备战2024年高考数学一轮复习9.1直线方程与圆的方程(精讲)(原卷版+解析)

9.1直线方程与圆的方程（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一直线的倾斜角与斜率【例1-1】直线的倾斜角为（）A． B． C． D．【例1-2】已知，且三点共线，则（）A． B． C． D．【例1-3】直线与的夹角为．【一隅三反】1.（2022·全国·高二）若倾斜角为的直线过，两点，则实数（

）A． B． C． D．2．（2022·吉林）已知直线l：的倾斜角为，则（

）A． B．1 C． D．－13．（2023·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．4.（2022·江苏）已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（

）A． B．C． D．考点二直线的位置关系【例2-1】若，则“”是“直线和直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【例2-2】已知直线，，且，点到直线的距离（）A． B． C． D．【一隅三反】1．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2022广东）已知直线：.直线：，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．直线过定点 D．直线过定点3．若方程组无解，则实数．考点三直线与圆的位置关系【例3-1】（2022浙江）当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（）A． B． C．-1 D．1【例3-2】已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（）A． B． C． D．【一隅三反】1（2022江苏）．过点的直线l与圆有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．2．（2022江西）若直线l∶截圆所得的弦长为2，则k的值为.3．（2022江苏）若直线与圆相切，则实数．4．（2022湖南）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．考点四圆与圆的位置关系【例4-1】（2022徐汇期末）已知圆和圆内切，则m的值为．【例4-2】（2022·河东模拟）圆与圆的公共弦长为．【例4-3】（2022南京期末）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（）A．4条 B．2条 C．1条 D．0条【一隅三反】1．（2022汉中期中）已知，，那么它们的位置关系是（）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含2．（2022·邯郸模拟）已知圆：和圆：，则“”是“圆与圆内切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2022·河西模拟）设与相交于两点，则．4．（2022·石家庄模拟）（多选）已知圆与圆，则下列说法正确的是（）A．若圆与x轴相切，则B．若，则圆与圆相离C．若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为D．直线与圆始终有两个交点考点五切线与切线长【例5-1】（2022·朝阳模拟）过点作圆的切线，则切线方程为（）A． B．C． D．或【例5-2】（2022·湖北模拟）若圆关于直线对称，则从点向圆作切线，切线长最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【例5-3】（2022·广东模拟）（多选）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则（）A．线段的长度大于B．线段的长度小于C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为【一隅三反】1．（2022·兴化模拟）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为．2．（2022·广西模拟）过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为（）A．2 B． C． D．3.（2022·陕西模拟）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（）A． B．C． D．考点六对称问题【例6-1】（2022广东）如果关于直线l的对称点为，则直线l的方程是()A． B． C． D．【例6-2】（2022云南）与直线2x+y－1=0关于点（1，0）对称的直线方程是（）A．2x+y－3=0 B．2x+y+3=0 C．x+2y+3=0 D．x+2y－3=0【例6-3】（2022海南）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（）A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0【一隅三反】1．（2022河北）已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（）A． B． C． D．2．直线l：x－y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为()A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝03.已知直线，直线，则关于对称的直线方程为（）A． B． C． D．9.1直线方程与圆的方程（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一直线的倾斜角与斜率【例1-1】直线的倾斜角为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知得，故直线斜率由于倾斜的范围是，则倾斜角为.故答案为：B.【例1-2】已知，且三点共线，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因为三点共线，所以，即，解得，所以。故答案为：A.【例1-3】直线与的夹角为．【答案】【解析】直线的斜率，即倾斜角满足，直线的斜率，即倾斜角满足，所以，所以，又两直线夹角的范围为，所以两直线夹角为，故答案为：.【一隅三反】1.（2022·全国·高二）若倾斜角为的直线过，两点，则实数（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，所以，解得；故选：C2．（2022·吉林）已知直线l：的倾斜角为，则（

）A． B．1 C． D．－1【答案】A【解析】因为直线l的倾斜角为，所以斜率.所以，解得：.故选：A3．（2023·全国·高三专题练习）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为直线的斜率为，且，，因为，.故选：A.4.（2022·江苏）已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当直线的倾斜角时，直线的斜率，因，则当时，，即，当时，，即，所以直线的斜率k的取值范围是.故选：D考点二直线的位置关系【例2-1】若，则“”是“直线和直线平行”的（）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【解析】由直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行，可得ab=1.反之不成立，例如a=b=1时，两条直线都为x+y-1=0，所以两条直线重合.ab=1是“直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行”的必要不充分条件.故选C.【例2-2】已知直线，，且，点到直线的距离（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由可得，解得，故故答案为：D【一隅三反】1．“”是“直线：与直线：互相垂直”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，，解得或，所以“”是“直线：与直线：互相垂直”的充分不必要条件.故答案为：A2．（2022广东）已知直线：.直线：，则下列命题正确的是（）A．若，则 B．若，则C．直线过定点 D．直线过定点【答案】BCD【解析】A.若，则或，经检验此时两直线平行，所以该选项错误；B.若，则，所以该选项正确；C.直线当时，无论取何值，恒成立，所以此时直线过定点，所以该选项正确；D.直线当时，无论取何值，恒成立，所以直线过定点，所以该选项正确.故答案为：BCD3．若方程组无解，则实数．【答案】±2【解析】因为方程组无解，所以两直线平行，可得.考点三直线与圆的位置关系【例3-1】（2022浙江）当圆截直线所得的弦长最短时，m的值为（）A． B． C．-1 D．1【答案】C【解析】直线过定点，圆的圆心为，半径，当时，圆截直线所得的弦长最短，由于，所以，即.故答案为：C【例3-2】已知圆经过原点，则圆上的点到直线距离的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图：圆心为，经过原点，可得则圆心在单位圆上，原点到直线的距离为延长BO交于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，当圆心在C处时，点到直线的距离最大为此时，圆上点D到直线的距离最大为故答案为：B【一隅三反】1（2022江苏）．过点的直线l与圆有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设直线的倾斜角为，圆心到直线l的距离为，当直线l的斜率不存在时，易得，此时，符合题意，；当直线l的斜率存在时，设直线，即，此时，解得或，即或；综上可得.故答案为：C.2．（2022江西）若直线l∶截圆所得的弦长为2，则k的值为.【答案】【解析】由题意得，圆心到直线的距离为，则，即，解得.故答案为：3．（2022江苏）若直线与圆相切，则实数．【答案】25【解析】直线与圆相切，圆心到直线的距离平方可得，解得故答案为：254．（2022湖南）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】到点的距离为2的点在圆上，所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上，即两圆相交，故，所以或.故选：A.考点四圆与圆的位置关系【例4-1】（2022徐汇期末）已知圆和圆内切，则m的值为．【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，所以两圆的圆心距，又因为两圆内切，有，解得.故答案为：.【例4-2】（2022·河东模拟）圆与圆的公共弦长为．【答案】【解析】两圆方程相减得，即，原点到此直线距离为，圆半径为，所以所求公共弦长为．故答案为：．【例4-3】（2022南京期末）已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有（）A．4条 B．2条 C．1条 D．0条【答案】B【解析】由，得圆，半径为，由，得，半径为所以，，，所以，所以圆与圆相交，所以圆与圆有两条公共的切线。故答案为：B.【一隅三反】1．（2022汉中期中）已知，，那么它们的位置关系是（）A．外离 B．相切 C．相交 D．内含【答案】C【解析】方程可化为，得，，方程可化为，得，，，，故两圆相交。故答案为：C.

2．（2022·邯郸模拟）已知圆：和圆：，则“”是“圆与圆内切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若圆与圆内切，则圆心距，即，得或，所以是圆与圆内切的充分不必要条件.故答案为：A3．（2022·河西模拟）设与相交于两点，则．【答案】【解析】将和两式相减：得过两点的直线方程：，则圆心到的距离为，所以，故答案为：4．（2022·石家庄模拟）（多选）已知圆与圆，则下列说法正确的是（）A．若圆与x轴相切，则B．若，则圆与圆相离C．若圆与圆有公共弦，则公共弦所在的直线方程为D．直线与圆始终有两个交点【答案】BD【解析】因为圆，所以若圆与x轴相切，则有，A不符合题意；当时，，两圆相离，B符合题意；由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，C不符合题意；直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，D符合题意.故答案为：BD

考点五切线与切线长【例5-1】（2022·朝阳模拟）过点作圆的切线，则切线方程为（）A． B．C． D．或【答案】C【解析】由圆心为，半径为，斜率存在时，设切线为，则，可得，所以，即，斜率不存在时，显然不与圆相切；综上，切线方程为.故答案为：C【例5-2】（2022·湖北模拟）若圆关于直线对称，则从点向圆作切线，切线长最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】由圆，可得，∴圆心，又圆关于直线对称，∴，即，由点向圆所作的切线长为：，即切线长最小值为4.故答案为：C.【例5-3】（2022·广东模拟）（多选）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则（）A．线段的长度大于B．线段的长度小于C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为【答案】A,D【解析】如图示：，根据直角三角形的等面积方法可得，，由于，故，由于，A符合题意，B不符合题意；当直线与圆相切时，由题意可知AP斜率存在，故设AP方程为，则有，即，即或，设原点到直线的距离为d，则，当时，；当时，，C不符合题意；当直线平分圆的周长时，即直线过点，AP斜率存在，设直线方程为，即，则，即，故原点到直线的距离为，则，D符合题意；故答案为：：AD【一隅三反】1．（2022·兴化模拟）从圆外一点向圆引切线，则此切线的长为．【答案】2【解析】将圆化为标准方程：，则圆心，半径1，如图，设，，切线长．故答案为：2

2．（2022·广西模拟）过圆上一点A作圆的切线，切点为B，则的最小值为（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】设圆与圆的圆心分别为O，C，则，当最小时，最小，由于点A在圆O上，则的最小值为，所以的最小值为.故答案为：B.3.（2022·陕西模拟）已知圆，P为直线上的动点，过点P作圆C的切线，切点为A，当的面积最小时，的外接圆的方程为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题可知，，半径，圆心，所以，要使的面积最小，即最小，的最小值为点到直线的距离，即当点运动到时，最小，直线的斜率为，此时直线的方程为，由，解得，所以，因为是直角三角形，所以斜边的中点坐标为，而，所以的外接圆圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为.故答案为：C.考点六对称问题【例6-1】（2022广东）如果关于直线l的对称点为，则直线l的方程是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因为已知点关于直线l的对称点为，故直线l为线段的中垂线，求得的中点坐标为，的斜率为，故直线l的斜率为-3，故直线l的方程为，即。故答案为：A.【例6-2】（2022云南）与直线2x+y－1=0关于点（1，0）对称的直线方程是（）A．2x+y－3=0 B．2x+y+3=0 C．x+2y+3=0 D．x+2y－3=0【答案】A【解析】在所求直线上取点（x，y），关于点（1，0）对称的点的坐标为（a，b），则，∴a=2-x，b=-y，