新人教版高一(初升高)暑期数学衔接第17讲三角恒等变换练习(学生版+解析)

第17讲三角恒等变换【学习目标】1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)【基础知识】一、两角和与差的三角函数公式1.两角和与差的余弦公式2.两角和与差的正弦公式3.两角和与差的正切公式4.两角和与差的正切公式的变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；二、二倍角的三角函数1.二倍角的正弦、余弦、正切公式2.二倍角公式的变形形式(1)(sinα±cosα)2＝1±sin2α；(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；(3)sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).3．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α).(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).4.半角公式三、积化和差与和差化积公式1.积化和差公式sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]．2.和差化积公式sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2).sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2).cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2).cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2).四、辅助角公式辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a))).其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝eq\f(b,a)确定或由sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))和cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))共同确定．【考点剖析】考点一：给角求值例1．(2022学年四川省成都市蓉城名校联盟学高一下学期期中)(

)A． B． C． D．考点二：给值求值例2．(2022学年山东省名校(历城二中、章丘四中等校)高一下学期5月联考)若，则(

)A． B． C． D．考点三：给值求角例3．(2022学年江苏省苏州高新区第一中学高一下学期期中)设，且，则(

)A． B． C． D．考点四：辅助角公式的应用例4．(2022学年陕西省安康中学高一上学期期末)当时，函数取得最大值，则_______________．考点五：两角和与差正切公式变形的应用例5.(2022学年江苏省南通市如皋市高一下学期教学质量调研)已知，，则(

)A． B． C． D．考点六：平方相加求值例6．(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月)已知，，则(

)A． B． C． D．考点七：三角函数式的化简例7．(2022学年江西省名校高一下学期期中调研)化简______考点八：三角函数式的证明例8．(2022学年江西省名校高一下学期期中调研)(1)证明：(2)求值：【真题演练】1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷)若α为第四象限角，则 ()A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<02．(2020年高考数学课标Ⅰ卷)已知，且，则 ()A． B． C． D．3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= ()A．–2 B．–1 C．1 D．24.(2021年高考全国甲卷)若，则 ()A． B． C． D．5.(多选)(2020-2021学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中)已知，，则恒等于(

)A． B．C． D．6.(多选)(2022学年江西省临川一中高一下学期月考)下列选项化简值为1的有(

)A． B．C． D．7.(2022学年山东省烟台市高一下学期期中)若，则______．8.(2020-2021学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中)化简下列各式：(1)；(2)．【过关检测】1.(2022学年湖北省荆州市沙市中学高一下学期期中)化简：(

)A． B． C． D．2.(2022学年甘肃省天水市第一中学高一下学期段考)已知，，则(

)A． B． C． D．3.(2022学年贵州省黔东南州高一下学期期中)设，，，则(

)A． B． C． D．4.(2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中)若，，且，，则的值是(

)A． B． C．或 D．或5.(多选)(2022学年江苏省徐州市睢宁县高一下学期期中)已知，以下选项正确的是(

)A． B．C． D．6.(多选)(2021—2022学年江西省南昌市第二中学高一下学期第一次月考)下列等式中，正确的是(

)A．B．C．D．7.(2022学年云南省临沧市云县高一下学期期中)已知，均为锐角，且，，则cos＝___．8.(2022学年四川省内江市第六中学高一下学期期中)在△ABC中，，则的取值范围是______．9.(2022学年四川省广安市广安第三中学校高一下学期第一次考)(1)化简(2)已知，求的值.10.(2022学年辽宁省重点高中沈阳市郊联体高一下学期期中)小萌在一次研究性学习中发现，以下5个式子都成立．①；②；③；④；⑤．她觉着好像有某种规律，你能帮她总结出这个规律么？并证明这个结论；并利用这一结论计算的值．第17讲三角恒等变换【学习目标】1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)【基础知识】一、两角和与差的三角函数公式1.两角和与差的余弦公式2.两角和与差的正弦公式3.两角和与差的正切公式4.两角和与差的正切公式的变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；二、二倍角的三角函数1.二倍角的正弦、余弦、正切公式2.二倍角公式的变形形式(1)(sinα±cosα)2＝1±sin2α；(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)；(3)sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).3．用正切来表示正弦、余弦的倍角公式，也叫“万能公式”，公式如下：(1)sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)，即sin2α＝eq\f(2tanα,1＋tan2α).(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)，即cos2α＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α).4.半角公式三、积化和差与和差化积公式1.积化和差公式sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]．cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]．2.和差化积公式sinα＋sinβ＝2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2).sinα－sinβ＝2coseq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2).cosα＋cosβ＝2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2).cosα－cosβ＝－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2).四、辅助角公式辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a))).其中角φ所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tanφ＝eq\f(b,a)确定或由sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))和cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))共同确定．【考点剖析】考点一：给角求值例1．(2022学年四川省成都市蓉城名校联盟学高一下学期期中)(

)A． B． C． D．答案:D解析：因为sin(59°+61°)=sin(120°)=sin(180°-60°)=sin60°=.故选D.考点二：给值求值例2．(2022学年山东省名校(历城二中、章丘四中等校)高一下学期5月联考)若，则(

)A． B． C． D．答案:B解析：因为＝＝＝.故选B.考点三：给值求角例3．(2022学年江苏省苏州高新区第一中学高一下学期期中)设，且，则(

)A． B． C． D．答案:A解析：因为，所以，且，所以，则，故选A．考点四：辅助角公式的应用例4．(2022学年陕西省安康中学高一上学期期末)当时，函数取得最大值，则_______________．答案:解析：当时，取得最大值(其中)，∴，即，∴．考点五：两角和与差正切公式变形的应用例5.(2022学年江苏省南通市如皋市高一下学期教学质量调研)已知，，则(

)A． B． C． D．答案:B解析：因为，故，故，同理，故，故B成立.而故，故A错误.而，故因，故，所以，又若，则，解得，因为，，故无解，故D错误.若，则，则，这与矛盾，故D错误.故选B.考点六：平方相加求值例6．(2022学年浙江省“新高考名校联盟”高一下学期5月)已知，，则(

)A． B． C． D．答案:A解析：由得，由得，两式相加得，得.故选A考点七：三角函数式的化简例7．(2022学年江西省名校高一下学期期中调研)化简______答案:解析：因为所以考点八：三角函数式的证明例8．(2022学年江西省名校高一下学期期中调研)(1)证明：(2)求值：解析：(1)证明：因为左边右边，所以原命题成立.(2)因为，所以，所以【真题演练】1．(2020年高考数学课标Ⅱ卷)若α为第四象限角，则 ()A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0答案:D解析：当时，，选项B错误；当时，，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；故选D．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷)已知，且，则 ()A． B． C． D．答案:A解析：，得，即，解得或(舍去)，又．故选A．3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= ()A．–2 B．–1 C．1 D．2答案:D解析：，，令，则，整理得，解得，即．故选D．4.(2021年高考全国甲卷)若，则 ()A． B． C． D．答案:A解析：，，，，，解得，，．故选A．5.(多选)(2020-2021学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中)已知，，则恒等于(

)A． B．C． D．答案:BC解析：由可得，即，又，，整理得，则，B，C正确；A，D错误.故选BC.6.(多选)(2022学年江西省临川一中高一下学期月考)下列选项化简值为1的有(

)A． B．C． D．答案:ABD解析：对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C不正确；对于D，，故D正确.故选ABD.7.(2022学年山东省烟台市高一下学期期中)若，则______．答案:解析：．8.(2020-2021学年辽宁省大连市第二十四中学高一下学期期中)化简下列各式：(1)；(2)．解析：(1)；(2).【过关检测】1.(2022学年湖北省荆州市沙市中学高一下学期期中)化简：(

)A． B． C． D．答案:A解析：故选A2.(2022学年甘肃省天水市第一中学高一下学期段考)已知，，则(

)A． B． C． D．答案:A解析：因为，所以，即，因为，所以、，即，又，解得或(舍去)；故选A3.(2022学年贵州省黔东南州高一下学期期中)设，，，则(

)A． B． C． D．答案:B解析：根据正余弦和正切的二倍角公式有，，，.因为，，，故，故选B4.(2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中)若，，且，，则的值是(

)A． B． C．或 D．或答案:B解析：，又∵，∴.又∵，∴，于是，易得，则