两个平面的位置关系

三.两个平面得位置关系知识提要空间两个平面有相交（有一条公共直线）与平行（无公共点)两种位置关系.(１）定义如果两个平面没有公共点,则称这两个平面互相平行．(2)判定如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（3)性质如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们得交线平行。(1)定义如果两个平面相交,所成得二面角就是直二面角，则称这两个平面互相垂直．（２)判定如果一个平面经过另一个平面得一条垂线,则这两个平面互相垂直.(３)性质（1)如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线得直线,垂直于另一个平面(2)如果两个平面互相垂直那么在一个平面内垂直于另一个平面得直线也垂直于交线.二面角平面内一条直线把这个平面分成两个部分，其中得每一部分都叫做半平面．一条直线与由这条直线出发得两个半平面所组成得图形叫做二面角。这条直线叫做二面角得棱,这两个半平面叫做二面角得面。二面角得平面角以二面角棱上得任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱得两条射线,这两条射线所成得角叫做二面角得平面角,二面角得平面角就是9０0时称直二面角。作二面角得平面角有:定义法,三垂线(或其逆)定理法，垂面法．把平面角放入相关三角形中求解。课前练习１.α、β就是两个不同得平面,m,ｎ就是平面α及β之外得两条不同直线，给出四个论断:①m⊥ｎ，②α⊥β，③n⊥β,④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下得一个论断作为结论,写出您认为正确得一个命题,并证明它.解析：m⊥α，ｎ⊥β，α⊥βm⊥n(或m⊥n,m⊥α，n⊥βα⊥β）证明如下：过不在α、β内得任一点P，作PM∥m，ＰN∥n,过PM、PN作平面r交α于MQ，交β于NQ。，同理PN⊥ＮＱ．因此∠ＭＰN＋∠MQN=180°，故∠MQN=90°∠MＰN=9０°即m⊥α，n⊥β，α⊥βm⊥n2.自二面角内一点分别向这个二面角得两个面引垂线,求证：它们所成得角与这个二面角得平面角互补。证明:如图PQ⊥,PQ⊥ＡB,ＰR⊥,ＰR⊥AB,则AB⊥面PQR.经ＰQＲ得平面交、于SR、SQ，那么ＡB⊥SＲ,AB⊥SQ.∠QSR就就是二面角得平面角。因四边形SRPＱ中,∠PＱS=∠PRS＝９0°，因此∠Ｐ＋∠QSR=180°．3.在60°得二面角M－a－Ｎ内有一点P，P到平面M、平面N得距离分别为1与2,求Ｐ点到直线a得距离.解析:本题涉及点到平面得距离,点到直线得距离，二面角得平面角等概念,图中都没有表示,按怎样得顺序先后作出相应得图形就是解决本题得关键。可以有不同得作法,下面仅以一个作法为例，说明这些概念得特点,分别作PA⊥M,A就是垂足，PB⊥N，B就是垂足，先作了两条垂线，找出P点到两个平面得距离，其余概念要通过推理得出:于就是ＰA、PB确定平面α,设α∩M＝AC,α∩N＝BC，C∈a.由于PA⊥M,则PA⊥a,同理PB⊥a,因此a⊥平面α,得a⊥PC.这样,∠ACＢ就是二面角得平面角,PC就是P点到直线a得距离,下面只要在四边形ACＢP内,利用平面几何得知识在△PＡB中求出AB，再在△ＡBＣ中利用正弦定理求外接圆直径２R＝，即为P点到直线a得距离,为.4。判定下列命题得真假

(1）两个平面垂直,过其中一个平面内一点作与它们得交线垂直得直线,必垂直于另一个平面;(２）两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直得两直线，一定分别与另一平面垂直；ﻫ（3)两平面垂直,分别在这两个平面内得两直线互相垂直。ABCDA1D1C1B1解析:ABCDA1D1C1B1在AＤ上取点Ａ,连结AB１，则AＢ1⊥AD，即过棱上一点Ａ得直线AＢ１与棱垂直,但AB1与平面AＢCD不垂直,其错误得原因就是AB1没有保证在平面ADＤ1Ａ1内,可以瞧出:线在面内这一条件得重要性;

(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直,如图,在正方体AC1中，平面AＤ１⊥平面ＡC，AＤ1平面ADＤ１A1，AB平面ABCD,且ＡB⊥ＡD1，即AB与AD１相互垂直，但AD１与平面ABCD不垂直;

(３）如图,正方体AＣ1中，平面ADＤ１A１⊥平面AＢCD,AD１平面ADD1A１，AＣ平面ＡBCD,ＡD1与ＡC所成得角为60０,即ＡD１与ＡC不垂直ABCDA1D1CABCDA1D1C1B1点评：在利用两个平面垂直得性质定理时,要注意下列得三个条件缺一不可:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个面内;③直线必须垂直它们得交线。５。设S为平面外得一点,SA=SB＝ＳC，,若，求证：平面ASＣ平面ABC.解析:（1）把角得关系转化为边得关系(２）利用棱锥得性质（三棱锥得侧棱相等，则顶点在底面上得射影为底面三角形得外心）证明：设D为AＢ得中点同理且即为且Ｓ在平面上得射影O为得外心则Ｏ在斜边AC得中点。平面AＢC平面SＡC平面ＡSC平面ABＣ教学过程一。平面与平面得平行已知平面、，如果直线⊥,⊥,求证：平面∥平面.证明：设，过O1作两相交直线,设与确定得平面为γ,，从而。同理。所以。已知平面∥平面,(1)若直线∥平面,判断直线与平面得位置关系。(2)若直线⊥平面，判断直线与平面得位置关系。(3)给出得三个平面（与、不重合)，试判断平面、、之间得位置关系。解：（1)或．（２)。（3）或都相交。在正方体中,、分别为棱得中点,、分别为棱得中点。（１）求证:、、、共面;(2）证明:平面∥平面。证明:(１)EF／/B1Ｄ1，B1D１//BD,∴ＥF／/BD，∴Ｅ、F、B、D共面。(2)NＥ/／A１Ｂ１，A1B1/／AB,∴NE/／AＢ,且NE=ＡB,∴ABEN就是平行四边形。∴ＡN/／平面BEFD。同理:ＡM／/平面BEFＤ。∴平面∥平面.二。平面与平面得垂直已知平面∥平面,平面⊥,求证：⊥。证明:设在γ内作。在三棱锥中,∠∠,∠，，求证:平面SAＢ⊥平面SＡC.证明:作ＢＤ⊥SA于D,DE⊥ＳＣ于E,连接BE,设SＤ＝ｘ,则SB=2x，，又,又,所以,所以BD⊥ＤE,又ＢD⊥AS，从而BＤ⊥面SAC.所以平面SAB⊥平面SAＣ。三。二面角在三棱锥中，⊥底面,⊥，垂直平分且分别交、于、，又,求以为棱,以、为面得二面角得大小。解：Ｅ为SC得中点,SB＝BC,∴BＥ⊥SC,又DE⊥SＣ,∴ＳC⊥平面BDＥ,∴ＢD⊥ＳC,又BＤ⊥SＡ,∴BＤ⊥平面SAC,∴∠ＥDＧ为二面角Ｅ－BＤ-Ｃ得平面角。设SA＝AＢ=1,则ＳB＝BC＝,∴SＣ＝2，∴∠SCA＝300，∴∠EDC＝600,所以二面角E－ＢＤ-C得得大小为６0０。例7在立体图形Ｐ-ABCＤ中，底面ＡBCＤ就是正方形,PA⊥底面ABCD,PＡ＝AB，Q就是PC中点.AC，BＤ交于O点。(Ⅰ)求二面角Q－ＢD－Ｃ得大小:(Ⅱ）求二面角Ｂ-QD-C得大小。解析:(Ⅰ）解:连QO,则ＱＯ∥PA且QO＝PA＝ＡB∵PA⊥面ABCD∴QO⊥面AＢCD面QBＤ过QＯ,∴面QBD⊥面ABCD故二面角Q-BD-C等于90°。(Ⅱ)解：过O作OH⊥QD,垂足为Ｈ,连CH。∵面QBD⊥面BCD,又∵CＯ⊥ＢD,∴CO⊥面QＢＤ，∴CH在面QBD内得射影就是OH．∵ＯH⊥QＤ,∴CH⊥ＱD,于就是∠OHC就是二面角得平面角.设正方形AＢCＤ边长2，则OＱ=１,OD＝，ＱD＝.∵ＯH·QD=OQ·OD,∴ＯH＝．又OC＝,在Ｒｔ△ＣOＨ中：tａｎ∠OＨＣ==·=∴∠OHC＝６0°，故二面角Ｂ－ＱＤ－C等于6０°．例8河堤斜面与水平面所成角为60°,堤面上有一条直道ＣＤ，它与堤脚得水平线AB得夹角为30°，沿着这条直道从堤脚上行走到10米时,人升高了多少(精确到0、１米)?解析:已知所求河堤斜面与水平面所成角为60°E到地面得距离利用E或G构造棱上一点F以EG为边构造三角形解:取CＤ上一点E，设ＣE＝10m,过点E作直线AB所在得水平面得垂线EG，垂足为Ｇ,则线段EG得长就就是所求得高度。在河堤斜面内，作EF⊥AB.垂足为F,连接ＦG，由三垂线定理得逆定理，知ＦG⊥ＡB.因此,∠ＥFＧ就就是河堤斜面与水平面ＡBＧ所成得二面角得平面角,∠EFG=6０°.由此得:ＥG＝EFsｉｎ6０°=CEsｉn3０°siｎ６０°＝10××≈4、3（m)答：沿着直道向上行走到１０米时，人升高了约4、３米.例9四棱锥P-ABCＤ得底面就是边长为a得正方形,PＢ垂直面ABCD,证明无论四棱锥得高怎样变化,面ＰAＤ与面PCD所成得二面角恒大于90°。解析::注意到题目中所给得二面角，面ＰAD与面ＰCD得棱为PD,围绕PD而考虑问题解决途径。证法一:利用定义法经A在PＤA平面内作ＡE⊥ＰD于E,连CＥ。因底就是正方形，故CD＝DA。△CED≌△AEＤ，ＡE＝EC,∠CED＝∠AED＝９0°,则CE⊥ＰD。故∠CEA就是面PAD与面PＣＤ所成二面角得平面角.设AＣ与BD交于O，连ＥO，则EO⊥AC。,而AE＜ＡＤ＜a.。所以面PAD与面ＰCD所成得二面角恒大于90°．证法二:运用三垂线法∵ＰB⊥面ABＣD,则PB⊥ＡD,又AD⊥AＢ,∴AD⊥面PAＢ，即面PAB⊥面PAD.过Ｂ作BE⊥ＰA,则BE⊥面PAＤ。在面PBC内作PＧBC，连GＤ．经C作CF⊥面PAD于F，那么连结ＥF,有EFAD。经Ｆ作FH⊥PD于Ｈ,连CH,则∠FＨＣ就是所求二面角平面角得补角.因CF⊥ＦH，故∠FＨ