河南省郑州市第四初级中学2021-2022学年八下期中数学试题（解析版）

2021-2022学年下期期中学情调研八年级数学试卷（分值：100分时间：90分钟）一、选择题（每题3分，共30分）1.下列关于防范“新冠肺炎”的标志中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.戴口罩讲卫生 B.勤洗手勤通风C.有症状早就医 D.少出门少聚集【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2.已知x＞y，下列变形正确的是（）A.x﹣3＜y﹣3 B.2x+1＜2y+1 C.﹣x＜﹣y D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．【详解】解：A、两边都减3，不等号的方向不变，故A错误；

B、两边都乘以2，再同时加上1，不等号的方向不变，故B错误；

C、两边都乘以-1，不等号的方向改变，故C正确；

D、两边都除以2，不等号的方向不变，故D错误；

故选：C．【点睛】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．3.下列各式从左到右是分解因式的是（）A.10x3y4＝2xy•5x2y3 B.x2+3x﹣5＝（x﹣1）（x+4）﹣1C.（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 D.4a2﹣4ab+b2＝（b﹣2a）2【答案】D【解析】【分析】根据因式分解的定义——把一个多项式转化成几个整式积的形式的变形过程，求解即可．【详解】解：A、10x3y4不是多项式，故A不符合题意；B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；C、是整式的乘法，故C不符合题意；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的定义，利用因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．4.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】将不等式组进行求解，得到不等式组的解集即可知道正确选项．【详解】解：解不等式得：解不等式得：所以不等式组的解集是：故选：C【点睛】本题考查不等式组的求解和解集在数轴上的表示方法，准确计算是解题关键．5.用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，首先应该假设这个三角形中（）A.每一个内角都大于等于45° B.每一个内角都小于45°C.有一个内角大于等于45° D.有一个内角小于45°【答案】A【解析】【分析】反证法的步骤是假设结论不成立即可．【详解】用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，应先假设钝角三角形中每一个内角都不小于45°，即每一个内角都大于等于45°，故选：A．【点睛】此题考查了反证法，解题的关键是懂得反证法的意义及步骤．6.下列命题是真命题的是（）A.有一个角为60°的三角形是等边三角形B.底边相等的两个等腰三角形全等C.有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形全等D.两直线平行，内错角相等的逆命题是真命题【答案】D【解析】【分析】利用等边三角形的判定、全等三角形的判定及平行线的判定分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故错误，是假命题；B、底边相等的两个等腰三角形不一定全等，故错误，是假命题；C、不确定40°的角是否都是顶角或底角，所以不一定全等，故错误，是假命题；D、正确，是真命题，故选D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解等边三角形的判定、全等三角形的判定及平行线的判定等知识，难度不大．7.下列约分计算结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用因式分解，确定分子，分母的公因式，后约分化简，计算即可．详解】∵与a+b没有公因式，∴无法计算，∴的计算是错误的，∴选项A不符合题意；∵a+m与a+n没有公因式，∴无法计算，∴的计算是错误的；∴选项B不符合题意；∵-a+b=-(a+b)与a+b的公因式是a+b，∴，∴选项C符合题意；∵，∴的计算是错误的；∴选项D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了分式的化简，同底数幂的除法，熟练掌握化简计算的要领是解题的关键．8.若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】令点A为（-0.5，0），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．【详解】解：根据题意画出图形，如图所示：

分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；

②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；

③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，

则第四个顶点不可能落在第三象限．

故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及坐标的性质，利用了数形结合的数学思想，学生做题时注意应以每条边为对角线分别作平行四边形，不要遗漏．9.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确．②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确．③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD．∴点D在AB的中垂线上．故③正确．④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD．∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD．∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD．∴S△DAC：S△ABC．故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D．10.如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝2b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因为，所以当AE+EF最小时，周长取得最小值，由此作出轴对称图形，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可．【详解】解：连接CE并延长，作点A关于射线CE的对称点M，连接AM，CM，连接FM交CE延长线于点N，连接AN，如下图：∵△ABC和△ADE是等边三角形∴AB=AC=a，AD=AE，∠BAC=∠ABC=∠DAE=即(SAS)∴∠ABD=∠ACE∵∴,且BF平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∴∠BCE=即点E在射线CE上运动∵点A和点M关于射线CE对称∴，CE⊥AM∴又∵∴是等边三角形∴AM=AC∵BF⊥AC∴FM=BF=2b又∵∴当AE+EF最小时，周长取得最小值即AE+EF=MN+FN时，周长取得最小值∴故选：A【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质判定，以及轴对称求最值，能够根据题意作出相关的图形是解题的关键.二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11.分解因式______．【答案】【解析】【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可．【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，掌握“平方差公式分解因式”是解本题的关键．12.如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD、BC于E、F，若△ABE的周长为7，则四边形ABCD的周长是_____．【答案】14【解析】【分析】根据线段垂直平分线性质得到：，再利用△ABE的周长为7，证明，即可得到平行四边形ABCD的周长是14．【详解】解：∵ABCD为平行四边形，∴，AD=BC,AB=CD∵，∴，∵△ABE的周长为7，∴，即，∴平行四边形ABCD的周长是14，故答案为：14．【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是理解平行四边形的性质．13.若不等式组无解，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先解不等式组中的两个不等式，然后由不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即得答案．【详解】解：解不等式，得，解不等式，得，∵不等式组无解，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的相关知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键．14.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，9），△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝x上，则点B与其对应点B′间的距离为_____．【答案】12【解析】【分析】由平移的性质可求得O’A’的长，则可求得A’点的坐标，可求得OO’的长，由平移的性质可得到BB’=OO’，可求得答案．【详解】解：∵点A的坐标为（0，9），∴OA=9，由平移的性质可得O’A’=OA=9，∴点A’的纵坐标为9，∵点A’在直线y＝x上，∴9=x，解得x=12，∴点A’的横坐标为12，∴OO’=12，由平移的性质可得BB′=OO’=12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查平移的性质以及一次函数的图像和性质，掌握平移前后对应点的连线平行且相等是解题的关键．15.如图，正方形ABCD的边长是8，点E在边AB上，AE＝，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为____．【答案】8或【解析】【分析】根据翻折的性质，可得B′E的长，根据勾股定理，可得CE的长，根据等腰三角形的判定，可得答案．详解】解：如图1所示：当时，过点作，则，当时，，∵，，∴，由翻折的性质，得，，，，；如图2所示：当时，则；当时，，，点、在的垂直平分线上，垂直平分，由折叠可知点与点重合，不符合题意，舍去．综上所述，的长为8或．故答案为：8或．【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．三、解答题（共7小题，共55分）16.如图是小可同学在作业中计算a﹣+2的过程，请仔细阅读后解答下列问题：（1）小可的作业是从第步开始出现错误的，错误的原因是；（2）已知a2+a﹣2＝0，求a﹣+2的值．【答案】（1）二；计算时不应去分母（2）-1【解析】【分析】（1）根据分式加减运算法则可进行求解；（2）先对分式进行化简，然后再代入求值即可．【小问1详解】解：由题意得：小可的作业是从第二步开始出现错误的，错误的原因是计算时不应去分母；故答案为二；计算时不应去分母；【小问2详解】解：∵a2+a﹣2＝0，∴a2＝2﹣a，a﹣+2＝a+2﹣＝＝＝﹣，当a2＝2﹣a时，原式＝﹣＝﹣1．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键．17.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA＝PB（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接AP，当∠B为度时，AP平分∠BAC；（3）在（2）的条件下，若AC＝4，求BC的长．【答案】（1）见详解．（2）30．（3）．【解析】【分析】（1）因为要求作一点，使得其到线段两端距离相等，作AB的垂直平分线，与BC的交点即所求．（2）由AP平分∠BAC，PA=PB，得出∠B，∠BAP和∠CAP相等，再用直角三角形两锐角和是90°，可求解．（3）用直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半，算出AB的长度，再用勾股定理求出BC的长．【小问1详解】解：如图，分别以A、B为圆心，以大于AB长为半径，分别画弧交于两点，连接这两点，与BC的交点即为点P点P点为所作．【小问2详解】解：如图，∵PA=PB∴∠B=∠BAP∵AP平分∠BAC∴∠CAP=∠BAP∴∠B=∠BAP=∠CAP∵∠C=90°∴∠B+∠BAP+∠CAP=90°∴3∠B=90°∴∠B=30°故答案为30．【小问3详解】解：Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=4∴AB=2AC=8∴BC===【点睛】本题考查了线段的垂直平分线，等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，精准作图是本题的解题关键．18.在如图①所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，a，b，c均为顶点都在格点上的三角形(每个小方格的顶点叫做格点)．(1)在图①中，a经过一次__________变换(填“平移”“旋转”或“轴对称”)可以得到b；(2)在图①中，c是可以由b经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点________(填“A”“B”或“C”)；(3)在图②中画出a绕点A顺时针旋转90°后的d.【答案】(1)平移,(2)A;(3)详见解析．【解析】【分析】（1）根据平移的定义可知图①向右上平移可以得到图②；（2）将图形②绕着点A旋转后能与图形③重合，可知旋转中心；（3）以A为旋转中心，顺时针旋转90°得到关键顶点的对应点连接即可．【详解】（1）图①经过一次平移变换可以得到图②；（2）图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A；（3）如图：【点睛】本题考查了网格中平移、旋转及旋转作图，作图时，抓住网格的特点，根据旋转的性质，借助于直角三角板中的直角，就能顺利作出图形，解题时要注意是顺时针还是逆时针方向．平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．19.共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3～10km的出行市场，现有A、B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2．（1）B品牌10分钟后，每分钟收费元；（2）写出A品牌的函数关系式为；（3）如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？（4）直接写出两种收费相差1.4元时x的值是．【答案】（1）0.1（2）y1＝0.2x（x≥0）（3）A品牌（4）8分钟或34分钟【解析】【分析】（1）根据B品牌的电动车在10分钟后，10分钟收费为1元，即可求出B品牌的电动车10分钟后每分钟的收费；（2）设A品牌的函数关系式为y=kx+b（x≥0），然后代入点(0,0)和点(20,4)即可求解；（3）先求出小明从家到工厂所用时间为18min，再通过图象可知小于18min时选择A品牌电动车更省钱；（4）当x＝20min时两种收费相同，两种收费相差1．4元时，分20min前和20min后两种情况讨论|y1-y2|=1.4，分别解方程即可．【小问1详解】解：由图像可知：B品牌的电动车在10分钟后，10分钟收费为1元，故B品牌电动车在10分钟后每分钟收费为1÷10=0.1元．故答案为：0.1【小问2详解】解：设A品牌的函数关系式为y1=kx+b（x≥0），代入点(0,0)和点(20,4)得：b=0，k=0.2，∴y1＝0.2x（x≥0），故答案为：y1＝0.2x（x≥0）；【小问3详解】解：∵6÷20＝0.3（h），0.3h＝18min，又∵18＜20，由图象可知，当骑行时间不足20min时，y1＜y2，即骑行A品牌的共享电动车更省钱，∴小明选择A品牌的共享电动车更省钱；【小问4详解】解：∵当x＝20min时两种收费相同，∴两种收费相差1.4元时，分20min前和20min后两种情况，①当x＜20时，离20min越近收费相差的越少，当x＝10时，y1＝0．2×10＝2，y2＝3，y2﹣y1＝3﹣2＝1，∴要使两种收费相差1.4元，x应小于10，∴y2﹣y1＝3﹣0.2x＝1.4，解得：x＝8；②设B品牌在x>10的函数关系式为y2=kx+b，代入点(10,3)和点(20,4)，∴，解出，∴(x>10)，当x＞20时，0.2x﹣（0.1x+2）＝1.4，解得：x＝34．∴在8分钟或34分钟，两种收费相差1.4元．故答案为：8分钟或34分钟．【点睛】本题考查了一次函数图象、待定系数法求一次函数解析式以及解一元一次方程，解题的关键是利用待定系数法求出函数关系式，在解题时注意分类讨论．20.已知：如图，在中，，M为的中点，连接．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】由在▱ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，易证得DM，CM分别平分∠ADC与∠BCD，即可求得∠CDM＋∠DCM＝90°，即可证得结论．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB∥CD，∴∠CDM＝∠AMD，∠DCM＝∠BMC，∵AB＝2AD，M为AB的中点，∴AD＝AM＝BM＝BC，∴∠ADM＝∠AMD，∠BCM＝∠BMC，∴∠ADM＝∠CDM＝∠ADC，∠DCM＝∠BCM＝∠BCD，∵AD∥BC，∴∠ADC＋∠BCD＝180°，∴∠CDM＋∠DCM＝90°，∴∠DMC＝90°，即DM⊥MC．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质．注意证得DM，CM分别平分∠ADC与∠BCD是关键．21.为了丰富我校学生的课外活动，学校在开学初购进了A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍．已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？（2）初八（1）班同学为了训练更加方便，决定集体购买A、B两种品牌足球共50个，恰逢商店足球按第一次购买时售价的9折出售，如果八（1）班此次购买A，B两种品牌足球用不超过3260元，那么八（1）班此次最多可购买多少个B品牌足球？（3）若商店销售A、B两种品牌足球进价分别为40元、65元，在（2）的条件下，商店销售完这50个A、B两种品牌的足球时，商店的最大利润是多少？并写出利润最大时的采购方案．【答案】（1）购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元；（2）八（1）班此次最多可购买37个B品牌足球；（3）A种品牌的足球采购13个、B种品牌的足球采购37个，商店的最大利润是324元．【解析】【分析】（1）设购买一个A品牌足球需要x元，则购买一个B品牌足球需要（x+30）元，根据数量=总价÷单价结合2500元购买的A品牌足球数量是2000元购买的B品牌足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m个B品牌足球，则购买（50-m）个A品牌足球，根据总价=单价×数量结合总价不超过3260元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论；（3）设商店销售完这50个A、B两种品牌的足球时，商店的利润是w元，根据题意得到一次函数解析式，根据一次函数的性质即可得到结论．【小问1详解】解：设购买一个A品牌足球需要x元，则购买一个B品牌足球需要（x+30）元，依题意，得：，解得：x=50，经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，∴x+30=80．答：购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元；【小问2详解】解：设购买m个B品牌足球，则购买（50-m）个A品牌足球，依题意，得：50×0.9（50-m）+80×0.9m≤3260，解得：m≤37．∵m为整数，∴m的最大值为37．答：八（1）班此次最多可购买37个B品牌足球；【小问3详解】解：设商店销售完这50个A、B两种品牌的足球时，商店的利润是w元，由题意得：w=（50×0.9-40）（50-m）+（80×0.9-65）m=250+2m，∵7＞0，∴w随m的增大而增大，∴m最大时，w最大，∵m≤37，且m取整数，∴m=37时最大，此时w=250+2×37=324（元），50-37=13（个），∴采购方案为：A种品牌的足球采购13个、B种品牌的足球采购37个．答：A种品牌的足球采购13个、B种品牌的足球采购37个，商店的最大利润是324元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识；解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）