苏教版初升高一初数学预习专题07二次函数-初升高数学无忧衔接(学生版+解析)

专题07二次函数专题专题综述课程要求二次函数作为初中比较重要的知识点，已经研究了很多。相对于初中所研究的，高中学习二次函数更加注重将其与二次方程、二次不等式结合起来。同时，注重研究图像的各种变换关系，掌握变换前后的图像区别。新高一的同学要夯实初中基础，同时要理解新的知识。课程要求课程要求《初中课程要求》1、能根据条件求出二次函数表达式；2、能够掌握几种二次函数的形式；3、能由表达式得到对称轴、顶点、与轴交点等。《高中课程要求》1、掌握二次函数概念、图像特征；2、掌握二次函数单调性、对称性，会求在给定定义域上的值域；3、掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系。知识精讲知识精讲初中知识储备：二次函数初中知识储备：二次函数备：绝对值1．二次方程的几种形式一般式：y=a顶点式：y=a(x−ℎ)2+k(a交点式：y=a(x−x1)(x−x2)(a≠02.二次函数的平移变换函数y=(x+ℎ)2+k例如：y=(x+1)2的图像由y=(x−2)2的图像由总结：左右的移动是对x的变动，左加右减。y=x2+1y=x2−1总结：上下的移动是对y的变动，上加下减。3.二次函数的对称变换y=x2+|x|的图像由y=x2总结：翻折变换是对y的变动，去左翻右。y=|x2+x|的图像由y=x2总结：翻折变换是对y的变动，保上翻下。典例剖析典例剖析例题1．已知二次函数的图象与轴有且只有一个公共点．①求的顶点坐标；②将向下平移若干个单位后，得抛物线，如果与轴的一个交点为，求的函数关系式，并求与轴的另一个交点坐标；（2）若，是上的两点，且，求实数的取值范围．变式训练变式训练1.如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．能力提升能力提升1.已知：二次函数的图象经过，两点．（1）求二次函数的表达式．（2）将原点向上平移个单位得到点，过点作轴交抛物线于点，（在的右侧），且，求的值．对点精练对点精练1．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A． B． C． D．2．若坐标平面上二次函数的图形，经过平移后可与的图形完全叠合，则a、b、c的值可能为下列哪一组？（）A．，， B．，，C．，， D．，，3．如图，已知抛物线与轴交于、两点，将该抛物线向右平移（）个单位长度后得到抛物线，与x轴交于、两点，记抛物线的函数表达式为．则下列结论中错误的是（）A．若，则抛物线的函数表达式为：B．C．不等式的解集是D．对于函数，当时，随的增大而减小4．已知二次函数，当时，，则m的取值范围为（）A． B． C． D．5．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①点，，是该抛物线上的点，则﹔②；③；④；⑤（t为实数），其中正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤6．二次函数（、均为常数）的图象经过、、三点．若，则的取值范围是_________________7．将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则实数b的取值范围是_____________．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．9．将二次函数（）的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的表达式是，则原函数的表达式是________．10．已知函数，下列说法：①方程必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当时，抛物线顶点在第三象限；④若，则当时，y随着x的增大而增大．其中正确的序号是__________．11．已知函数是关于的二次函数．（1）求的值．（2）当为何值时，该函数有最小值？最小值是多少？12．（1）已知是y关于x的二次函数．求m的值；（2）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点及点①求二次函数的解析式及B的坐标②根据图象，直按写出满足的x的取值范围13．已知二次函数（a是常数，）．（1）若该二次函数图象经过三点中的一个点，求该函数表达式．（2）当时，y有最小值，若将该二次函数图象向右平移个单位，平移后的图象的函数在的范围内有最小值，求a，k值．14．已知抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝4．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．15．已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．专题07二次函数专题专题综述课程要求二次函数作为初中比较重要的知识点，已经研究了很多。相对于初中所研究的，高中学习二次函数更加注重将其与二次方程、二次不等式结合起来。同时，注重研究图像的各种变换关系，掌握变换前后的图像区别。新高一的同学要夯实初中基础，同时要理解新的知识。课程要求课程要求《初中课程要求》1、能根据条件求出二次函数表达式；2、能够掌握几种二次函数的形式；3、能由表达式得到对称轴、顶点、与轴交点等。《高中课程要求》1、掌握二次函数概念、图像特征；2、掌握二次函数单调性、对称性，会求在给定定义域上的值域；3、掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系。知识精讲知识精讲初中知识储备：二次函数初中知识储备：二次函数备：绝对值1．二次方程的几种形式一般式：y=a顶点式：y=a(x−ℎ)2+k(a交点式：y=a(x−x1)(x−x2)(a≠02.二次函数的平移变换函数y=(x+ℎ)2+k例如：y=(x+1)2的图像由y=(x−2)2的图像由总结：左右的移动是对x的变动，左加右减。y=x2+1y=x2−1总结：上下的移动是对y的变动，上加下减。3.二次函数的对称变换y=x2+|x|的图像由y=x2总结：翻折变换是对y的变动，去左翻右。y=|x2+x|的图像由y=x2总结：翻折变换是对y的变动，保上翻下。典例剖析典例剖析例题1．已知二次函数的图象与轴有且只有一个公共点．①求的顶点坐标；②将向下平移若干个单位后，得抛物线，如果与轴的一个交点为，求的函数关系式，并求与轴的另一个交点坐标；（2）若，是上的两点，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（−1，0）；（2）y＝（x＋1）2−4，（1，0）；（3）n＞2或n＜−4【分析】（1）由于二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0，由此可以确定m，进而即可求解；（2）首先设所求抛物线解析式为y＝（x＋1）2＋k，然后把A（−3，0）代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式；（3）由于图象C1的对称轴为直线x＝−1，所以知道当x≥−1时，y随x的增大而增大，然后讨论n≥−1和n≤−1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围．【详解】（1）y＝x2＋2x＋m＝（x＋1）2＋m−1，对称轴为直线x＝−1，∵抛物线与x轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0，∴C1的顶点坐标为（−1，0）；（2）设C2的函数关系式为y＝（x＋1）2＋k，把A（−3，0）代入上式得（−3＋1）2＋k＝0，得k＝−4，∴C2的函数关系式为y＝（x＋1）2−4．∵抛物线的对称轴为直线x＝−1，与x轴的一个交点为A（−3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；（3）对于y＝x2＋2x＋m＝（x＋1）2＋m−1，当x≥−1时，y随x的增大而增大，当≥−1时，∵y1＞y2，∴n＞2．当＜−1时，P（n，y1）的对称点坐标为（−2−n，y1），且−2−n＞−1，∵y1＞y2，∴−2−n＞2，∴n＜−4．综上所述：n＞2或n＜−4．【点睛】本题主要考查二次函数的图形和性质，掌握抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，抛物线平移的性质，抛物线的增减性，是解题的关键．变式训练变式训练1.如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线．（1）求a的值．（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．【答案】（1）；（2）【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案；（2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则从而可得平移方式及平移后的解析式．【详解】解：（1）．∵图象的对称轴为直线，∴，∴．（2）∵，∴二次函数的表达式为，∴抛物线向下平移3个单位后经过原点，∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键．能力提升能力提升1.已知：二次函数的图象经过，两点．（1）求二次函数的表达式．（2）将原点向上平移个单位得到点，过点作轴交抛物线于点，（在的右侧），且，求的值．【答案】（1）；（2）5【分析】（1）待定系数法求而出函数解析式即可（2）利用A、B两点坐标求出抛物线对称轴为，和线段，由，求出线段，利用对称轴求出点C的横坐标，再求纵坐标即可．【详解】解：（1）把点，代入解析式：，∴，，∴．（2）∵对称轴为，，∴，∴，∵二次函数对称轴为直线，∴，∴点C（-2，m）∵点C在抛物线上∴．∴的值为5．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线平移问题，利用抛物线的轴对称性，求平移后的C点坐标是解题关键．对点精练对点精练1．在平面直角坐标系中，将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．【详解】解：∵的顶点坐标为（0，0）∴将二次函数的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），∴所得抛物线对应的函数表达式为，故选B【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．2．若坐标平面上二次函数的图形，经过平移后可与的图形完全叠合，则a、b、c的值可能为下列哪一组？（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】A【分析】利用平移抛物线形状不变，即a值不变，先确定a，再确定b,c的值即可．【详解】解：二次函数的图形，经过平移后可与的图形完全叠合，．故选：A．【点睛】此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键．3．如图，已知抛物线与轴交于、两点，将该抛物线向右平移（）个单位长度后得到抛物线，与x轴交于、两点，记抛物线的函数表达式为．则下列结论中错误的是（）A．若，则抛物线的函数表达式为：B．C．不等式的解集是D．对于函数，当时，随的增大而减小【答案】D【分析】利用平移规律求出将该抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线的解析式为．当n=2即可直接求出的解析式，即可判断A；对于，令，即，解出x，即可知点C、D坐标，即可求出CD的长，即可判断B；，即，解出不等式即可判断C；由的解析式为，可知其对称轴为，根据抛物线开口向下，即可知当时，y随x的增大而减小，即可判断D．【详解】将改为顶点式为．则将该抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线的解析式为．当n=2时，抛物线的解析式为，整理得：，故A正确，不符合题意；对于，令，即，解得：．即C(，0)、D(，0)，∴．故B正确，不符合题意；，即，∴∴∴，故C正确，不符合题意；∵的解析式为，∴其对称轴为，∵该抛物线开口向下，∴当时，y随x的增大而减小．故D错误，符合题意．故选D．【点睛】本题考查二次函数的平移，二次函数的图象和性质．掌握其平移规律“上加下减，左加右减”是解答本题的关键．4．已知二次函数，当时，，则m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得该函数的开口方向为向上，对称轴为x=1，且当x=1时，该函数取得最小值2-a．又由当y＝2时，x＝2或x＝0，结合题意即可求出m的取值范围．【详解】解：二次函数，∴该函数图象开口向上，对称轴是直线x=1，∴当x=1时，该函数取得最小值-a+2，∵当时，，且当y＝2时，x＝2或x＝0，∴，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．5．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①点，，是该抛物线上的点，则﹔②；③；④；⑤（t为实数），其中正确的是（）A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤【答案】B【分析】根据抛物线的开口向下且对称轴为直线知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断①，根据抛物线的对称轴可判断②，由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断③，由时可判断④，由时函数取得最大值可判断⑤．【详解】解：抛物线的开口向下，且对称轴为直线，抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，，故①错误；抛物线的对称轴为直线，，故②正确；与轴的一个交点在和之间，由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间，抛物线与轴的交点在轴的负半轴，即，故③正确；由③知，时，且，即，故④正确；由函数图象知当时，函数取得最大值，，即为实数），故⑤错误；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．6．二次函数（、均为常数）的图象经过、、三点．若，则的取值范围是_________________【答案】【分析】由二次函数可知，开口向上，对称轴为，再根据，，三点横纵坐标的大小关系进行判断求解．【详解】解：由二次函数可知，开口向上，对称轴为在对称轴左侧函数值随的增加而减小，在对称轴右侧随的增大而增大．注意到，两点的横坐标之和正好是横坐标的二倍，又∵∴（若，，不符合题意）又∵∴（若，，不符合题意）故答案为：．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的有关性质是解题的关键．7．将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数的图象有公共点，则实数b的取值范围是_____________．【答案】【分析】先根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可求出b的取值．【详解】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y=（x-3）2-1，则，∴（x-3）2-1=2x+b，整理得，x2-8x+8-b=0，∴△=（-8）2-4×1×（8-b）≥0，解得，b≥-8，故答案是：b≥-8．【点睛】主要考查的是函数图象的平移和两函数的交点问题，两函数有公共点：说明两函数有一个交点或两个交点，可利用方程组→一元二次方程→△≥0的问题解决．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，如果抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后恰好能同时经过O、A、B三点，那么a+b+c＝_____．【答案】【分析】根据等腰直角三角形的性质求得A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，然后把O、A、B的坐标代入，根据待定系数法即可求得a、b、c的值，进而即可求得a+b+c的值．【详解】解：∵等腰直角三角形OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝4，∴A（4，0），B（2，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c向下平移4个单位后得到y＝ax2+bx+c﹣4，∵平移后恰好能同时经过O、A、B三点，∴，解得，∴a+b+c2+4，故答案为．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．9．将二次函数（）的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的表达式是，则原函数的表达式是________．【答案】【分析】根据二次函数表达式是易得新抛物线的顶点，然后得到经过平移后的原抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数可得原抛物线解析式．【详解】解：∵平移后抛物线的解析式是，∴此抛物线的顶点为(1，4)，∵向左平移3个单位，再向上平移2个单位可得原抛物线顶点，∴原抛物线顶点为(-2，6)，∴原抛物线的解析式是．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象的平移与坐标的变化规律是解题的关键．10．已知函数，下列说法：①方程必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当时，抛物线顶点在第三象限；④若，则当时，y随着x的增大而增大．其中正确的序号是__________．【答案】①③【分析】由二次函数与x轴的交点以及二次函数的性质来逐一判断．【详解】解：与坐标轴交于，①解得，故正确；②与坐标轴交于，向右移动一个单位，或移动个单位皆可，故错误；③时，，所以对称轴在x轴的左侧，此时开口又向上，与x轴有两个交点，故正确；④时，开口向上，对称轴为，无法判断与-1的大小，即无法说明当时，y随着x的增大而增大，故错误，故答案为：①③．【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点、图像平移；关键在于要熟悉二次函数的性质，并会根据条件求出字母系数的值．11．已知函数是关于的二次函数．（1）求的值．（2）当为何值时，该函数有最小值？最小值是多少？【答案】（1）或；（2）时函数有最小值为【分析】（1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题．（2）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值；【详解】解：（1）∵函数是关于x的二次函数，∴，且m＋3≠0，解得：，；（2）∵m＝−4或1，∵当m＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，∴m＞−3，∵m＝−4或1，∴当m＝1时，函数为，该函数有最小值，最小值为-1．【点睛】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．12．（1）已知是y关于x的二次函数．求m的值；（2）如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于点及点①求二次函数的解析式及B的坐标②根据图象，直按写出满足的x的取值范围【答案】（1）；（2）①二次函数的解析式是，点B的坐标是（4，3）；②【分析】（1）根据二次函数的定义可得，进一步即可求出结果；（2）①把点代入即可求出m，进而可得二次函数的解析式，把点B坐标代入抛物线的解析式可得关于n的方程，解方程即可求出n，进一步可得点B坐标；②所求结果即为直线比抛物线高的部分图象对应的x的取值范围，据此解答即可．【详解】解：（1）由题意得：，解得：；（2）①把点代入，得，解得：，∴二次函数的解析式是，当y=3时，，解得：n=0（舍去）或n=4，∴点B的坐标是（4，3）；②由图象可得：满足的x的取值范围是：．【点睛】本题考查了二次函数的定义、二次函数图象上点的坐标特征、两个函数的交点、一元二次方程的解法和二次函数与不等式的关系等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．13．已知二次函数（a是常数，）．（1）若该二次函数图象经过三点中的一个点，求该函数表达式．（2）当时，y有最小值，若将该二次函数图象向右平移个单位，平移后的图象的函数在的范围内有最小值，求a，k值．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）a=1，k=2【分析】（1）当x=1时，y=0；x=-3时，y=0；所以抛物线过点A；（2）根据题意当x=-1

时，y=-4，代入y=ax2+2ax-3a求得a=1，得到抛物线为y=x2+2x-3经过（0，-3），进而得出将该二次函数图象向右平移k（k＞1）个单位后也经过（0，-3），根据二次函数的对称性即可求得平移前的对应点为（-2，3），从而求得k=2．【详解】解：（1）把点B（-1，4）代入y=ax2+2ax-3a得a=-1；把点A（1，1）代入y=ax2+2ax-3a

得0=1，∴A不在抛物线上；把点C（-3，12）代入y=ax2+2ax-3a

得0=12，∴C不在抛物线上，故函数表达式为：y=-x2-2x+3；（2）由已知得抛物线的对称轴为直线x=-1，∴当x=-1

时，y=-4，∴a-2a-3a=-4，∴a=1，∴y=x2+2x-3经过点（0，-3）．∵抛物线向右平移k（k＞1）个单位后y′的对称轴直线x＞0，又∵y′在-3<x≤0的范围内有最小值-3，∴y′也经过点（0，-3），∴由对称性可得平移前的对应点为（-2，3），∴k=2．【点睛】本题考查了二次函数图象性质及二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．数形结合便于理解．14．已知抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝4．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．【答案】（1）见解析；（2）①y＝x2﹣8x+15；②抛物线沿y轴向上平移1个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点【分析】（1）要证明不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点，只要证明b2﹣4ac＞0即可，然后代入数据计算即可；（2）①根据该抛物线的对称轴为直线x＝4，可以求得m的值，从而可以得到抛物线的函数解析式；②将①的函数解析式，化为顶点式，即可得到把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．【详解】（1）证明：∵抛物线y＝x2﹣（2m+2）x+m2+2m其中m是常数，∴[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4m2+8m+4﹣4m2﹣8m＝4＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）①∵抛物线y＝x2﹣（2