2024年中考数学【高分·突破】压轴题培优专题精练压轴热点考点10解三角形的四大模型(压轴突破)(原卷版+解析)

压轴热点考点10解三角形的四大模型火线100天压轴突破——2024年【中考冲刺】数学高频热点考点好题精编一、单选题1．如图，三角形OAB的顶点、、，C是OB边的中点，过点C作交x轴于点D，将沿x轴向右平移，当点C的对应点恰好落在AB边上时，此时点D对应点的坐标为（

）

A． B． C． D．2．如图，在中，为边上一点，以点为圆心，长为半径画圆，与射线相交于点．下列说法正确的有（

）①若为的中点，则与相切；②若点与点重合，则经过的中点；③若，则平分；④若被平分，则．A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键；设，求解，如图，过作于，可得当为的中点时，半径为，则①正确．当点与点重合时，如图，可得，②正确．当点在线段上时，，不存在；当点在射线上时，过点作，证明，证明，可得③正确．若被平分，即，此时点必在射线上，过点作，如图2，同理可得，可得④错误．3．以的顶点为圆心，大于二分之一为半径画弧与分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧，，，，那么的长是（

）A． B． C． D．4．如图，在中有两条互相垂直的直径，是的中点，连接，分别交，于点，连接，分别交于点，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．画的平分线的方法有多种，嘉嘉和淇淇的方法如图所示，下列判断正确的是（

）嘉嘉

①利用直尺和三角板画；②在上截取，使；③作射线，即为所求．淇淇

①利用圆规截取，；②连接，，相交于点；③作射线，即为所求．A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对6．如图，在中，，，以为圆心，为半径作，为线段上动点从运动到，过作的切线，切点为，则的取值范围是()

A． B． C． D．7．如图，已知点均在上，为的直径，弦的延长线与弦的延长线交于点，连接．则下列命题为假命题的是（

）

A．若点是的中点，则B．若，则C．若，则D．若半径平分弦，则四边形是平行四边形二、填空题8．如图，平行四边形的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为．

9．定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图②，在中，，，，点P在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是．10．如图，已知D为等腰的腰上一点，绕点D逆时针旋转至，连接，，M为的中点，则当时，．

11．如图，E、F、G、H分别是四边形边，，，中点，与、分别交于点M和点N，与、分别交于点Q和点P，下列结论：①与的面积和可能等于四边形面积的一半；②四边形与四边形的面积和一定不等于四边形面积；③与的面积和不一定等于与的面积和；④、、、的面积和一定等于四边形的面积．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）

12．如图，线段与线段交于点E，，若，，则的长为．

13．在等腰直角三角形ABC中，，，D为的中点，作关于的对称图形，并连接．（1）的长为；；（2）．14．如图，点O为的外心，过点O分别作AB、AC的垂线、，交BC于D、E两点．

（1）若，则的度数为；（2）过点O作于点F，，则的周长为．三、解答题15．（1）如图1，中，点D是边的中点，若，，求中线的取值范围．解：∵点D是边的中点，∴，将绕点D旋转得到，即得，且A，D，E三点共线，在中，可得的取值范围是：；∴的取值范围是：．（2）如图2，在中，，点D是边的中点，，的两边分别交于点E，交于点F，连接．探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．16．如图1，是正方形的边上一个动点，连接的平分线交于点，直线于点，交于点，交的延长线于点，连接．(1)求证：．(2)如图2，若，连接并延长，交于点．①求证：；②求的值．17．如图，将纸片按照下列图示方式折叠：①将沿折叠，使得点落在边上的点处，折痕为；②将沿折叠，使得点与点重合，折痕为；③将沿折叠，点落在点处，展开后如图，、、、为图折叠过程中产生的折痕．(1)求证：；(2)若落在的右侧，求的范围；(3)是否存在使得与的角平分线重合，如存在，请求的大小；若不存在，请说明理由．18．如图①，已知线段a、b和．如图②，小明在射线上顺次截取，，在射线上顺次截取，．连接、和，，．(1)求的长；(2)小明继续作图，如图③，分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点、，连接，分别交、于点、．如果，求的长．19．【基础巩固】（1）如图1，四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．【灵活运用】（2）如图2，中，点E，F分别在边，上，，，的延长线交的延长线于点G，若，，求的长．【拓展提高】（3）如图3，矩形中，，，点E，F分别在边，上，，，求的长度．20．小张家住在一栋总高22层的单元楼的3层，他们家对面有栋不知高度的商业写字楼，在两楼之间还有一间室内体育馆．小张站在自己家阳台刚好只能看见写字楼的顶端，他又上到楼顶发现又刚好只能看见写字楼与自己家同高度以上的部分，此时他测得俯视角为．已知小张所住单元楼层高3米，他想要知道前面写字楼的高度，于是他又去1楼测得单元楼距体育馆的距离为20米，请你帮小张计算一下写字楼的高度．（结果保留米，地面为1层）思维方向：相关知识：相关方法：标准呈现：压轴热点考点10解三角形的四大模型火线100天压轴突破——2024年【中考冲刺】数学高频热点考点好题精编一、单选题1．如图，三角形OAB的顶点、、，C是OB边的中点，过点C作交x轴于点D，将沿x轴向右平移，当点C的对应点恰好落在AB边上时，此时点D对应点的坐标为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据勾股定理可得，，由是的中点可得，，由题意可得：，可得，即可求得，即可求解．【详解】解：∵、、∴，，∴∵是的中点∴，∵，∴又∵∴，∴，即解得∵，，将沿x轴向右平移，当点C的对应点恰好落在AB边上时，可知是将沿x轴向右平移了个单位长度此时点对应的坐标为，即故选：A【点睛】此题考查了坐标与图形变化-平移，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，正确求得的长．2．如图，在中，为边上一点，以点为圆心，长为半径画圆，与射线相交于点．下列说法正确的有（

）①若为的中点，则与相切；②若点与点重合，则经过的中点；③若，则平分；④若被平分，则．A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键；设，求解，如图，过作于，可得当为的中点时，半径为，则①正确．当点与点重合时，如图，可得，②正确．当点在线段上时，，不存在；当点在射线上时，过点作，证明，证明，可得③正确．若被平分，即，此时点必在射线上，过点作，如图2，同理可得，可得④错误．【详解】解：设，，∴，如图，过作于，∴点到的距离，当为的中点时，半径为，与相切，①正确．当点与点重合时，如图，∴∴经过的中点，②正确．当点在线段上时，，，∴不存在；当点在射线上时，过点作，如图1，∵，，∴，为等腰直角三角形，．又，∴，，∴，∴，即平分，③正确．若被平分，即，此时点必在射线上，过点作，如图2，同理可得，，∴，即，④错误．故选：B．3．以的顶点为圆心，大于二分之一为半径画弧与分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧，，，，那么的长是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是角平分线的作图，勾股定理的应用，二次根式的化简，根据角平分线的作图可得，利用勾股定理和角的直角三角形的性质求出的长，再根据含30度角的直角三角形的性质可得答案．【详解】解：在中，∴∴∴在中，∴∴∴，∴；故选：C．4．如图，在中有两条互相垂直的直径，是的中点，连接，分别交，于点，连接，分别交于点，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识：由直径得，由是的中点得，可得，可判断①；连接，证明得可判断②；证明可判断③；在上截取，连接．证明可判断④．【详解】解：直径．．是的中点，，，①正确．连接．根据对称性易知．，，②正确．，∵∴，∴∵∴∴，∵∴∴，∴，③正确．在上截取，连接．，，，，④正确．综上分析可知，正确的共有4个．故选：A．5．画的平分线的方法有多种，嘉嘉和淇淇的方法如图所示，下列判断正确的是（

）嘉嘉

①利用直尺和三角板画；②在上截取，使；③作射线，即为所求．淇淇

①利用圆规截取，；②连接，，相交于点；③作射线，即为所求．A．只有嘉嘉对 B．只有淇淇对 C．两人都对 D．两人都不对【答案】C【分析】利用平行线的性质，等腰三角形的性质可判断嘉嘉的作法；利用三角形全等可判定淇淇的作法．【详解】∵，∴；

∵，∴，∴，故射线平分，故嘉嘉的作法正确；∵，∴，∴，∵，；

∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故射线平分，故淇淇的作法正确；故选C．【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．6．如图，在中，，，以为圆心，为半径作，为线段上动点从运动到，过作的切线，切点为，则的取值范围是()

A． B． C． D．【答案】A【分析】连接、,根据当时，线段最短，当在或点时，线段最长，进而分别求得的长，即可求解．【详解】解：连接、．是的切线，；根据勾股定理知，当时，线段最短，当在或点时，线段最长，①当时，在中，，，，，．②当在点时，在中，，，，的取值范围是，故选：A．

【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．7．如图，已知点均在上，为的直径，弦的延长线与弦的延长线交于点，连接．则下列命题为假命题的是（

）

A．若点是的中点，则B．若，则C．若，则D．若半径平分弦，则四边形是平行四边形【答案】D【分析】由圆的性质逐项判断即可得到答案．【详解】解：点是的中点，，，故选项A是真命题，不符合题意；为的直径，，即，若，则，，故选项B是真命题，不符合题意；若，则是等腰三角形，，，故选项C是真命题，不符合题意；由半径平分弦，不能证明四边形是平行四边形，故选项D是假命题，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了判断命题的真假、圆的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．二、填空题8．如图，平行四边形的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为．

【答案】1【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、三角形中位线的判定与性质等知识点，根据题意求得的长是解题的关键．由平行四边形可得,则，根据平分可得，从而可得，可得，进一步可得的长，再根据三角形中位线定理可得即可解答．【详解】解：在平行四边形中，∴是的中点，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵E是的中点，O是的中点，∴是的中位线，∴．故答案为1．9．定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形即为线段的“对角线正方形”．如图②，在中，，，，点P在边上，如果线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上，那么的长是．【答案】/【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：当线段的“对角线正方形”有两边同时落在的边上时，设正方形的边长为x，则，∵，∴，∴，∴，解得：，∴，，∴，故答案为：．10．如图，已知D为等腰的腰上一点，绕点D逆时针旋转至，连接，，M为的中点，则当时，．

【答案】/0.25【分析】连接，过点E作于点F，根据旋转的性质可得，，推出，则，根据三角形的中位线定理可得，通过证明，可推出，得出，即可求解．【详解】解：连接，过点E作于点F，∵绕点D逆时针旋转至，∴，，则，∵为等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴，∴点D为中点，∵M为的中点，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，即，则，∵，，，∴，∴，∴，即，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，相似三角性质对应边成比例．11．如图，E、F、G、H分别是四边形边，，，中点，与、分别交于点M和点N，与、分别交于点Q和点P，下列结论：①与的面积和可能等于四边形面积的一半；②四边形与四边形的面积和一定不等于四边形面积；③与的面积和不一定等于与的面积和；④、、、的面积和一定等于四边形的面积．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）

【答案】①④【分析】①当四边形是矩形时，分别与的面积和与四边形面积，可作判断；②连接，根据三角形的中线平分三角形的面积进行判断即可；③根据②中的结论可计算四边形面积，从而可作判断；④根据四边形的面积和与差可作判断．【详解】解：①当四边形是矩形时，如图1，设，，

∴与的面积和，四边形面积，此时与的面积和等于四边形面积的一半；故①正确；②如图2，连接，

∵是的中点，是的中点，∴，，∴四边形的面积四边形面积，同理可得：四边形的面积四边形面积，∴四边形与四边形的面积和四边形面积；故②不正确；③由②知：，，∴四边形面积，同理可得：与的面积和四边形面积，∴与的面积和等于与的面积和；故③不正确；④∵，∴，∵，∴、、、的面积和一定等于四边形的面积．故④正确故答案为：①④．【点睛】此题考查了四边形和三角形的面积，有难度，掌握三角形中线平分线三角形的面积是解此题的关键．12．如图，线段与线段交于点E，，若，，则的长为．

【答案】7【分析】分别过点A，D作，垂足分别为M，N，则，可得均为等腰直角三角形，再由，可得，设，则，，，再由勾股定理可求出x，y的值，即可求解．【详解】解：如图，分别过点A，D作，垂足分别为M，N，则，∴，∵，∴，均为等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，设，则，，∴，∵，，∴，解得：，（舍去），∴．故答案为：7【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，根据题意得到是解题的关键．13．在等腰直角三角形ABC中，，，D为的中点，作关于的对称图形，并连接．（1）的长为；；（2）．【答案】/【分析】（1）由轴对称的性质得到，，，推出再利用勾股定理即可求解；（2）过点D作于点F．利用勾股定理求得，利用面积法得到，再根据正弦定义求解即可.【详解】解：（1）∵在等腰直角三角形ABC中，，∴．∵与关于对称，∴，，∴．∵D为中点，，∴．∴；故答案为：；（2）过点D作于点F．

∵与关于对称，∴垂直平分．∵，∴．由勾股定理求得，，∴．根据三角形面积公式得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠有性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14．如图，点O为的外心，过点O分别作AB、AC的垂线、，交BC于D、E两点．

（1）若，则的度数为；（2）过点O作于点F，，则的周长为．【答案】【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，，从而有，，由三角形内角和定理，从而由可求得结果；（2）连接，由已知可得点O在线段的垂直平分线上，则可得；再利用线段垂直平分线的性质得，，最后可求得周长的值．【详解】（1）∵点O为中的外心，，，∴、是的垂直平分线，∴，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴；故答案为：；（2）连接，∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，∴，，∴，∴点O在线段的垂直平分线上，∵，∴，∵，，∴的周长．

故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质与判定是关键．三、解答题15．（1）如图1，中，点D是边的中点，若，，求中线的取值范围．解：∵点D是边的中点，∴，将绕点D旋转得到，即得，且A，D，E三点共线，在中，可得的取值范围是：；∴的取值范围是：．（2）如图2，在中，，点D是边的中点，，的两边分别交于点E，交于点F，连接．探究线段、、之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）结合解题步骤及求得不等式组的解集，确定的取值范围；（2）将绕点D旋转得到，连接，即得，从而得出，，，然后结合线段中垂线和直角三角形的性质分析推理．【详解】解：（1）∵，∴∴，又∵；∴，即，故答案为：；（2）∵点D是边的中点，∴，将绕点D旋转得到，连接，即得，∴，，，且E、D、G三点共线，∵在中，，∴，∴，即，∵，且，∴垂直平分，∴∵在中，，∴，∴．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键．16．如图1，是正方形的边上一个动点，连接的平分线交于点，直线于点，交于点，交的延长线于点，连接．(1)求证：．(2)如图2，若，连接并延长，交于点．①求证：；②求的值．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键，（1）根据正方形的性质和角平分线的性质可得和即可求证；（2）①利用（1）的结论和，可证明进而得证；②延长交于点．利用①的结论和可得进而证明，和，从而得出，设，根据等量关系建立方程即可求解．【详解】（1）（1）如图1，四边形是正方形．平分，，，又，．（2）解：由（1）知．，．．②延长交于点，由①知，，，．，．又，．，．，，．设，即，解得（舍去），．17．如图，将纸片按照下列图示方式折叠：①将沿折叠，使得点落在边上的点处，折痕为；②将沿折叠，使得点与点重合，折痕为；③将沿折叠，点落在点处，展开后如图，、、、为图折叠过程中产生的折痕．(1)求证：；(2)若落在的右侧，求的范围；(3)是否存在使得与的角平分线重合，如存在，请求的大小；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)；(3)不存在，理由见解析．【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．（1）由第二次翻折可得垂直平分，由第一次翻折可得，证出四边形是菱形，则可得出结论；（2）设，求出，，当落在的右侧时，，求出，则可得出答案；（3）设，，，得出，求出，，则可得出结论．【详解】（1）证明：由第二次翻折可得垂直平分，由第一次翻折可得，与垂直且互相平分，四边形是菱形，；（2）解：设，四边形是菱形，，，，当落在的右侧时，，，，；（3）解：不存在．若存在使得与的角平分线重合，设，，，，，，不存在使得与的角平分线重合．18．如图①，已知线段a、b和．如图②，小明在射线上顺次截取，，在射线上顺次截取，．连接、和，，．(1)求的长；(2)小明继续作图，如图③，分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点、，连接，分别交、于点、．如果，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及基本作图.（1）由两边对应成比例及夹角相等，两三角形相似证明，在相似三角形性质即可求解；（2）在由勾股定理求出，再根据作法可知是的垂直平分线，证明，由相似三角形性质即可求解.【详解】（1）解：∵，，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴∴，（2）∵，，，∴，由作法可知，是的垂直平分线，即，，∵，，∴，∴，即，∴19．【基础巩固】（1）如图1，四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．【灵活运