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实变函数测试题3本套试题参考答案由李石玲提供，如有问题联系151732587091、作出一个和的1-1对应，并写出这个对应的解析表达式。解：，对任意，，显然是到的1-1对应。2、证明：的充要条件是对任意含有的邻域（不一定以为中心）中，恒有异于的属于(事实上，这样的还有无穷多个)。而的充要条件是有含有的邻域（同样，不一定以为中心）存在，使。证明：若，则对任一含的邻域，必有以为中心的邻域，所以存在且，即任何含有的领域中含有一点异于。反之，若任一含有邻域有异于的点,当然对任一的邻域中也有异于的点，所以。若，则有。反之，若，必有，则。证毕。3、可数点集的外测度为零。证明设对任意,存在开区间,使,且(在空间中取边长为的包方的开区间),所以，且.由的任意性得.证毕。4、设是直线上一有界集合，，则对任意小于的正数c，恒有的子集，使。证明：设，则。令，则是上的连续函数。事实上，当,且时，于是当时,,即是右连续的。类似的方法可证明时，，所以是[a,b]上的连续函数。又因为因此对任意正数c，，存在使。即。令。则。5、设,求证存在型集,，使得且。证明：不妨设（否则令即可）。对任意的正整数，由外测度的定义，存在开集（一列开区间的并），使得且。令，则，于是，且型集。又对任何正整数有。即即得。证毕6、设是上的连续函数，为上的可测函数，则是可测函数。证明：因为是连续函数，所以在上可测，且,为集，所以，所以，又因为可测，所以可测。即可测。所以可测。7、设为可测集，，都是上a.e.有限的可测函数，并且当时，依测度收敛于。求证存在子列在上“基本上”一致收敛于。证明：不妨假设，需证存在一致收敛于,取k,使得。令则，而，若时，则，即在上一致收敛。8、设，，讨论为何值时，为[0,1]上L可积函数或不可积函数。证明：当时，，因此，当时，非L可积。当时，在中可积，，所以L可积。9、设为上可积函数列，于,且,为常数，则可积。证明：由法都（Faou）引理，故有可积，所以10、设在上定义函数如下：求。解:因为有理数集是可数集，于是令。其次令易知在的测度，于是，即.从而a.e.于，

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