人教版高一数学新教材同步配套教学讲义5.7三角函数的应用(原卷版+解析)

5．7三角函数的应用【知识点梳理】知识点一、函数中，，，的物理意义1、简谐运动的振幅就是．2、简谐运动的周期．3、简谐运动的频率．4、称为相位．5、时的相位称为初相．知识点二、三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．知识点三、三角函数模型应用的步骤（1）建模问题步骤：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．（2）建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式．知识点四、三角函数应用题的三种模式（1）给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题．（2）给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题．（3）整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．知识点五、三角函数模型应用注意点（1）一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围．（2）应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解．【题型归纳目录】题型一：三角函数模型在物理学中的应用题型二：三角函数模型的实际应用题型三：数据拟合问题题型四：三角函数在圆周中的应用题型五：几何中的三角函数模型【典型例题】题型一：三角函数模型在物理学中的应用例1．（2022·全国·高一课时练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（

）A． B． C． D．例2．（2022·全国·高一单元测试）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（

）A．-2 B．2 C． D．例3．（2022·全国·高一课时练习）若电流I（单位：A）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则函数的最小正周期为______，当时的电流为______A．变式1．（2022·山东山东·高一期中）将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（

）A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm变式2．（2022·全国·高一课时练习）如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间对应的函数图象如图所示，其变化规律可以用求刻画.(1)求此弹簧振子运动的周期；(2)求时弹簧振子所处的位置距离初始位置（）的距离是多少？变式3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）如图，一根长l（单位：cm）的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移S（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系可近似的表示为，其中.(1)当时，小钢球离开平衡位置的位移S是多少cm？(2)要使小钢球摆动的周期是1s，则线的长度l应该为多少cm（精确到0.1cm）？【方法技巧与总结】处理物理学问题的策略（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．题型二：三角函数模型的实际应用例4．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）如图所示，一条河宽AC为1km，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连接城市A和B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸是平行直线（没有弯曲），设∠CAD=θ，铺设电缆总施工费用为y元.(1)求y关于θ的函数关系式.(2)应该铺设地下电缆BD多长时方可使总施工费用y达到最小.例5．（2022·广东佛山·高一期末）2021年7月20日，佛山正式印发了《城市“畅通工程”两年行动方案》（以下简称《方案》），聚焦人民群众反映强烈的城市交通拥堵问题，通过微改造、微调整，为市民出行创造更加畅通有序的交通环境．现某医院附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），改造前，路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），按《方案》，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．(1)求d关于的函数表达式；(2)若，求该路段改造后的停车位比改造前增加的个数．例6．（2022·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.(1)求，，，；(2)求这一天时的最大温差近似值.参考数据：，.【方法技巧与总结】解三角函数应用问题的基本步骤题型三：数据拟合问题例7．（2022·全国·高一）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时刻与水深值（单位：）记录表：时刻水深值经过长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可以近似用函数来描述．(1)根据以上数据，求出时，函数的表达式；(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），问该船在一天内（）何时能进入港口？例8．（2022·江西景德镇·高一期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：t（小时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．例9．（2022·全国·高一专题练习）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（米）随着时间（，单位：小时）而周期性变化．每天各时刻的浪高数据的平均值如下表：（时）（米）(1)试在图中描出所给点；(2)观察图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的时至时之间，当浪高不低于米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．变式4．（2022·全国·高一课时练习）平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：t（时）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①，②，③．中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．变式5．（2022·广西·桂林十八中高一开学考试）某港口的水深（单位：是时间的函数，下面是该港口的水深数据：0369121518212410139.97101310.1710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的．(1)若有以下几个函数模型：，，，你认为哪个模型可以更好地刻画与之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式；(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？变式6．（2022·全国·高一课时练习）某港口的水深(单位：)是时间(，单位：)的函数，下面是该港口的水深数据：0369121518212410139.9710139.9710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的．(1)若有以下几个函数模型：，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？【方法技巧与总结】数据拟合的通法（1）处理的关键：数据拟合是一项重要的数据处理能力，解决该类问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图在这里起了关键作用．（2）一般方法：数据对→作散点图→确定拟合函数→解决实际问题．题型四：三角函数在圆周中的应用例10．（2022·广东广州·高一期末）一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（

）A．0 B．1 C．3 D．4例11．（2022·浙江温州·高二期中）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（）A． B．C． D．例12．（2022·全国·高三专题练习）如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设从点运动到点P时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h是关于t的函数.当时关于的图象，下列说法正确的是（

）A．对称中心为B．对称中心为C．对称轴为D．对称轴为变式7．（2022·上海市建平中学高一期中）一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．(1)以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？变式8．（2022·江苏·高一课时练习）一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面；已知水轮按逆时针做匀速转动，每转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，将点距离水面的高度表示为时间的函数；（2）点第一次到达最高点大约要多长时间？变式9．（2022·全国·高一专题练习）如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30min转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮中心O的高度相同）时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度h（m）关于时间t（min）的函数关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m？变式10．（2022·全国·高一课时练习）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．(1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值．变式11．（2022·湖南·长郡中学高一期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.题型五：几何中的三角函数模型例13．（2022·全国·高一专题练习）如图，已知扇形的半径为，中心角为，四边形是扇形的内接矩形，为上一动点，问：点在怎样的位置时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．例14．（2022·江西萍乡·高一期末）如图，四边形是一块边长为的正方形铁皮，其中扇形的半径为，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一点，，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有两边分别在与上的矩形铁皮.(1)写出矩形铁皮的面积与角度的函数关系式；(2)求矩形铁皮面积的最大值和此时的值.例15．（2022·全国·高一单元测试）我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧（P为此圆弧的中点）和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧上．设OC与直径MN所成的角为．(1)试用分别表示矩形ABCD和的面积；(2)若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．（结果保留整数）变式12．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为y.(1)写出y与x的函数关系式，并化简；(2)求矩形面积的最大值，并求此时x的取值.变式13．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）扇形的圆心角为，所在圆半径OA为2，它按如图（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式有内接矩形CDEF．图（Ⅰ）矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设；图（Ⅱ）点M是圆弧的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设；设图（Ⅰ）下矩形CDEF面积的最大值为，图（Ⅱ）下矩形CDEF面积的最大值为，求出与，并比较与的大小．变式14．（2022·江西·南昌县莲塘第一中学高一期中）某中学校园内有块扇形空地，经测量其半径为m，圆心角为.学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场ABCD，初步设计方案如图1所示.(1)求出初步设计方案中矩形ABCD面积的最大值.(2)你有没有更好的设计方案来获得更大的篮球场面积？若有在图2画出来，并证明你的结论.变式15．（2022·安徽·高一期中）某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园，如图所示．已知扇形的圆心角，半径为200米．现需要修建的花园为平行四边形，其中、分别在半径、上，在上．(1)求扇形的弧长和面积；(2)设，平行四边形的面积为S．求S关于角的函数解析式，并指出函数的定义域．变式16．（2022·云南·昆明一中高一期末）如图，已知直线，A是之间的一定点，并且点A到，的距离分别为和2.B，C分别是直线上的动点，且，设，.(1)写出关于x的函数解析式；(2)求函数的最小值及相对应的x的值.变式17．（2022·湖南·高一课时练习）如图，矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上，且矩形ABCD的周长为l．如果AB与的夹角为，那么当为何值时，矩形的周长最大？【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（的单位：千元，，，，为月份，且）．已知3月出厂价最高，为9千元，7月出厂价最低，为5千元，则的解析式为（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·高一课时练习）若电流ⅠA．随着时间t（s）变化的函数的图象如图所示，则（

）A．， B．，C．， D．，3．（2022·全国·高一单元测试）筒车是一种以水流作动力，取水灌田的工具，是中国古代人民伟大的发明之一.如图，已知某个半径为6m的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转2圈，筒车轴心O距水面3m，设筒车上某个盛水筒P，以P刚浮出水面时开始计算时间，则盛水筒P出水后第一次到达最高点的时间（单位：s）为（

）A．7 B．8 C．9 D．104．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，那么单摆来回摆动的振幅（厘米）和一次所需的时间（秒）为（

）A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，25．（2022·江西·上饶中学高一阶段练习）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·高一课时练习）表中给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深（m）5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若该港口的水深y(m)和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数来近似描述，则该港口在11：00的水深为（

）A．4m B．5m C．6m D．7m7．（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（

）A．米 B．米 C．米 D．米8．（2022·北京·高一期中）如图，摩天轮的半径为40米.摩天轮的中心O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转.每30分钟转一圈.若摩天轮上点P的起始位置在最低点处.下面有关结论正确的是（

）A．经过10分钟，点P距离地面的高度为45米B．第25分钟和第70分钟点P距离地面的高度相同C．从第10分钟至第20分钟，点P距离地面的高度一直在上升D．摩天轮旋转一周，点P距离地面的高度不低于65米的时间为10分钟二、多选题9．（2022·广东清远·高一期中）如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转5圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足关系式，则有（

）A． B． C． D．10．（2022·全国·高一）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（

）A．点Q距离水平地面的高度与时间的函数为B．点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为C．经过10分钟点Q距离地面35米D．摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟11．（2022·全国·高一单元测试）汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图），证明了被称为几何学的基石——勾股定理的正确性，现将弦图中的四条股延长相同的长度得到如图所示的一个“数学风车”，现以弦图的中心为坐标原点O，线段OA在如图所示的x轴上（其中有两“股”线延长交x，y轴分别为A，B），此“数学风车”绕点O逆时针匀速旋转一周的时间为2秒，，分别用，表示t秒后A，B两点的纵坐标，那么以下选项正确的有（

）A．函数与的图象经过平移后可以重合B．函数的最大值为2C．函数图象的一个对称中心为D．函数在上单调递减12．（2022·安徽·高一阶段练习）阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置．如图，我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”．由物理学知识可知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移（cm）和时间t（）的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则下列是的单调区间的是（

）A． B．C． D．三、填空题13．（2022·全国·高一课时练习）小明给学校设计数学文化长廊，计划将长廊的顶部遮雨棚设计成如图所示的横截面为正弦型曲线的形状（雨棚的厚度忽略不计）．已知入口处高度AB和出口处高度CD均为H，为使参观者行走方便，要求雨棚的最低点到地面的距离不小于雨棚的最高点到地面距离的，则雨棚横截面正弦型曲线振幅的最大值为______．14．（2022·全国·高一专题练习）某游乐场中半径为米的摩天轮逆时针（固定从一侧观察）匀速旋转，每分钟转一圈，其最低点离底面米，如果以你从最低点登上摩天轮的时刻开始计时，那么你与底面的距离高度（米）随时间（秒）变化的关系式为_____.15．（2022·福建福州·高一期末）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃.16．（2022·全国·高一）为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖的位置为，若初始位置为，当秒针针尖从（注：此时）正常开始走时，点的纵坐标与时间的函数关系式为__________.四、解答题17．（2022·辽宁·高一期中）某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数，其中h为水深（单位：米），t为时间（单位：小时），该函数部分图象如图所示．若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与水底的距离），则该船一天之内能在该港口停留多久？18．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）某港口的海水深度y（单位：）是时间t（，单位：）的函数，记为.已知某日海水深度的数据如下表：0369121518212410139.97101310.1710经长期观察，的图像可以近似地看成函数的图像.一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的.(1)试根据以上数据，求出的函数解析式；(2)已知某船的吃水深度（船底与水面的距离）为，若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？19．（2022·全国·高一专题练习）下表是某地一年中10天测量得白昼时间统计表（时间近似0.1小时，一年按365天计）．日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号15980117126172225268298355白昼时间（小时）5.610.212.416.417.319.416.412.48.55.4(1)以日期在365一天中得位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，在给定的坐标中，试选用一个形如的函数来近似描述一年中，白昼时间与日期位置序号之间的函数关系；(2)用（1）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．20．（2022·江苏·高一专题练习（文））若单摆中小球相对静止位置的位移随时间的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从点算起呢？(3)当时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？21．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处.(1)根据条件具体写出关于的函数表达式；(2)在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？5．7三角函数的应用【知识点梳理】知识点一、函数中，，，的物理意义1、简谐运动的振幅就是．2、简谐运动的周期．3、简谐运动的频率．4、称为相位．5、时的相位称为初相．知识点二、三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术．知识点三、三角函数模型应用的步骤（1）建模问题步骤：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．（2）建立数学模型的关键，先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数式．知识点四、三角函数应用题的三种模式（1）给定呈周期变化规律的三角函数模型，根据所给模型，结合三角函数的性质，解决一些实际问题．（2）给定呈周期变化的图象，利用待定系数法求出函数模型，再解决其他问题．（3）整理一个实际问题的调查数据，根据数据作出散点图，通过拟合函数图象，求出可以近似表示变化规律的函数模型，进一步用函数模型来解决问题．知识点五、三角函数模型应用注意点（1）一般地，所求出的函数模型只能近似地刻画实际情况，因此应特别注意自变量的取值范围．（2）应用数学知识解决实际问题时，应注意从背景中提取基本的数学关系，并利用相关知识来理解．【题型归纳目录】题型一：三角函数模型在物理学中的应用题型二：三角函数模型的实际应用题型三：数据拟合问题题型四：三角函数在圆周中的应用题型五：几何中的三角函数模型【典型例题】题型一：三角函数模型在物理学中的应用例1．（2022·全国·高一课时练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，则，周期为，则，初相位为，，所以噪声的声波曲线的解析式为，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．故选：A.例2．（2022·全国·高一单元测试）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t秒时相对于平衡位置的高度h（厘米）由如下关系式确定：，，.已知当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，则小球在秒时h的值为（

）A．-2 B．2 C． D．【答案】D【解析】因为当时，小球处于平衡位置，并开始向下移动，故，即，又，故，故，故当时，故选：D例3．（2022·全国·高一课时练习）若电流I（单位：A）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．则函数的最小正周期为______，当时的电流为______A．【答案】

【解析】由图象，可知该函数的最小正周期是，设，由函数的最小正周期是，可知，故时的电流是0A．故答案为：；0.变式1．（2022·山东山东·高一期中）将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图像．它表示了漏斗对平衡位置的位移s（纵坐标）随时间t（横坐标）变化的情况．如图所示，已知一根长为lcm的线一端固定，另一端悬一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（

）A．15.4cm B．16.4cm C．17.4cm D．18.4cm【答案】C【解析】由，得.由函数的图象可知函数的周期为，所以，即.故选：C.变式2．（2022·全国·高一课时练习）如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间对应的函数图象如图所示，其变化规律可以用求刻画.(1)求此弹簧振子运动的周期；(2)求时弹簧振子所处的位置距离初始位置（）的距离是多少？【解析】（1）由图可知，函数，故函数的图象关于对称，故，,即弹簧振子运动的周期为4.8s.（2）由图知，，故，，因为，由，所以，所以，故，而，所以时，该弹簧振子离时刻的距离是.变式3．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）如图，一根长l（单位：cm）的线，一端固定，另一端悬挂一个小钢球，当小钢球做单摆运动时，离开平衡位置的位移S（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系可近似的表示为，其中.(1)当时，小钢球离开平衡位置的位移S是多少cm？(2)要使小钢球摆动的周期是1s，则线的长度l应该为多少cm（精确到0.1cm）？【解析】(1)在函数中，当时，，所以当时，小钢球离开平衡位置的位移S是1.5cm.(2)依题意，，而周期，又，则，即，解得()，所以线的长度l应该为.【方法技巧与总结】处理物理学问题的策略（1）常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．（2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．题型二：三角函数模型的实际应用例4．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）如图所示，一条河宽AC为1km，两岸各有一座城市A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电缆连接城市A和B，已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假设两岸是平行直线（没有弯曲），设∠CAD=θ，铺设电缆总施工费用为y元.(1)求y关于θ的函数关系式.(2)应该铺设地下电缆BD多长时方可使总施工费用y达到最小.【解析】（1）由题可知，，其中（2）由（1）可得因为，所以，设，则，即，因为，所以，解得，，此时，，满足，故当时，总施工费用y达到最小，所以例5．（2022·广东佛山·高一期末）2021年7月20日，佛山正式印发了《城市“畅通工程”两年行动方案》（以下简称《方案》），聚焦人民群众反映强烈的城市交通拥堵问题，通过微改造、微调整，为市民出行创造更加畅通有序的交通环境．现某医院附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），改造前，路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），按《方案》，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中．(1)求d关于的函数表达式；(2)若，求该路段改造后的停车位比改造前增加的个数．【解析】（1）由图知：，，又，所以；（2）由，得，解得，因为，所以舍去，如图所示：作，交于，则，，所以，则，所以第一个车位最右边离EM为，第二个车位最右边离EM为，第n个车位最右边离EM为，则，解得，因为n为整数，所以，改造前车位有个，所以改造后增加个.例6．（2022·辽宁丹东·高一期末）如图，某地一天从时的温度变化曲线近似满足，其中，，.(1)求，，，；(2)求这一天时的最大温差近似值.参考数据：，.【解析】(1)由图象可知：，，最小正周期，，，；，，，解得：，又，.(2)由图象可知：在上单调递减，在上单调递增，，，，即这一天时的最大温差近似值为.【方法技巧与总结】解三角函数应用问题的基本步骤题型三：数据拟合问题例7．（2022·全国·高一）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时刻与水深值（单位：）记录表：时刻水深值经过长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可以近似用函数来描述．(1)根据以上数据，求出时，函数的表达式；(2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为，安全条例规定至少要有的安全间隙（船底与海底的距离），问该船在一天内（）何时能进入港口？【解析】(1)，，，；由表格数据知：最小正周期，即，；，，解得：，又，，.(2)由题意知：若该船能进入港口，则需，即，；，，则当或或，即或或时，，该船可在、和进入港口.例8．（2022·江西景德镇·高一期中）“八月十八潮，壮观天下无．”——苏轼《观浙江涛》，该诗展现了湖水涨落的壮阔画面，某中学数学兴趣小组进行潮水涨落与时间的关系的数学建模活动，通过实地考察某港口水深y（米）与时间（单位：小时）的关系，经过多次测量筛选，最后得到下表数据：t（小时）03691215182124y（米）10.013.09.97.010.013.010.17.010.1该小组成员通过查阅资料、咨询老师等工作，以及现有知识储备，再依据上述数据描成曲线，经拟合，该曲线可近似地看成函数图象．(1)试根据数据表和曲线，求出近似函数的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于3.5米是安全的，如果某船舶公司的船的吃水度（船底与水面的距离）为8米，请你运用上面兴趣小组所得数据，结合所学知识，给该船舶公司提供安全进此港时间段的建议．【解析】（1）画出散点图，连线如下图所示：设，根据最大值13，最小值7，可列方程为：，再由，得，；（2）．∵，∴，∴，或解得，或，所以请在1：00至5：00和13：00至17：00进港是安全的．例9．（2022·全国·高一专题练习）某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度（米）随着时间（，单位：小时）而周期性变化．每天各时刻的浪高数据的平均值如下表：（时）（米）(1)试在图中描出所给点；(2)观察图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；(3)如果确定在一天内的时至时之间，当浪高不低于米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．【解析】(1)散点图如下，(2)由散点图可知：应选择，则，，，即，将代入可得：，解得：，该模型的解析式为：.(3)令，则，，，或或，解得：或或，应在白天点到点之间训练.变式4．（2022·全国·高一课时练习）平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深y（米）是随着一天的时间t（0≤t≤24，单位小时）呈周期性变化，某天各时刻t的水深数据的近似值如表：t（时）03691215182124y（米）1.52.41.50.61.42.41.60.61.5(1)根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）．观察散点图，从①，②，③．中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；(2)为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．【解析】（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：结合散点图可知，图形进行了上下平移和左右平移，故选②做为函数模型，∴，∵，∴又∵函数y＝0.9cos（φ）+1.5的图象过点，∴，∴，∴，又∵，∴φ，∴（2）由（1）知：令y≥1.05，即，∴∴，∴，又∵5≤t≤18，∵5≤t≤7或11≤t≤18，∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全．变式5．（2022·广西·桂林十八中高一开学考试）某港口的水深（单位：是时间的函数，下面是该港口的水深数据：0369121518212410139.97101310.1710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的．(1)若有以下几个函数模型：，，，你认为哪个模型可以更好地刻画与之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解析式；(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？【解析】(1)函数可以更好地刻画与之间的对应关系，根据数据可得：，，，又，，.(2)由题意，要满足题意，需，即，，，解得，，当时，；当时，；,或,，所以，该船在至或至能安全进港，若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16个小时．变式6．（2022·全国·高一课时练习）某港口的水深(单位：)是时间(，单位：)的函数，下面是该港口的水深数据：0369121518212410139.9710139.9710一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于时就是安全的．(1)若有以下几个函数模型：，你认为哪个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请说明理由，并求出该拟合模型的函数解析式；(2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？【解析】（1）函数模型更好地刻画y与t之间的对应关系.根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图像.从拟合曲线可知，函数在一个周期内由最大变到最小需9-3=6(h)，此为半个周期，函数的最小正周期为12，因此.又当时，；当时，，所求函数的表达式为（2）由于船的吃水深度为7m，船底与海底的距离不少于4.5m，故在船舶航行时，水深应大于或等于7+4.5=11.5(m).令,可得取，则；取，则；取时，（不符合题意，舍去).当与时，船能够安全进港，船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时进港，而下午的17时离港，在港内停留的时间最长为16h.【方法技巧与总结】数据拟合的通法（1）处理的关键：数据拟合是一项重要的数据处理能力，解决该类问题的关键在于如何把实际问题三角函数模型化，而散点图在这里起了关键作用．（2）一般方法：数据对→作散点图→确定拟合函数→解决实际问题．题型四：三角函数在圆周中的应用例10．（2022·广东广州·高一期末）一半径为2m的水轮，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3秒转一圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．如图所示，建立直角坐标系，将点P距离水面的高度h（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数，记，则（

）A．0 B．1 C．3 D．4【答案】C【解析】根据题意，设h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，（φ＜0），则A＝2，k＝1，因为T＝3，所以ω，所以h＝2sin（t+φ）+1，又因为t＝0时，h＝0，所以0＝2sinφ+1，所以sinφ，又因为φ＜0，所以φ，所以h＝f（t）＝2sin（t）+1；所以f（t）sint﹣cost+1，f（t+1）＝2sin（t）+1＝2cost+1，f（t+2）＝2sin（t）+1sint﹣cost+1，所以f（t）+f（t+1）+f（t+2）＝3．故选：C．例11．（2022·浙江温州·高二期中）一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米，已知水轮每60秒逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】设点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为由，可得，由，可得由t=0时h=0，可得，则，又，则则点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的一个函数解析式为故选：A例12．（2022·全国·高三专题练习）如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心为坐标原点，过点的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.设从点运动到点P时所经过的时间为t（单位：分钟），且此时点P距离地面的高度为h（单位：米），则h是关于t的函数.当时关于的图象，下列说法正确的是（

）A．对称中心为B．对称中心为C．对称轴为D．对称轴为【答案】B【解析】由题意得，而是以为始边，为终边的角，由OP在内转过的角为，可知以为始边，为终边的角为，则点P的纵坐标为，所以P距地面的高度为，令，得，所以对称中心为，令，得，所以对称轴为，故选：B变式7．（2022·上海市建平中学高一期中）一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间．(1)以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？【解析】(1)设，根据函数的物理意义可知：，由题意可知当时，，则，所以，则，又因为函数的最小正周期为，所以，所以；(2)根据题意可知，，即，当水轮转动一圈时，，，可得：，所以此时，解得，又因为（秒，即水轮转动任意一圈内，有秒的时间点距水面的高度不低于2米．变式8．（2022·江苏·高一课时练习）一半径为的水轮如图所示，水轮圆心距离水面；已知水轮按逆时针做匀速转动，每转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，将点距离水面的高度表示为时间的函数；（2）点第一次到达最高点大约要多长时间？【解析】（1）设，，则，，∴，∴∴，∵，，∴，∴.∵，∴，∴（2）令，得，∴，∴∴点第一次到达最高点大约要的时间.变式9．（2022·全国·高一专题练习）如图，一个摩天轮的半径为10m，轮子的最低处距离地面2m．如果此摩天轮按逆时针匀速转动，每30min转一圈，且当摩天轮上某人经过点P（点P与摩天轮中心O的高度相同）时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度h（m）关于时间t（min）的函数关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m？【解析】(1)当时，此人相对于地面的高度．在时间t时此人转过的角为，此时此人相对于地面的高度．(2)由，得．又，则，即．故在摩天轮转动的一圈内，此人相对于地面的高度不小于17m的时间为（min）．变式10．（2022·全国·高一课时练习）某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．(1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，求当H取得最大值时t的值．【解析】（1）设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为则，∴，依题意，∴，当时，∴，∴．（2）令，即，∴，∵，∴，∴或，解得或，∴或时，1号座舱与地面的距离为17米．（3）依题意，∴令，解得，所以当时，H取得最大值

变式11．（2022·湖南·长郡中学高一期末）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.【解析】(1)由题意，（其中）摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，所以，得，又函数周期为分钟，所以，又，所以，又，所以，所以.(2)，所以，整理，因为，所以，所以,解得（分钟）.(3)经过分钟后甲距离地面的高度为，乙与甲间隔的时间为分钟，所以乙距离地面的高度为，所以两人离地面的高度差当或时，即或分钟时，取最大值为米.题型五：几何中的三角函数模型例13．（2022·全国·高一专题练习）如图，已知扇形的半径为，中心角为，四边形是扇形的内接矩形，为上一动点，问：点在怎样的位置时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．【解析】如图，在中，设，则在中，，所以．所以设矩形的面积为，则由于，所以当，即时，．因此，当时，矩形的面积最大，最大面积为．例14．（2022·江西萍乡·高一期末）如图，四边形是一块边长为的正方形铁皮，其中扇形的半径为，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧上一点，，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有两边分别在与上的矩形铁皮.(1)写出矩形铁皮的面积与角度的函数关系式；(2)求矩形铁皮面积的最大值和此时的值.【解析】（1）记矩形铁皮的面积为S，延长RP交AB于点E，如图，四边形BQPE、BCRE均为矩形，依题意，，，因此，，，所以.（2）由（1）知，令，因，则，，即，因此，显然此函数对称轴为，则当，即时，，所以矩形铁皮面积的最大值是，此时.例15．（2022·全国·高一单元测试）我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧（P为此圆弧的中点）和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧上．设OC与直径MN所成的角为．(1)试用分别表示矩形ABCD和的面积；(2)若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．（结果保留整数）【解析】（1）由题意，，易得：．所以矩形ABCD的面积为，的面积为．（2）设建造观景区所需总费用为，由题意，，，即，，令，，设，则，由，从而．当，即时，有．所以最小值为（万元）．故当时，建造该观该景区总费用最低，且最低费用约为20万元．变式12．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）已知扇形（如图所示），圆心角，半径，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形，记，矩形的面积为y.(1)写出y与x的函数关系式，并化简；(2)求矩形面积的最大值，并求此时x的取值.【解析】（1）在直角中，，，在直角中，，又，所以，所以，即，.（2）因为，所以，所以当，即时，.变式13．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）扇形的圆心角为，所在圆半径OA为2，它按如图（Ⅰ）（Ⅱ）两种方式有内接矩形CDEF．图（Ⅰ）矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧AB上，顶点F在半径OA上，设；图（Ⅱ）点M是圆弧的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧AB上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设；设图（Ⅰ）下矩形CDEF面积的最大值为，图（Ⅱ）下矩形CDEF面积的最大值为，求出与，并比较与的大小．【解析】图（Ⅰ），在直角中，设，则，又由，所以．当，即时，矩形CDEF的面积最大，最大值为，即．图（Ⅱ），令ED与OM的交点为N，FC与OM的交点为P，设，，则，，又由，所以，当时，即时，矩形CDEF的面积最大，最大值为，即．因为，所以．变式14．（2022·江西·南昌县莲塘第一中学高一期中）某中学校园内有块扇形空地，经测量其半径为m，圆心角为.学校准备在此扇形空地上修建一所矩形室内篮球场ABCD，初步设计方案如图1所示.(1)求出初步设计方案中矩形ABCD面积的最大值.(2)你有没有更好的设计方案来获得更大的篮球场面积？若有在图2画出来，并证明你的结论.【解析】（1）如图所示，取弧的中点，连接OE，设交于，交于，显然矩形关于对称，而分别为，的中点.设在中，，，所以，即，而，故矩形的面积因为，所以，所以.故当，即时，取得最大值，此时，所以矩形面积的最大值为（2）如图所示，在半径上截取线段为矩形的一边，作得矩形.设，可得，则所以，因为，可得，所以当时，即时，有最大值为.即教室面积的最大值为.现将两种方案的最大值进行比较大小：因为，所以方案2更合算变式15．（2022·安徽·高一期中）某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园，如图所示．已知扇形的圆心角，半径为200米．现需要修建的花园为平行四边形，其中、分别在半径、上，在上．(1)求扇形的弧长和面积；(2)设，平行四边形的面积为S．求S关于角的函数解析式，并指出函数的定义域．【解析】(1)扇形的弧长为(米)．扇形的面积为(平方米)．(2)过作于，过作于．∵，∴，，∴．故=，即，定义域为．变式16．（2022·云南·昆明一中高一期末）如图，已知直线，A是之间的一定点，并且点A到，的距离分别为和2.B，C分别是直线上的动点，且，设，.(1)写出关于x的函数解析式；(2)求函数的最小值及相对应的x的值.【解析】(1)依题意，，而，，，则，由知，点B，C在直线DE同侧，均为锐角，则有，在中，，在中，，则，所以，.(2)由(1)得：因，即，当，即时，取最大值1，所以.变式17．（2022·湖南·高一课时练习）如图，矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上，且矩形ABCD的周长为l．如果AB与的夹角为，那么当为何值时，矩形的周长最大？【解析】依题意，在中，，而，在中，，，又，，则有，因此，，，于是得矩形的周长，因是AB与的夹角，则当时，取得最大值1，，所以当时，矩形的周长最大.【同步练习】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈的模型波动（的单位：千元，，，，为月份，且）．已知3月出厂价最高，为9千元，7月出厂价最低，为5千元，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意得：，解得：，又最小正周期为，所以，所以，将代入，解得：，则，，因为，所以当时，符合题意，综上：.故选：D2．（2022·全国·高一课时练习）若电流ⅠA．随着时间t（s）变化的函数的图象如图所示，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【解析】由题可知，，，，所以代入最值点坐标，得，所以，得，因为所以．故选：A．3．（2022·全国·高一单元测试）筒车是一种以水流作动力，取水灌田的工具，是中国古代人民伟大的发明之一.如图，已知某个半径为6m的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转2圈，筒车轴心O距水面3m，设筒车上某个盛水筒P，以P刚浮出水面时开始计算时间，则盛水筒P出水后第一次到达最高点的时间（单位：s）为（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】过O做OQ垂直水面，为最高点，如图所示由题意得，所以，则，所以，所以盛水筒P出水后第一次到达最高点要旋转，即为个周期，又筒车每分钟匀速旋转2圈，可得周期为30秒，所以盛水筒P出水后第一次到达最高点用时秒，故选：D4．（2022·辽宁·大连八中高一阶段练习）单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，那么单摆来回摆动的振幅（厘米）和一次所需的时间（秒）为（

）A．3，4 B．，4 C．3，2 D．，2【答案】A【解析】因为距离S（厘米）和时间t（秒）的函数关系为，所以单摆来回摆动的振幅为3和一次所需的时间为，故选：A5．（2022·江西·上饶中学高一阶段练习）铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，设为内切圆的圆心，为内切圆的半径．正十边形的每个外角为，内角为，所以，所以，，，得，解得．故选：B．6．（2022·全国·高一课时练习）表中给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．时刻0：003：006：009：0012：0015：0018：0021：0024：00水深（m）5.07.05.03.05.07.05.03.05.0若该港口的水深y(m)和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数来近似描述，则该港口在11：00的水深为（

）A．4m B．5m C．6m D．7m【答案】A【解析】由表格知函数的最大值是7，最小值是3，则满足，得A＝2，h＝5，相邻两个最大值之间的距离T＝15－3＝12，即12，则ω，此时，当t＝11时，.故选：A．7．（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【解析】因为角速度为，所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为，由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和，因为，所以，所以，，所以，所以，即他们所在的高度之和的最大值约为，故选：C8．（2022·北京·高一期中）如图，摩天轮的半径为40米.摩天轮的中心O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转.每30分钟转一圈.若摩天轮上点P的起始位置在最低点处.下面有关结论正确的是（

）A．经过10分钟，点P距离地面的高度为45米B．第25分钟和第70分钟点P距离地面的高度相同C．从第10分钟至第20分钟，点P距离地面的高度一直在上升D．摩天轮旋转一周，点P距离地面的高度不低于65米的时间为10分钟【答案】D【解析】由题设，摩天轮每分钟的角速度为，若转动分钟，P距离地面的高度为，则，所以，经过10分钟米，A错误；第25分钟米；第70分钟米，B错误；由，则，即P距离地面的高度先增大后减小，C错误；由题设，，即，在一周内P距离地面的高度不低于65米有，可得，故时间长度为10分钟，D正确.故选：D二、多选题9．（2022·广东清远·高一期中）如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距水面2m，已知水轮每分钟转5圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足关系式，则有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】由题意可知，可得，该函数的周期为，∴.故选：BCD.10．（2022·全国·高一）如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心O到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q，现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（

）A．点Q距离水平地面的高度与时间的函数为B．点Q距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为C．经过10分钟点Q距离地面35米D．摩天轮从开始转动一圈，点Q距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟【答案】CD【解析】由题意知，OQ在分钟转过的角为，所以以OQ为终边的角为，所以点Q距离水平地面的高度与时间的关系为，故A错误；由，得，所以不是对称中心，故B错误；经过10分钟，，故C正确；由，得，得，解得，共20分钟，故D正确.故选：CD11．（2022·全国·高一单元测试）汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图），证明了被称为几何学的基石——勾股定理的正确性，现将弦图中的四条股延长相同的长度得到如图所示的一个“数学风车”，现以弦图的中心为坐标原点O，线段OA在如图所示的x轴上（其中有两“股”线延长交x，y轴分别为A，B），此“数学风车”绕点O逆时针匀速旋转一周的时间为2秒，，分别用，表示t秒后A，B两点的纵坐标，那么以下选项正确的有（

）A．函数与的图象经过平移后可以重合B．函数的最