高中数学空间向量的数量积运算

高中数学空间向量的数量积运算

目录

??【考点梳理】................................................................1

??【题型归纳］................................................................3

????【双基达标】................................................................4

????一、单选题..............................................................4

????【高分突破】................................................................6

????—：单选题..............................................................6

????二、多选题..............................................................8

??????三、填空题.............................................................9

??????四、解答题............................................................10

????【答案详解】...............................................................12

【考点梳理】

考点一空间向量的夹角

1.定义：已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作0A=a,6fe=b,

则zAOB叫做向量a,b的夹角，记作〈a,b).

TT

2.范围：Ow<a,b)<IT.,当〈a,b)=2时，a_Lb.

考点二空间向量的数量积

定

义已知已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos(a,b)叫做a,b的

两个非数量积，记作a-b.

零向量即a-b=|a||b|cos〈a,b).

a,bf规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质①a_Lb=a-b=

则0

|a||b|c

第1页共27页

os〈a,

b〉叫做

a,b的

数量

积，记

作a-b.

性

质

①aJ_b=a・b=0

①a，

②a・a=a2=|a|2运算律①（入a）・b=Ma・b）,AeR.

b=a・b

=0

运

算律

①（入a）・b=；^（a-b）,AGR.

①（入a）

②a-b=b-a（交换律）.

•b=

③2・9+（：）=2心+2（（分配律）.

入（a・b）,

入€R.

考点三向量a的投影

1.如图(1),在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此

可以先将它们平移到同一个平面a内，进而利用平面上向量的投影，得到与向

量b共线的向量c,c=|a|cos〈a,b)音，向量c称为向量a在向量b上的投

影向量.类似地，可以将向量a向直线1投影(如图(2)).

2.如图(3),向量a向平面0投影，就是分别由向量a的起点A和终点B

作平面0的垂线，垂足分别为A',B',得到一次3一,向量一篦/一称为向量a

在平面0上的投影向量.这时，向量a,—I79—的夹角就是向量a所在直线与

平面0所成的角.

第2页共27页

A

(1)(2)(3)

【题型归纳】

题型一：空间向量的数量积的运算

1.已知空间中非零向量。，b,且H=2,卜|=3,<&>>=60。，则卜”一3目的

值为（）.

A.质？?B.97??C.府？?D.61

2.平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）ABCQ-A4GR中，

ZA.AB=ZA,AD=ZBAD=60°AB=AD^\,人弓=而，则（）

A.1??B.行??C.2??D.4

3.在底面是正方形的四棱柱4BCO-A&CQ中，AB=1,BB,=2,

7TIUUITI

幺则明=（

5H）

A.3??B.M??C.G??D.2

题型二：空间向量的数量积的应用（夹角和模）

NAO3=/AOC=-

4.如图所示，空间四边形O3C中，08=0C,3,则cos<OA,

8C>的值是（）

（aA=—,则空间向量。在向量方

5已知同=4,空间向量e为单位向量,W,e-3e

第3页共27页

向上的投影的数量为（)

_11

A.2??B.-2??C.2??D.2

6.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且A8=AP=6,

AD=2,ZBAD=ZBAP=ZDAP=60°,E,F分别为PB,PC上的点，且PE=2EB,

PF=FC,网=()

A.1??B.啦??C.2??D.瓜

??.【双基达标】

??.1.一、单选题

7.已知非零向量出》不平行，并且其模相等，则与之间的关系是

（）

A.垂直??B.共线??C.不垂直??D.以上都可以

8.已知均为单位向量，它们的夹角为60。，那么卜"叫=（）

A.不??B.M

C.屈??D.4

9.如图，在平行六面体A88-A4GR中，AB=AD=],

|UUIT|

A4,=42,^BAA]=ZDAA,=45,^BAD=60,贝心6|二（）

第4页共27页

3

A.1??B.K??C.9??D.3

10.已知空间向量”，b,c满足a+b+c=0,，1=1,W=2,M=”,则与

。的夹角为（）

A.30°??B.45°??C.60°??D.90°

11.己知四面体ABC。中，AByAC、4。两两互相垂直，则下列结论中不

成立的是（）.

A\AB+AC+AD\=\AB+AC-AI^

B|AB+AC+AD|2=|AB|2+|?AC|：+\AD^

C（AB+AC+4D）.8C=0

D.ABCD^ACBD^ADBC

12.空间四边形ABC。各边及对角线长均为E,F,G分别是AB,AD,

OC的中点，则GE.GF=()

_1_e

A.2??B.l??c.应？?D.2

13.已知是夹角为60。的两个单位向量，则与b=e-2e2的夹角

是（）

A.60°??B.120°??C.30°??D.90°

14.已知四棱柱"CD-ABCa的底面ABC。是矩形，

7T|UUIT|

AB=\9AD=AA]=2yZA]AD=ZA]AB=-则卜（

A.2国?B,4??C.3亚？?D.亚

第5页共27页

15.已知平行六面体■中，AB=4,AD=3,AA'=5,

ZBAD=9Q,ZBAA'=ZDAA'=60.则4。的长为()

A.病??B.历??C.12??D.2闻

16.如图在长方体A3CQ-A4CQ中，设AD=M=1,AB=2,则叫工。等

于()

A.1??B.2??C.3??D.3

??.【高分突破】

??.1.—:单选题

17.已知空间向量。=(3,0,e，〃=(-3,2,5),则向量6在向量。上的投

影向量是()

11(_311(_311(311(3

A.25.,2,5)??B.38,,2,5)??C.25,。，4)??D.38,。，4)

18.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCC-ABCQ所有棱长都

为］,目ZA.AD=4AE=60",NDAB=45°,则\BD\=

t)

A.\/3-1??B.&T??C./3-丘??D.百一&

19.如图，空间四边形ABC。的每条边和对角线长都等于1,点尸，G分别

是AE),CD的中点，则FGAB=()

第6页共27页

且J_I虫

A.4??B.4??c.2??D.2

20.设〃、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式:

.2I|2a，b_b2.22/\222

①°；@T=«.③（a"'）="h.④=u~-2ab+b\

其中正确的个数为（）

A.1??B.2??C.3??D.4

21.已知在平行六面体MCQ-ABCTy中，A8=3,AD=4,AA'=5,

N8AD=120°,ZBAA'=60°,ND4A=90°,则AC'的长为（）.

A.50??B.56??C.底??D.屈

22.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A3。是边长为1的正方形，侧棱以

的长为2,且以与4B,的夹角都等于60.若M是PC的中点，则|8育|=()

瓜戈娓底

A.27?B.3??c.47?D.5

23.如图在平行六面体AB8-ABCQ中，底面48co是边长为1的正方形,

侧棱e=2且NAAO=NAAB=60。，则AG=()

第7页共27页

DiG

A.2^2??B.而？？C.2g??D.V14

24.在棱长为2的正四面体A3。中，点M满足

AM=xAB+yAC-(x+y-l)AD点N满足BN=4a4+(l-/l)BC,当AM、BN最短

时，AM-MN=()

A.3??B.3??C.3??D.3

??.2.二'多选题

25.已知ABCD-ABCR是正方体，以下正确命题有()

A(AA+AA+ABJ=34屋.??Bac(A4-AA)=o.

min

C.向量A。与向量AB的夹角为60。；??D.正方体A8CO-ABCQ的体积为

\ABAA,AD\

26.正方体AB。-44GA的棱长为a,则下列结论正确的是()

22

AAB\C}=-a??BBDBD,=2a

22

QAC-BA]=—a77j~jAB-ACt=2a

27.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是()

(AA+AQ+A8j2=3(A£『

A♦

B年(4耳-44=0

C.向量ADi与向量AB的夹角是60。

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D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为

28.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABS-ABCQ,其中，以顶点

A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60。，下列说法中正确的是

()

AC,（AB-AD）=Q

如

C.向量8。与小的夹角是6(r??D.8。与AC所成角的余弦值为3

??.3.三、填空题

29.设“，b,C是单位向量，且9=0,则(“-C)•伍一•)的最小值为

30.已知9是空间两个向量，若卜|=2,小牛-。卜近，则cos”)=

31.如图所示，已知空间四边形ABC。的每条边和对角线长都等于1,点E,

F,G分别是A3,AD,CO的中点，则所•54=.

32.如图，在平行六面体ABCQ-4BCR中，底面是边长为2的正方形，若

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NAAB=NA">=60。，且AA=3,则AC的长为

A

??.4.四'解答题

33.如图，在正方体ABCD—A1B1C1DI中，CD1和DC1相交于点0,连接

A0.求证：A01CD1.

34.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a,点E、F,

G分别是AB、AD、DC的中点.求下列向量的数量积：

UUUUUU1UIWUUU

ABAC.(2)ADBD.(3)GF-AC.(4)EF•BC.

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35.如图，在平行六面体中，AB=4,AD=3,AA'=5,

ZBAD=90°,ZBAA'=^DAA'=60°.求:

(3)A。'的长.

36.在空间四边形O4BC中，E是线段8C的中点，G在线段AE上，且

AG=2GE

(1)试用°4°B，℃表示向量OG；

(2)若OA=2,OB=3,OC=49ZAOC=ZBOC=60°fZAOB=90°9求0GA8

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的值及附1

??.【答案详解】

1.C

【详解】

悭-3@=（2a-36）=4）+9//-124/=4x4+9x9-12忖.1小。$600

=97-12x2x3x1=61

2,

松_34=屈

故选：C.

2.C

【详解】

第12页共27页

平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）ABS-ABCQ中,

AG=vn,作图如下:

令AD=BC=bfM=CG=c,

，同=卜而，设即

则<a,b>=<a,c>=<b,c>=60°W=1,AA=f,ld=r,

,「■_______,0..

222

illAC}=AB+AD+AA^=a+b+c得AC1=a+b-^-c+2a-b-^2a-c+2b'C

11—1+1+广+2x1x1x—F2x1x/x—F2x1xfx———>t~+21—8=0

即222

解得：f=2或（舍去），即艰=2.

故选：C.

3.A

因为四棱柱ABCQ-ABCQ中，底面是正方形，AB=\,BB\=2

UUUUUUHLlLUlUULUlLlllLIlUUll

ijiijAC=AG+C]C=A°+A4+AA

iiiuiriluuiuniiiiimuiuriiunmuuunuuux2

所以|AC|=|AR+A与+AA4R+AA+AA)

iiuuuiuuif|2uuunUULUuuinnuuiruuimuur

AB,AA+2AQ.AN+2AQ.AA+2Aq.A/

[iUiniin||Uuiii|uuumiiuuirUUIII||UUII

『+『+22+2ARA同cos^+2|/41DI||A|A|cosZAA1£>1+2|4叫|4半。$/e8]

6+4cos卜一/+4cos(1一=V6-4=>/2

第13页共27页

故选：A.

4.A

OB=OC,

OA-BC=OA(OC-OB)=OAVC-OAOB=OA\\OCcos--OA

3

cos<OA,BC>=0,

故选：A

5.B

【详解】

由题意，同同用#,

则空间向量”在向量e方向上的投影为向时

故选:B.

6.B

【详解】

•：PE=2EB,PF=FC,

—————1一一一

EF=EB+BA+AP+PF=--BP-AB+AP+-PC

32

^^(AP-AB)-AB+AP+^(AB+BC-AP)=-^AP-AB)-AB+AP+^(AB+AD-AP)

=--AB+-AD+-AP

626

又A3A0=40A£>=6x2xcos60°=6,ABAP=6x6xcos60°=18,

I\(111Yfi2i22i

EF=J一一A8+-AO+-AP=d—AB+-AD+—AP一一ABAD一一ABAP+-ADAP

1Vv626JV364366186

J—x36+—x4+—x36-—x6--xl8+—x6=Q

V364366186

第14页共27页

7.A

因为（"+匕）・（。-匕）=/-4="2—忖2=。，

(a+6)_L(a-6

所以

故选：A

8.C

【详解】

卜/+30=J(a+3b)=yja+6ab+9b+6p/|-|fr|cos60°+9|/?|

=Jl+3+9=旧

故选：C

9.D

【详解】

在平行六面体A8CD-44CQ中，

有AC=AB+A£>,ACI=AC+AA,=AB+AD+AA]?

由题知，AB=AD=\,M=夜，^BAAl=ZDAAl=45/8A£>=60,

所以.卜M=l,陷=血，48与A。的夹角为ZB4D=60°,

48与44的夹角为/8M=45。，A£)与74A的夹角为‘4A，=45°,

所以

AC；

=(A3+AO+A41y

=|何+1AO『+同『+2A8.AD+2AB.AA+2皿A%

=1+1+2+2x1x1xcos60°+2x1x夜xcos45°+2x1x\/2xcos45°

=9.

所以阿=3.

故选：D.

10.C

设。与方的夹角为8.由〃+Hc=0,得〃+6=-c,两边平方，得

第15页共27页

-222

a+2。•力+匕=c,

cose」

所以l+2xlx2cos，+4=7,解得c"-2,又礼所以0=60,

故选：C.

11.C

【详解】

QAB、AC、AO两两垂直，则可得A8LCD、AC1BD,ADVBC,

tK.HUUUU

且A8-AC=0、AB-AO=0、ACAD=0yAC-8O=0、ADBC=0,

:A、B、D选项均正确，

故选：C.

12.A

【详解】

空间四边形ABC。各边及对角线长均为近，

所以四边形A8CZ）构成的四面体4?。是正四面体，四个面是等边三角形,

因为E,F,G分别是AB,AD,的中点，

-ACHFG

所以AC//FG,2

GE=GB+BE=--(BC+BD)+^BA

GF=­CAGEGF=--(BC+BD-BA\CA=--(BCCA+BDCA-BACA

2,所以4<,

=-^BCCA+BD(BA-BC)-BACA^

=-^BCCA+BDBA-BDBC-BACA

=-^-(|BC|-|CA|COS120+|BD|.|BA|COS60-|»D|-|«C|COS60-网•画COS60)

故选：A.

第16页共27页

A

13.B

13

.2c2=1—lx1x-----2----

由题意得此二的+句干二与二臼—/一？々2=2,

।a|_'fa'=J(ei+e2，=\lei+2eiei+ei=71+1+1=6

।/7|_=J(ei-Ze?)。=Je；-4ei-e2+4区=Jl-2+4=G

_3

ab_21

...cos(闻=丽

(n,b)=120o

故选:B.

14.D

【详解】

,G卜|A8+AO+A4t卜“CB+AD+A41y

12

^^AB+AIT+AA^+2(ABAD+ABAAl+ADAAl)

=^1+4+4+2(0+1+2)=715

故选：D

15.A

【详解】

,15

-..b'c——i।

r

rz=AB9b=AD,c=AAf则a.〃=4x3xcos9()o=0,同理2,ac=l09

第17页共27页

由空间向量加法法则得AC="+"c,

[A。]=(a+8+cP=/+£+J+2〃.b+2Z?•c+2a•c=4~+3~+5-+2x万+2x10=85

JA4病，即AC=病

故选：A.

16.A

【详解】

由长方体的性质可知AD±AB,AD±,AD//BC,AD=BC=\

BD、=BA+BC+BB[

BDAD=(BA+BC+BB)AD=BAAD+BCAD+BB,-AD

所以tt

=O+BC2+0=1

故选：A

17.C

【详解】

解：向量。=(3,0,幻，b=(-3,2,5),

则M=5,M卜屈，ab=ll,

所以向量匕在向量。上的投影向量为

|/?|cos(tv,7?)y^7==^^8x—!-^=x—=-6z=—(3,0,4)

11''\a\।弓帆向5x^38525251'''

故选：C.

18.C

【详解】

如图：

第18页共27页

加=(AO-A8+AA)2

222

=AB+AD+M-lABAD-lABAA.+lADAA,

=l+l+l-2xlxlxcos45°-2x1x1xcos60+2xlxlxcos60

=3-0

:\BRI=年夜

，

19.B

FG=-ACFG-AB=-AC-AB=-xlx\xcos60°=-

2224.

故选：B

20.B

a=|^|cos0=|«|

对于①,①正确；

b_

向量不能作比值,即7错误，②错误；

对于③,设〃、的夹角为巴则(则Fl桃cos©/常温"/.£

③错误；

/\222

对于④，由空间向量数量积的运算性质可得("一外="-2。为+6,④正确.

故选:B.

21.D

【详解】

解：在平行六面体AB8-AECD中，因为AC；=A8+AO+AW,所以

|ACT=(A8+AD+AA')2=\AB\2+\AD\2+\AA'\2+2AB-AD+2AB-AA'+2AD-A4(

=9+16+25+2x3x4xcosl200+2x3x5xcos600=50-12+15=53

第19页共27页

所以|AC，|=庖.

22.A

【详解】

->->TTT->

记AB=a,AD=b,AP=c,

因为A8=AO=1,PA=2,

—>—>—>

所以l"l=l切=1,|c|=2.

又因为AB_LAO,ZPA8=/PA£)=60°,

所以。•/?=0,。•右=/?-c=2xlxcos60°=1

-►-(-a+h+c)

易得BM—2,

所以

IBM|2=；(-a+6+c>=；[。2+b2+c2+2x(-a-b-a-c+b

=^-X[12+12+22+2X(0-1+1)]=|

所以

故选：A

23.B

解：因为底面ABC。是边长为1的正方形,侧棱①=2且乙精。=幺AB=60。,

则痴=1,AD2=1,招2=4,落.罚=0,A8.A4,=网JM.cosZ4A3=1,

ADAA,=|AD|-|A41|-coszL4lAr>=l

则Ml

=\AB+AD+AA\

^AB+AD+AA,')

222

=^AB+AD+AA,+2AB-AAl+2AB-AD+2AD-AAt

=11+1+4+2+0+2

=Vio

第20页共27页

故选：B.

24.A

因为点M满足AM=xA8+)，AC-(x+y-l)AZ),

所以Me平面BCD

因为点N满足BN=MA+(IT)BC,

所以Nw直线AC,

若4W、8N最短时，则AM_L平面BCD,BNLAC,

所以M为△88的中心，N为AC的中点，

,..i25/3

MCr=---

此时3,

,:AM_L平面BCD,MCu平面BCD,

.-.AMLMC,

回=逃

.JMAl=y/l_AC_I2_-I_MC_I2=1\[3)3

MN=-(MC+MA)

又2,

114

AM-MN=-(AM-MC+AM-MA)=一-|M47『二——

223.

故选：A.

25.AB

【详解】

/:/5

(■

A：AA，AQ，AB|两两垂直,且1AA|=|AQ1=14始1,所以

第21页共27页

/\222.22

(AA+40+4A)=AA+n+A4+2AA•AA+240,A4+24A•4q=3A4正

确；

B：由ae=AA+AA+A4,所以

AA)=(AA+AR+A4>(A4—AA)

—AA.A4+A。1,Aq+A8]—Aa—AD、•AA+48].AA=A4—A^A=0,正确.

C:由正方体性质知：AOL面A88M,而A8u面A8BM,即AO'AB,即向

UUU

量A。与向量AB的夹角为90。，错误；

D：由图知：A8-AVA£>=0,正方体ABCD-AMCQ的体积不为IA8.AVAOI,

错误；

故选：AB.

26.BC

如下图所示：

对于A选项，A'TG=ABAC=g（4B+A£>）=AB=/,人选项错误；

对于B选项，

BDBD,=（AD-AB）（BD+00^=（AD-AB）（AD-AB+AA）=AD2+AB2=2a2、比T否

'八，'八i）9D选项

正确；

对于C选项，而再=（加利（丽一码=一附7,C选项正确；

对于D选项，就相=醺.国+小词=褶”：D选项错误.

故选：BC.

27.AB

【详解】

22

由向量的加法得到：AA+AR+A4=AC,...AC=3AE,JAIC）=3（A,BI）>

第22页共27页

所以A正确；

・

••A4-AA=A&,AB11A1C,..A1CAB,=O)故B正确；

•••△ACDl是等边三角形，••ZAD1C=60。，又A1B||D1C,••・异面直线AD1与

A1B所成的夹角为60。，但是向量AD与向量4'的夹角是120。，故C不正确;

•••AB1AA1,.收鹏=°,故河..叫=0,因此D不正确.

故选：AB.

28.AB

【详解】

以顶点A为端点的三条棱长都相等，它们彼此的夹角都是60°,

AA-AB=AA.■AD=AD-AB=1x1xcos60°=—

可设棱长为L则2

\2.->->2

AA.+AB+4。)=AAj+AB~+AD~+2AAl-AB+2AB•AD+2AA1•AD

=l+l+l+3x2x—=6

2

而2(AC)。=2(A3+=2,+A£>2+2AB.AO

=2(l+l+2x；)=2x3=6

所以A正确.

AC；AO)=(M+AB+AD).(AB-AO)

=AAAB-AAAD+AB2-ABAD+ADAB-AD'

]l=0,所以B正确.

向量gc=M,

显然△AA。为等边三角形，则乙4Az)=60。.

所以向量与AA的夹角是120。，向量8。与AA的夹角是120。,则C不正确

又的=A£>+A4,-AB,AC=AB+AD

|BDt|=J^AD+AA,-ABY|AC|=J(A8+

BD,■AC=(AO+A4t-AB).(A8+AO)=I

/nn“\BD}AC1网

cos(BDpAC)=!----=—j=——f==——

所以\BD,\\AC\V2XX/36,所以D不正确.

第23页共27页

故选：AB

29.1-立•

【详解】

a力=0,且a,b,c均为单位向量，

|a+Z>|=+5)=\Ja~+b2+2a-b=\J\2+12+2x0=>/2

.(Q-c)gc)=ab-{a+b^c+c2=1-(Q+Z>).C

设a+b与c的夹角为0,

(a--cj=l-|a+i»||c|cos0=1->/2cos0

则

故（d-0,伍v）的最小值为1.71

故答案为：5

1

30.8

因为忖=叫=2,|*=近,

所以（。叫2=同-2"."四=7

ab=­

解得2,

所以"3箭

故答案为：8

31.4

【详解】

设AB=a,4C=6,A。=c,则卜卜M=K卜1且两两夹角为60°

1

ab=bc=a-c=—

所以2

第24页共27页

叫叫何一AB——

c-a\a

EFBA=—c-a-a

所以2~24

故答案为:4

32.石

【详解】

因为A。=A^A+AC=A]A+