苏教版八年级数学暑假第03讲轴对称图形的概念、性质、设计练习(学生版+解析)

第03讲轴对称图形的概念、性质、设计【学习目标】1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质。【基础知识】一．生活中的轴对称现象（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．（2）轴对称包含两层含义：①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．二．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．三．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．四．镜面对称1、镜面对称：有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．五．作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．六．利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．七．剪纸问题一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．八．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．【考点剖析】一．生活中的轴对称现象（共3小题）1．（真题•句容市期中）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是点．2．（真题•鼓楼区校级月考）已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有A、B两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球A，才能使A先碰到台边FC反弹后再击中球B？在图中画出A球的运动线路．3．（真题•常州期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（）A．点P B．点Q C．点M D．点N二．轴对称的性质（共3小题）4．（2022•新华区模拟）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个5．（真题•高邮市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝4，则点P1、P2之间的距离可能是（）A．0 B．7 C．9 D．106．（真题•凤翔县期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称．（1）线段AD的对称线段是，CD＝，∠CBA＝，∠ADC＝．（2）AE与BF平行吗？为什么？（3）若AE与BF平行，则能说明轴对称图形中对称点的连线一定互相平行吗？三．轴对称图形（共4小题）7．（2022•罗湖区校级一模）下列图形中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．8．（真题•盐都区月考）如图，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有个．9．（真题•海陵区校级月考）四个图形分别是正三角形、等腰梯形、长方形、正五边形，它们全部是轴对称图形，其中对称轴的条数最少的图形是．10．（2019春•滕州市期末）在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．四．镜面对称（共2小题）11．（真题•五常市期末）在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是．12．（真题•兴化市月考）从汽车后视镜中看见某车牌后5位号码是，该号码实际是．五．作图-轴对称变换（共2小题）13．（真题•丹徒区月考）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上，（网格线的交点叫做格点）且它们的坐标分别是A（2，﹣4）、B（3，﹣1）．（1）点B关于y轴的对称点的坐标是；（2）若点C的坐标是（0，﹣2），将△ABC先沿y轴向上平移4个单位长度后，再沿y轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，B1点的坐标是；（3）△A1B1C1的面积为；（4）在现有的网格中，到点B1距离为10的格点的坐标是．14．（真题•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）请用无刻度直尺与圆规在AB上作一点D，使得点B关于直线CD的对称点E恰好落在AC边上（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接CD、DE，①求△ADE与△BCD的面积之比；②求BD的长．六．利用轴对称设计图案（共4小题）15．（2020•岚山区模拟）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示．小明按如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用10个这样的图形拼出来的图形的总长度是（结果用含a、b的代数式表示）．16．（2019秋•浦东新区期末）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字的格子内．17．（真题•吴江区月考）如图，是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影，请你从其余的13个白色的小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形．请用三种方法在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴．（所画的三个图形不能全等）18．（2021•奉化区校级模拟）如图，在2×2的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．请在下面每一个图中，作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形．（画三个，不能重复）七．剪纸问题（共2小题）19．（真题•兴城市期中）如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是（）A． B． C． D．20．（真题•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于°．八．翻折变换（折叠问题）（共3小题）21．（真题•宜兴市期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若∠EFG＝α，则∠B'FC'的度数是（）A．α﹣45° B．2α﹣90° C．90°﹣α D．180°﹣2α22．（2022春•阜宁县校级月考）如图，E，F分别四边形ABCD的边AD，BC上的点，连接E，F，将四边形ABCD沿直线EF折叠．若点A，B都落在四边形ABCD的内部，记∠C+∠D＝α，则∠1+∠2＝．23．（真题•亭湖区校级月考）如图的三角形纸板中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD．（1）若AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，求△AED的周长；（2）若∠C＝100°，∠A＝70°，求∠BDE的度数．【过关检测】一、单选题1．（2018·江苏八年级月考）下列图形中对称轴条数最多的是（）A．等边三角形 B．正方形 C．等腰三角形 D．等腰梯形2．（2019·苏州市吴江区青云中学）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2020·江苏省江阴市第一中学八年级月考）给出下列5个图形：线段、等边三角形、角、平行四边形、正五边形，其中，一定是轴对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个4．（2020·扬州市江都区实验初级中学八年级月考）如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，如果再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形的标号不可能是（）A．1 B．2 C．4 D．65．（2020·江苏八年级期中）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2020·江苏昭阳湖初中八年级期中）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形，在这个的正方形格纸中，与成轴对称的格点三角形最多有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个7．（2019·江苏）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（）A．48° B．54° C．64° D．78°8．（2021·江苏八年级专题练习）如图，在4×4的正方形网格中，已将图中的三个小正方形涂上阴影，若再将图中其余小正方形任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A． B．5个 C．4个 D．3个9．（2019·江苏八年级月考）如图，直线是一条河，、是两个新农村定居点．欲在上的某点处修建一个水泵站，直接向、两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（）A． B．C． D．二、填空题10．（2019·南师附中树人学校八年级月考）在直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，直线经过点，并且与轴平行，与关于线对称．（1）图中格点的面积为______．（2）画出，并写出的顶点的坐标：______．（3）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点关于直线的对称点的坐标：______．11．（2021·江苏南京·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称点的坐标是______．12．（2020·江苏八年级月考）一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是，则这辆汽车的牌照号码应为_____．13．（2020·无锡市甘露学校（待删除）八年级月考）下列图形中：①线段；②正方形；③圆；④等腰梯形；⑤平行四边形．是轴对称图形的有______________个．14．（2020·江苏八年级月考）黑体汉字中的“中”“田”“日”等都是轴对称图形，请至少再写出三个具有这种特征的汉字：_____．15．（2020·江苏宿迁·）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种．16．（2020·无锡市大桥实验学校）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有___种选择．17．（2020·江苏东绛实验学校八年级月考）在“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有______个．18．（2020·南京市溧水区和凤初级中学）如图，在正方形网格中，分别将①②③④四个网格涂上阴影，能与原阴影部分构成一个轴对称图形的有____________．（填网格序号）三、解答题19．（2021·江苏八年级专题练习）如图，已知A(0，4)，B(－2，2)，C(3，0)．（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）写出A1，B1，C1的坐标．20．（2020·苏州市吴江区青云实验中学八年级月考）如图，在正方形网格上有一个．（1）作关于直线的轴对称图形；（2）作的边上的高；（3）若网格上的最小正方形边长为1，求的面积．21．（2020·无锡市积余实验学校八年级月考）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）．（1）在图中作出关于直线的对称图形（要求点与，与，与相对应）．（2）在直线上找一点，使得的周长最小．22．（2020·无锡市南长实验中学）如图，在由边长为1的小正方形组成的10×10的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线l的左侧，其四个顶点A，B，C，D分别在网格的格点上．（1）请你在所给的网格中画出四边形A1B1C1D1，使四边形A1B1C1D1和四边形ABCD关于直线l对称；（2）在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出四边形A1B1C1D1的面积．23．（2018·苏州新草桥中学）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；（2）线段被直线__________；（3）的面积为__________；（4）在直线上找一点，使的长最短．24．（2019·江苏）如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．25．（2020·江苏八年级月考）在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．第03讲轴对称图形的概念、性质、设计【学习目标】1.通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质。【基础知识】一．生活中的轴对称现象（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．（2）轴对称包含两层含义：①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．二．轴对称的性质（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．三．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．四．镜面对称1、镜面对称：有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．五．作图-轴对称变换几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．六．利用轴对称设计图案利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．七．剪纸问题一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．八．翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．【考点剖析】一．生活中的轴对称现象（共3小题）1．（真题•句容市期中）如图，桌面上有M、N两球，若要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是D点．【分析】利用对称的性质得出M经过的路径，进而得出答案．【解答】解：如图所示：要将M球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中N球，则4个点中，可以瞄准的是：D．故答案为：D．【点评】此题主要考查了生活中轴对称现象，正确利用对称的性质是解题关键．2．（真题•鼓楼区校级月考）已知：如图，CDEF是一个长方形的台球面，有A、B两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球A，才能使A先碰到台边FC反弹后再击中球B？在图中画出A球的运动线路．【分析】首先作出点A关于FC的对称点A′，再连接A′B，然后可得A球的运动路线．【解答】解：如图所示：运动路线：A→P→B．【点评】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质．3．（真题•常州期中）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的位置即可．【解答】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，∵2022÷6＝337，∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹，∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，故选：A．【点评】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．二．轴对称的性质（共3小题）4．（2022•新华区模拟）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知．【解答】解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH，故选：C．【点评】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．5．（真题•高邮市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝4，则点P1、P2之间的距离可能是（）A．0 B．7 C．9 D．10【分析】由对称得OP1＝OP＝4，OP＝OP2＝4，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：∵点P关于直线AB，CD的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝4，OP＝OP2＝4，∵OP1+OP2＞P1P2，∴0＜P1P2＜8，故选：B．【点评】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形三边的关系．6．（真题•凤翔县期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称．（1）线段AD的对称线段是EH，CD＝GH，∠CBA＝∠GFE，∠ADC＝∠EHG．（2）AE与BF平行吗？为什么？（3）若AE与BF平行，则能说明轴对称图形中对称点的连线一定互相平行吗？【分析】（1）根据图形写出对称点和对应线段即可；（2）对称图形的对应点的连线平行，据此求解；（3）根据平面内两条直线的位置关系可回答．【解答】解：（1）EH，GH，∠GFE，∠EHG；（2）AE∥BF；因为每对对应点连接成的线段被对称轴垂直平分，即EA⊥MN，BF⊥MN；（3）AE∥BF不一定能说明对称点连线一定互相平行，还有可能共线．【点评】此题考查的是轴对称图形的性质，掌握其性质是解决此题关键．三．轴对称图形（共4小题）7．（2022•罗湖区校级一模）下列图形中，属于轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：选项B能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．8．（真题•盐都区月考）如图，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有4个．【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案．【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形．故在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有4个，故答案为：4．【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．9．（真题•海陵区校级月考）四个图形分别是正三角形、等腰梯形、长方形、正五边形，它们全部是轴对称图形，其中对称轴的条数最少的图形是等腰梯形．【分析】根据轴对称图形的概念作答．【解答】解：正三角形有三条对称轴；等腰梯形有一条对称轴；长方形有两条对称轴；正五边形有五条对称轴．故对称轴的条数最少的图形是等腰梯形．【点评】掌握好轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．10．（2019春•滕州市期末）在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形．【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．四．镜面对称（共2小题）11．（真题•五常市期末）在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是21：05．【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05．故答案为：21：05．【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．12．（真题•兴化市月考）从汽车后视镜中看见某车牌后5位号码是，该号码实际是BA629．【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：关于镜面对称，也可以看成是关于某条直线对称，∴关于某条直线对称的数字依次是BA629．故答案为BA629．【点评】考查了镜面对称的知识，镜子中看到的顺序应和实际的顺序正好相反．五．作图-轴对称变换（共2小题）13．（真题•丹徒区月考）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．已知点A、B都在格点上，（网格线的交点叫做格点）且它们的坐标分别是A（2，﹣4）、B（3，﹣1）．（1）点B关于y轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣1）；（2）若点C的坐标是（0，﹣2），将△ABC先沿y轴向上平移4个单位长度后，再沿y轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，B1点的坐标是（﹣3，3）；（3）△A1B1C1的面积为4；（4）在现有的网格中，到点B1距离为10的格点的坐标是（5，﹣3）或（3，﹣5）．．【分析】（1）利用轴对称变换的性质求解即可；（2）利用平移变换，轴对称变换的性质作出图形即可；（3）把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可；（4）利用图象法，可得结论．【解答】解：（1）∵B（3，﹣1），∴点B关于y轴的对称点的坐标为（﹣3，﹣1）．故答案为：（﹣3，﹣1）；（2）如图，△A1B1C1即为所求，B1（﹣3，3）．故答案为：（﹣3，3）；（3）3×31×31×32×2＝4，故答案为：4；（4）到点B1距离为10的格点的坐标是（5，﹣3）或（3，﹣5）．故答案为：（5，﹣3）或（3，﹣5）．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．14．（真题•新吴区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．（1）请用无刻度直尺与圆规在AB上作一点D，使得点B关于直线CD的对称点E恰好落在AC边上（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，连接CD、DE，①求△ADE与△BCD的面积之比；②求BD的长．【分析】（1）作∠ACB的平分线交AB于D，然后在CA上截取CE＝CB；（2）①利用对称的性质得到CE＝CB＝3，△CDE≌△△CDB，则AE＝1，根据三角形面积公式得到△ADE与△ECD的面积之比为1：3，所以△ADE与△BCD的面积之比为1：3；②过C点作CH⊥AB于H，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，利用面积法计算出CH，由于△BCD的面积S△ABC，所以BD，从而可求出BD的长．【解答】解：（1）如图，点D、E为所作；（2）①∵点B关于直线CD的对称点为E，∴CE＝CB＝3，△CDE≌△△CDB，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣3＝1，∴△ADE与△ECD的面积之比为1：3，∴△ADE与△BCD的面积之比为1：3；②过C点作CH⊥AB于H，如图，∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB5，∵CH•ABAC•BC，∴CH，∵△ADE与△BCD的面积之比为1：3；∴△BCD的面积S△ABC3×4，∴BD，∴BD．【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了轴对称的性质．六．利用轴对称设计图案（共4小题）15．（2020•岚山区模拟）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示．小明按如图2所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用10个这样的图形拼出来的图形的总长度是a+9b（结果用含a、b的代数式表示）．【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．【解答】解：图形的总长度＝10[a﹣（a﹣b）]+a﹣b＝a+9b，故答案为：a+9b．【点评】本题考查轴对称图形，规律型问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．（2019秋•浦东新区期末）如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字3的格子内．【分析】从阴影部分图形的各顶点向虚线作垂线并延长相同的距离找对应点，然后顺次连接各点可得答案．【解答】解：如图所示，把阴影涂在图中标有数字3的格子内所组成的图形是轴对称图形，故答案为：3．【点评】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质，基本作法：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．17．（真题•吴江区月考）如图，是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影，请你从其余的13个白色的小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形．请用三种方法在图中补全图形，并画出它们各自的对称轴．（所画的三个图形不能全等）【分析】直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．18．（2021•奉化区校级模拟）如图，在2×2的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．请在下面每一个图中，作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形．（画三个，不能重复）【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解．【解答】解：与△ABC成轴对称的格点三角形如图所示（答案不唯一）：【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．七．剪纸问题（共2小题）19．（真题•兴城市期中）如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是（）A． B． C． D．【分析】找出题中的折叠规律，利用正方形纸片按照此方法沿虚线减下，展开即可得到剩下的图形．【解答】解：由题意可知：减去的部分为四个等腰直角三角形的斜边构成的正方形，又原图是正方形，所以剩下的图形为大正方形除去一个小正方形．故选：A．【点评】本题考查了剪纸问题，通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案．20．（真题•黄浦区期末）如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于230°．【分析】易得∠C的外角度数，那么∠1+∠2＝360°﹣∠C的外角度数，把相关数值代入即可求解．【解答】解：∵∠C＝50°，∴∠C处的外角＝180°﹣50°＝130°，∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°．【点评】用到的知识点为：三角形一个顶点处的内角和外角互补；三角形的外角和是360°．八．翻折变换（折叠问题）（共3小题）21．（真题•宜兴市期末）将一张纸如图所示折叠后压平，点F在线段BC上，EF、GF为两条折痕，若∠EFG＝α，则∠B'FC'的度数是（）A．α﹣45° B．2α﹣90° C．90°﹣α D．180°﹣2α【分析】由折叠的性质可知，∠EFB＝∠EFB′，∠CFG＝∠C′FG，推出∠EFB+∠CFG＝180°﹣∠EFG＝180°﹣α，∠EFB′+∠C′FG＝180°﹣α，所以∠B'FC'＝∠EFB+∠EFB′+∠CFG+∠C′FG﹣180°＝（180°﹣α）+（180°﹣α）﹣180°＝180°﹣2α．【解答】解：由折叠的性质可知，∠EFB＝∠EFB′，∠CFG＝∠C′FG，∵∠EFG＝α，∴∠EFB+∠CFG＝180°﹣∠EFG＝180°﹣α，∴∠EFB′+∠C′FG＝180°﹣α，∴∠B'FC'＝∠EFB+∠EFB′+∠CFG+∠C′FG﹣180°＝（180°﹣α）+（180°﹣α）﹣180°＝180°﹣2α，故选：D．【点评】考查折叠轴对称的性质，角度的和差运算，根据折叠得到相等的角是关键．22．（2022春•阜宁县校级月考）如图，E，F分别四边形ABCD的边AD，BC上的点，连接E，F，将四边形ABCD沿直线EF折叠．若点A，B都落在四边形ABCD的内部，记∠C+∠D＝α，则∠1+∠2＝360°﹣2α．【分析】根据四边形内角和为360°可得∠A+∠B＝360°﹣α，进而可得∴∠AEF+∠BFE＝α，再根据折叠可得：∠3+∠4＝α，再由平角定义可得答案．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠C+∠D＝α，∴∠A+∠B＝360°﹣α，∵∠A+∠B+∠AEF+∠BFE＝360°，∴∠AEF+∠BFE＝360°﹣（∠A+∠B）＝α，由折叠可得：∠3+∠4＝α，∴∠1+∠2＝360°﹣2α，故答案为：360°﹣2α．【点评】此题主要考查了翻折变换，关键是找准翻折后哪些角是对应相等的．23．（真题•亭湖区校级月考）如图的三角形纸板中，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边的点E处，折痕为BD．（1）若AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，求△AED的周长；（2）若∠C＝100°，∠A＝70°，求∠BDE的度数．【分析】（1）先根据折叠的性质可得BE＝BC，DE＝CD，再求出AE的长，然后求出△ADE的周长＝AC+AE，即可得出答案；（2）由折叠的性质可得∠C＝∠DEB＝100°，∠BDE＝∠CDB，由三角形的外角性质可得∠ADE＝30°，即可求解．【解答】解：（1）由折叠的性质得：BE＝BC＝8cm，DE＝DC，∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝10﹣8＝2（cm），∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝6+2＝8（cm）；（2）由折叠的性质得∠C＝∠DEB＝100°，∠BDE＝∠CDB，∵∠DEB＝∠A+∠ADE，∴∠ADE＝100°﹣70°＝30°，∴∠BDE＝∠CDB75°．【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的外角性质，三角形周长；熟练掌握翻折变换的性质的解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2018·江苏八年级月考）下列图形中对称轴条数最多的是（）A．等边三角形 B．正方形 C．等腰三角形 D．等腰梯形【答案】B【分析】根据对称轴的定义分别得出各选项中对称轴的条数，比较选出正确答案．【详解】解：A.等边三角形，有3条对称轴；B.正方形，有4条对称轴；C.等腰三角形，有1条对称轴；D.等腰梯形，有1条对称轴．故选：B．【点睛】本题考查了求对称轴的条数，理解对称轴的定义是解题关键．2．（2019·苏州市吴江区青云中学）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3．（2020·江苏省江阴市第一中学八年级月考）给出下列5个图形：线段、等边三角形、角、平行四边形、正五边形，其中，一定是轴对称图形的有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【详解】解：线段一定是轴对称图形，等边三角形一定是轴对称图形，角一定是轴对称图形，平行四边形不一定是轴对称图形，正五边形一定是轴对称图形，综上所述，一定是轴对称图形的有4个．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．（2020·扬州市江都区实验初级中学八年级月考）如图，在的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，如果再将图中的一个小正方形涂黑，所得图案是一个轴对称图形，则涂黑的小正方形的标号不可能是（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】A【分析】根据轴对称图形的概念结合图形分别作出图形即可得解．【详解】解：如图，涂黑标号是2、3、4的小正方形所得图案是一个轴对称图形．

所以，不可能的标号是1号．

故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（2020·江苏八年级期中）如图是4×4的正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，与原来3个黑色方格组成的图形成为轴对称图形，则符合要求的白色小正方格有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据轴对称的性质可直接进行求解．【详解】解：如图所示：，共3个，故选：C．【点睛】本题主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．6．（2020·江苏昭阳湖初中八年级期中）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形，在这个的正方形格纸中，与成轴对称的格点三角形最多有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解．【详解】解：与成轴对称的格点三角形最多有6个．故答案为：D．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．7．（2019·江苏）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（）A．48° B．54° C．64° D．78°【答案】B【分析】根据△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则依据轴对称的性质，两三角形对应边对应角都相等得出∠C，再根据三角形内角和定理即可求得∠B．【详解】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∵∠A=78°，∠C′=48°，∴∠C=48°，∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．故选：B．【点睛】本题考查轴对称的性质和三角形内角和定理．理解轴对称图形，对应角相等是解题关键．8．（2021·江苏八年级专题练习）如图，在4×4的正方形网格中，已将图中的三个小正方形涂上阴影，若再将图中其余小正方形任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A． B．5个 C．4个 D．3个【答案】B【分析】根据轴对称图形的特征判断即可．【详解】解：如图所示，在图中标数的位置涂上阴影，能构成轴对称图形．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的特征，解题关键是树立空间观念，准确进行判断．9．（2019·江苏八年级月考）如图，直线是一条河，、是两个新农村定居点．欲在上的某点处修建一个水泵站，直接向、两地供水．现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用轴对称的性质，通过作对称点找到修建水泵站的位置．【详解】解：作点A关于直线l的对称点，然后连接与直线l交于一点，在这点修建水泵站，根据轴对称的性质和连点之间线段最短的性质可以证明此事铺设的管道最短．故选：D．【点睛】本题考查利用轴对称的性质找线段和最小的问题，解题的关键是掌握这个作图方法．二、填空题10．（2019·南师附中树人学校八年级月考）在直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，直线经过点，并且与轴平行，与关于线对称．（1）图中格点的面积为______．（2）画出，并写出的顶点的坐标：______．（3）观察图中对应点坐标之间的关系，写出点关于直线的对称点的坐标：______．【答案】（1）；（2）画图见详解，；（3）【分析】（1）利用割补法求解即可；（2）分别作出三角形三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可得解；（3）通过观察（2）的图形，可得到规律关于直线对称点的横坐标相等，纵坐标和的一半为，从而可以求得结论．【详解】解：在平面直角坐标系中构造四边形，如图：观察图形可知，∴的面积为．故答案是：（2）即为所求，如图所示：，，．故答案是：．（3）∵，，，，∴关于直线对称点的横坐标相等，纵坐标和的一半为∴点关于直线的对称点的坐标为．故答案是：．【点睛】本题主要考查了在网格中用割补法求三角形的面积、轴对称变换作图、轴对称图形在平面直角坐标系中的坐标变化规律，解题的关键是灵活运用相关知识点．11．（2021·江苏南京·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，2）关于x轴对称点的坐标是______．【答案】（1，﹣2）【分析】根据关于x轴对称的点坐标特征解答．【详解】解：点（1，2）关于x轴对称的点的坐标是（1，﹣2）．故答案为（1，﹣2）．【点睛】本题考查坐标与图形变化，熟练掌握关于x轴对称的点坐标特征是解题关键．12．（2020·江苏八年级月考）一辆汽车的牌照在车下方水坑中的像是，则这辆汽车的牌照号码应为_____．【答案】H•8379【分析】易得所求的牌照与看到的牌照关于水平的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．【详解】解：如图所示：该车牌照号码为：H•8379．故答案为：H•8379．【点睛】本题考查轴对称的应用，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．13．（2020·无锡市甘露学校（待删除）八年级月考）下列图形中：①线段；②正方形；③圆；④等腰梯形；⑤平行四边形．是轴对称图形的有______________个．【答案】4【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．【详解】解：根据轴对称图形的概念可知，

⑤平行四边形不是轴对称图形；

①线段；②正方形；③圆；④等腰梯形是轴对称图形．

故是轴对称图形的有4个，故答案为：4．【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．14．（2020·江苏八年级月考）黑体汉字中的“中”“田”“日”等都是轴对称图形，请至少再写出三个具有这种特征的汉字：_____．【答案】出、三、品（不唯一）【分析】根据轴对称图形的性质直接解答即可．【详解】由黑体汉字中的“中”“田”“日”等都是轴对称图形，可得具有这个特征的汉字有：出、三、品、口等等；故答案为出、三、品（不唯一）．【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．15．（2020·江苏宿迁·）如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________种．【答案】5种【分析】根据轴对称图形的性质分别得出即可．【详解】如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置有以下几种：1，3，7，6，5，选择的位置共有5处.16．（2020·无锡市大桥实验学校）如图，是4×4正方形网格，其中已有4个小方格涂成了黑色，现在要从其余白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个黑色部分图形构成轴对称图形，这样的白色小方格有___种选择．【答案】3【分析】利用轴对称图形的性质即可得出符合题意的答案．【详解】解：如图所示：灰色正方形位置都能使此图形是轴对称图形，故答案为3．【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是正确把握轴对称图形的定义．17．（2020·江苏东绛实验学校八年级月考）在“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有______个．【答案】3【分析】根据轴对称图形的概念分析判断即可得出结果．【详解】解：线段、角、圆都是轴对称图形，三角形不一定是轴对称图形，故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的概念，正确的掌