AD＝，故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．14.在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，PR＝PS，AQ＝PQ，则下面三个结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是_____．【答案】①②【解析】【分析】根据角平分线的性质，和全等三角形的判定，可证Rt△ASP≌Rt△ARP，得AS=AR；∠PAR=∠PAQ，可证PQ∥AR．【详解】解：连接AP，

在Rt△ASP和Rt△ARP中，

PR=PS，PA=PA，

所以Rt△ASP≌Rt△ARP，

所以①AS=AR正确；

因为AQ=PQ，

所以∠QAP=∠QPA，

又因为Rt△ASP≌Rt△ARP，

所以∠PAR=∠PAQ，

于是∠RAP=∠QPA，

所以②PQ∥AR正确；

③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．

故答案为①②．【点睛】此题考查了到角平分线的性质（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）及全等三角形的判定和平行线的判定定理；正确作出辅助线是解答本题的关键．15.如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______【答案】110°、125°、140°【解析】【分析】先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.【详解】解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°；所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，故答案为：110°、125°、140°.【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.三、解答题（共55分）16.解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【答案】-2≤x＜3，表示见解析【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【详解】解：由题意得，解不等式①，得x<3，解不等式②，得x≥-2，故不等式组的解集为-2≤x＜3，在数轴上表示为：．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．17.如图，在边长为1个单位的正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'．根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：（1）画出△；（2）画出△ABC的高BD；（3）连接、，那么与的关系是，线段AC扫过的图形的面积为．（4）在AB的右侧确定格点Q，使△ABQ的面积和△ABC的面积相等，这样的Q点有个．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）相等；10（4）8【解析】【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可．（2）根据三角形高的定义画出图形即可．（3）利用分割法求解即可．（4）构造菱形，利用等高模型解决问题即可．【小问1详解】解：如图，根据题意可得，先将图形向下平移1个单位长度，然后向右平移6个单位长度，△即为所求作．【小问2详解】解：如图，线段即为所求作．【小问3详解】解：由图可得，线段扫过的图形的面积为．故答案为：相等；10．【小问4详解】解：满足条件的点有8个，如下图：故答案为：8．【点睛】本题考查作图平移变换，三角形的面积，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18.已知关于x的不等式x≤8－x＋2a的解集表示在数轴上，如图所示，（1）求a的值；（2）是否存在整数k，使得方程组的解满足x>1，y≤1，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）或或【解析】【分析】（1）先解不等式求得解集为：再利用已知的解集列方程，解方程可得答案；（2）把代入方程组，再解方程组可得：再整体代入x>1，y≤1，构建不等式组，再解不等式组，从而可得答案.【详解】解：（1）x≤8－x＋2a，由题意得：不等式的解集为：（2）把代入方程组可得：①+②得：x>1，y≤1，由＞得：＞由得：＜又因为为整数，或或【点睛】本题考查的是已知不等式的解集求参数，二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，掌握把方程组的解整体代入构建不等式组是解题的关键.19.问题探究：嘉嘉同学根据学习函数的经验，对函数y=-2|x|+5的图象和性质进行了探究．下面是嘉嘉的探究过程，请你解决相关问题：（1）如图，嘉嘉同学在平面直角坐标系中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，请你根据描出的点，画出该函数的图象：若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m=；（2）观察函数y=-2|x|+5的图象，写出该图象的两条性质；（3）直接写出，当0＜-2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围．【答案】（1）图见解析，（2）该图象两条性质：1、函数的图象关于轴对称；2、当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（3）或【解析】【分析】（1）将各点连接起来，画出该函数的图象；将点代入函数的解析式求出的值，再将点代入函数的解析式即可得；（2）分析函数的对称性和增减性即可得；（3）先求出和时，的值，再结合函数图象即可得．【小问1详解】解：将各点连接起来，画出该函数的图象如下：为该函数图象上不同的两点，，将点代入得：，将点代入得：，解得或（舍去），故答案为：．【小问2详解】解：该图象的两条性质：1、函数的图象关于轴对称；2、当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．【小问3详解】解：对于函数，当时，，解得或，当时，，解得或，结合图象可知，当时，或．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与不等式组，熟练掌握函数的图象与性质是解题关键．20.如图，已知△ABC，∠BAC＝45°，在△ABC的高BD上取点E，使AE＝BC．（1）求证：CD＝DE；（2）试判断AE与BC的位置关系？请说明理由；（3）若AD＝2，AE平分∠BAC，连接CE，请直接写出△CDE的周长．【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）首先利用等腰三角形的性质证明出，再证明，即可证得；（2）由（1）中全等的结论，通过等量代换即可证得；（3）过点E作，垂足为G，设，则，用角平分线的性质和勾股定理用x表示出BD，再利用等腰三角形的性质得出即可求出x，即可求出周长．【详解】（1）证明：∵，，∴，∴，在和中，∵∴，∴CD＝DE；（2），理由如下：如图，延长AE，交BC于点F，由（1）得，∵，∴，∴，即；（3）过点E作，垂足为G，如图，设，则，∵AE平分∠BAC，∴，由上述证明得∴，∴,∴，∴，又∵，∴，解得，∴的周长．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，解题关键是掌握相关定理．21.为降低空气污染，某公交公司决定全部更换节能环保的燃气公交车．计划购买A型和B型两种公交车共10辆，其中每台的价格，年均载客量如表所示：A型B型价格（万元/台）ab年载客量（万人/车）60100若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求a、b的值；（2）如果该公司要确保这10辆公交车的年均载客总和不少于680万人次．请你设计一个方案，使得总费用最少．【答案】（1）a的值为100，b的值为150（2）购进A型公交车8辆，B型公交车2辆时，总费用最少【解析】【分析】（1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，解方程组即可得解；（2）设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车（10-m）辆，该公司购进这10辆公交车的所需总费用为w万元，根据题意列出不等式求出m的取值范围，即可求出省钱的最佳方案．【小问1详解】依题意得：，解得：，答：a的值为100，b的值为150．【小问2详解】设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车（10-m）辆，依题意得：60m+100（10-m）≥680，解得：m≤8．设该公司购进这10辆公交车的所需总费用为w万元，则w=100m+150（10-m）=-50m+1500，∵-50＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m=8时，w取得最小值，此时10-m=10-8=2，即购进A型公交车8辆，B型公交车2辆时，总费用最少．【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解不等式以及利用不等式求解最佳方案等知识．准确理解题意列出所需的方程组和不等式是解答本题的关键．22.如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A，B的坐标分别为（0，0），（6，0），点D是x轴上的一个动点，连接CD，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）点C的坐标为____，△CDE为____三角形；（2）当点D在线段AB上运动时，四边形CDBE的周长是否存在最小值？若存在，求出四边形CDBE的周长最小值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDE是直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【答案】（1）（3，3）；等边；（2）存在，6+6，（3，0）；（3）（-6，0）或（12，0）．【解析】【分析】（1）作CH⊥AB于H，根据直角三角形的性质求出A