高中数学《平面向量应用举例》导学案

第1章平面向量

DIERZHANG2.5平面向量应用举例

卜课前自主预习

1.向量在几何中的应用

⑴平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹

角等都可以由IU向量的线性运算及数量积表示出来.

(2)用向量解决平面几何问题的“三部曲”

①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元

素，将平面圉几何问题转化为向量问题;

②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问

题；

③把运算结果“翻译”成几何关系.

2.向量在物理中的应用

(1)物理问题中常见的向量有固力、速度、位移等.

(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的国合成和分解中.

⑶动量mv是向量的国数乘运算.

(4)功是应力b与位移s的数量积.

□自诊小测

1.判一判(正确的打，错误的打“X”)

⑴若△A3C是直角三角形，则有AB.BC=O.()

—►—►

(2)若则直线A3与CQ平行.()

-A->

(3)向量A3,CQ的夹角就是直线AB,的夹角.()

答案(1)X(2)X(3)X

2.做一做

(1)若向量。尸i=(2,2),03=(-2,3)分别表示两个力B，F2,则

因+四为()

A.(0,5)B.(4,-1)

C.2y[2D.5

答案D

解析尸1+尸2=。5),吗+尸21=5.

(2)在四边形4BCO中，ABBC^O,BC=AD,则四边形ABC。

是()

A.直角梯形B.菱形

C.矩形D.正方形

答案C

解析,：BC=AD,四边形A3CZ)为平行四边形,

又AR3C=0,：.AB±BC,

二.四边形ABC。为矩形.

(3)(教材改编P“3习题2.5A组TQ已知三个力B=(3,4),%=(2,

-5),F3=(X,y)和合力尸1+尸2+尸3=0，则尸3的坐标为.

答案(-5,1)

解析由Fl+F2+F3=0,得入=0-6一尸2=0—(3,4)-(2,

-5)=(-5,1).

卜课堂互动探究

探究1向量在平面几何中的应用

例1(1)在直角梯形ABCQ中,A8〃CZ),NCDA=NQAB=90。,

CD^DA=^AB,求证：AC.LBC；

(2)已知RtZXABC中，NC=90°,设AC=m,BC=n.

①若。为斜边A8的中点，求证：品&

②若石为。。的中点，连接AE并延长交8C于E求Ab的长度

(用m,n表示).

解(1)证法一：'：ZCDA^ZDAB=90°,AB//CD,CD=DA^

—►—►—►

故可设AD=e”DC=e2,I^il=l^2b则A8=2e2.

—>—>—>

AC=AD~\~DC=€\+。2,

—►—►-►

BC=AC-AB=(<€\+62)-2e2=ei-^2-

—►—»—»•—►

而ACBC=(ei+e2>(ei―e2)=e；―e；=®『一电『=。,••ACA_BC>

即ACIBC.

证法二：如图，建立直角坐标系，

设CZ)=1,则A(0,0),5(2,0),C(l,l),0(0,1).

.,.BC=(-1,1),AC=(1,1).

—►-A

=-1+1=0.

：.AC±BC.

(2)①证明：以C为坐标原点，以边CB,CA所在的直线分别为工

轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示,

CFBX

A(0,m),B(n,O).

.ri-西

为A3的中点，../2，2)

—►—►

.,.\CD\=2yjrr+m2,|AB|=^/m2+/?2,

：.\CD\=^\AB\,即CD=]A3.

②•：E为CD的中点，.•气中4)

设F(x,O),则AE=(f,一%),AF=(x,—rri).

―►-►

VA,E,尸三点共线,：.AF=XAE,

即(X,—m)=^,—!

%=今,

,.4nJnA

则＜3古攵a=W，x—y••电，

—m=­TmA,

-►

|AF|=；即AF=1

拓展提升

用向量证明平面几何问题的两种基本思路

(1)向量的线性运算法的四个步骤

①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或

数量积找相应关系；④把几何问题向量化.

(2)向量的坐标运算法的四个步骤

①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量

的坐标运算找相应关系；④把几何问题向量化.

【跟踪训练1】(1)已知在平行四边形A3CQ中，E,/是对角

线AC上的两点，且试用向量方法证明四边形OE8产

也是平行四边形；

(2)如图，平行四边形A8CD中，已知AQ=1,AB=2,对角线

BD=2,求对角线AC的长.

解(1)证明：设AZ)=a,AB=b,

11,13

则。E=AE—4。=不1。-a=4(a+》)一”=心一不，

所以。且D,E,F,3四点不共线，所以四边形DEB/

是平行四边形.

—►—►—►-►

(2)设A£>=a,AB=b,则3。=。-A,AC=a+b,

—>

而\BD\=\a-b\=-\la2—2a-b+b2=yJ1-\~4—2a-b=y]5—2a-b-2,

/.5—2aZ>=4,.,.ab=^.

―►-►

又|AC『=|a+例2="2+2a0+方2=1+4+2”0=6,二.依。尸黄,

即AC=y[6.

探究2向量在解析几何中的应用

例2已知圆C：(X-3)2+CV-3)2=4及点M是圆上的任

意一点，点N在线段的延长线上，且MA=2AN,求点N的轨迹

方程.

解设M(%o,泗)，N(x,y).由MA=2AN,得

(11%o,l—%)=2(%—1,1),

1-劭=2(%-1),

所以

1—^o=2(y—1),

%o=3-2,x,

即«

〔州=3-2乂

因为点M(Xo,光)在圆C上，

所以(%()—3)2+O)-3)2=4,

即(3—2%—3)2+(3—2＞一3)2=4.所以?+/=1.

所以所求点N的轨迹方程是?+/=1.

拓展提升

向量法解决解析几何问题的关键点及常用知识

(1)向量法在解析几何中的应用，正确写出点的坐标，并由已知

条件转化为向量坐标是解题的关键.

(2)要掌握向量的常用知识：①共线，②垂直，③模，④夹角，

⑤向量相等则对应坐标相等.

(3)有时需要建立平面直角坐标系.

【跟踪训练2】已知定点A(—1,0)和8(1,0),尸是圆(%—3)2+&

—►-►

-4)2=4上的一动点，求解产+|尸用2的最大值和最小值.

­►—>

解设圆的圆心为C,由已知可得OA=(—1,0),08=(1。)，所

―►—►—►-►

以OA+OB=0,OAOB=-1.

—>-A—>

又B4+P8=2尸O,

―►-►—>—>—>—►-►—>

所以|R1|2+|P3|2=(»1+PB)2—22L.P3=(2PO)2—2(OA-

­►—►—A—►—►—►—►—►—►—►-►

OP)(OB-OP)=4|PO|2-2O4OB-2|OP|2+2OP(OA+O8)=2|OP|2

+2.

—>

又因为。。=(3,4),点P在圆(%—3)2+。-41=4上，

—►—►—►—►-►

所以|OC|=5,|CP|=2,且|0尸|=|OC+CP|.

―►—►—►—►—>—■>—■>—►

所以|OC|-|CP|W|OP|=|OC+CP|W|OC|+|CP|,即3W|OP|W7.

—►-►-A

故20^|B4|2+|PB|2=2|OP|2+2^100.

—►-►

所以照『十甲5|2的最大值为100,最小值为20.

探究3向量在物理中的应用

例3(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，

渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？

(2)已知两恒力回=(3,4),尸2=(6,—5)作用于同一质点，使之由

点A(20,15)移动到点8(7,0),求B，入分别对质点所做的功.

解(1)如图，设A3表示水流的速度，AQ表示渡船的速度，4C表

示渡船实际垂直过江的速度.

—►—►-►

因为AB+AZ)=AC,所以四边形ABCD为平行四边形.

―A-►—►

在RtZkAC△中,ZACD=90°,|DC|=|AB|=12.5,|AD|=25,所

以NC4Q=30。，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30。.

(2)设物体在力b作用下的位移为s,则所做的功为W=F-s.

­►

".,AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).

—►

.-.Wi=FrAB=(3,4)-(-13,-15)=3X(-13)+4X(-15)=-

99(焦)，

—►

W2=F2AB=(6,-5)•(—13,-15)=6X(-13)+(-5)X(-15)

=-3(焦).

［条件探究］本例(2)条件变为：两个力*=»+_/,&=4i—》作

用于同一质点，使该质点从点A(20,15)移动到点3(7,0)(其中i,/分别

是与％轴、y轴同方向的单位向量).求：B,b2分别对该质点做的功.

解AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),K=(l,l),

/2=(4,—5),所以收|=b「48=—13—15=—28,WF2=FrAB

=4X(-13)+(-5)X(-15)=23.

拓展提升

向量解决物理问题的步骤

【跟踪训练3】在风速为75（加一也）km/h的西风中，飞机以

150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向.

解设/=风速，〃=有风时飞机的航行速度，柱=无风时飞机

的航行速度，%=“一”.如图所示.

^\AB\=\va\,\CB\=\(o\,\AC\=\vb\,

作AD〃3C,COLA。于点。，BELAD于点E,

则NR4D=45°.

设|AB|=150,则|CB|=75(#—也).

—►―►—►―►

：.\CD\=\BE\=\EA\=15y[2,|D4|=75班.

-►

从而以。|=15即，NCAD=30°..•.既|=15附，

即没有风时飞机的航速为15Mkm/h,方向为北偏西60°.

1

f-----------------------------------1邺耀外------------------

1.向量在几何中的应用

(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距

离等问题.利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是

选择一组基底(而选择的基底的长度和夹角应该是已知的，这样方便

计算)，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出

题目中涉及到的向量的坐标.这两种思路都是通过向量的计算获得几

何命题的证明.

(2)向量解决几何问题就是把点、线、面等几何要素直接归纳为

向量，对这些向量借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算

的结果翻译成关于点、线、面的相应结果，可以简单表述为“形到向

量一向量的运算一向量和数到形”.

2.向量在物理中的应用

(1)向量与力

向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可

以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一

作用点的，用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用

点上.

(2)向量与速度、加速度以及位移

速度、加速度与位移的合成和分解，实质上是向量的加减法运算.

(3)物理上力做的功实质是力在物体前进方向上的分力与物体位

移的积，其实质是向量的数量积.

卜课堂达标自测

1.已知⑷=2小，步|=2,向量a,b的夹角为30。，则以向量a,

b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()

A.10B.回

C.2D.22

答案C

解析以向量”，〜为邻边的平行四边形的对角线为a+〃与a—

|a+Z>|=\l(a+b)2=yj(T+2a-b~\~b2

12+2X2$X2X乎+4=/=2市，

\a-b\=yj(a—b)2

—2a・一+。2

=yj12-2x273x2x^+4=2.

2.已知A,B,C,。四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),

则此四边形为()

A.梯形B.菱形

C.矩形D.正方形

答案A

—►—►—►—►—►-►

解析由题意得AB=(3,3),DC=(2,2),S.AB//DC,\AB\^\DC\.

故选A.

3.平面上有三个点A(—2,y),3(0,m，C(x,y)(%WO)，若

BC,则满足条件的x,y的关系式是

答案〉2=8x(x70)

解析"：AB=[1,.-y)=12,一号，

Be中厂号=1,目，

ffv2

.'.ABBC=2x—^—0,.,.y2=8%(%W0).

4.一质点受到平面上的三个力尸1，尸2,尸3(单位：N)的作用而处

于平衡状态，已知尸1，尸2成60。角，且尸1，尸2的大小分别为2和4,

则F3的大小为.

答案2小

解析VF1+F2+F3=0,

.•.♦=一西+同)，

：.\F3\=y]F]+2Fi-F2+Fl

=^4+16+2*2义4*；=4=2#.

5.如图，在“MCB中，BD=-BC,QD与3A相交于E.求证：

BE=；BA.

BEQ

E

0

证明,：O,E,。三点共线,

，向量0£与向量。。共线.

―►―►

则存在实数2”使得0E=2QD

—►—►—►—►―►―►—►-►

11

而0£>=0B+3Q=08+Q0A,则0石=九08+才。4

又「A,E,3三点共线，

-►―►—>—>—>—>

二.BE与区4共线，则存在实数及，<BE=A2BA=22(OA-OB).

—►—►—►—►—►—►

:.BE=%0A-220B.而0B+BE=0E,

AAAAA

OB+A2OA-A2OB=AlOB+JOA.

―►―►—►-►

即(1一%z;lOB+GOAuAiOB+goA

——►f1一丸2=九，

,..OA与03不共线，.•1人；3左

1A2—3，二

­►—>

:.BE=：BA,即BE=^BA.

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.在△48C中，A8=AC,D,E分别是AB,AC的中点，则（）

―►—►—►-►

A.BD=CEB.BD与CE共线

—►—►―A—►

C.BE=BCD.力石与3c共线

答案D

解析'：D,E分别是AB,AC的中点，石〃3C,即QE与3c

共线.

—►―►—►

2.△ABC的外接圆的圆心为0,半径为1,AO=^AB-\-AC）,

~►—►—►-►

且|0A|=|AB|,则氏4・3。为（）

A.1B.小

C.—1D.—^/3

答案A

解析由题意知，。为的中点，且NA3C=60。，13cl=2,

―►-►

1=1,.,.3480=1X2x3=1.

3.人骑自行车的速度是小，风速为外，则人骑自行车逆风行驶

的速度为（）

A.V\—v2B.Vi+v2

V\

C.协|一出D.-

©2

答案B

解析对于速度的合成问题，关键是运用向量的合成进行处理,

人骑自行车逆风行驶的速度为4+。2，因此选B.

4.已知非零向量48与AC满足，竽+4三.BC=0,且丝■.分三=

\]AB\\AC\J\AB\\AC\

则△48。为（）

A.三边均不相等的三角形B.直角三角形

C.等腰非等边三角形D.等边三角形

答案D

（一f\

ARATff

解析•.•丁+言.3C=0,「.NA的平分线所在的向量与8c

Wl\AC\）

—►—►

AQAT11

垂直，所以△A3C为等腰三角形.又二•==],/.COSA=2，AZ

\AB\\AC\

jr

A=1.故3c为等边三角形.

5.已知直线％+y=a与圆f+y2=2交于A,3两点，O是坐标

-►—►-►

原点，C是圆上一点，若0A+08=0C,则。的值为（）

A.±1B.±\f?,

C.±^/3D.±2

答案A

解析如图，连接AC,BC,可知四边形OACB是菱形，OCL

AB,所以原点0到直线的距离等于半径的一半，即坐，进而可

得Q=±1.

二'填空题

6.某人从点。向正东走30m到达点A,再向正北走3S\。m到

达点B,则此人的位移的大小是m,方向是东偏北.

答案6060°

解析如图所示，此人的位移是03=0A+4B,且OAJ_A&

则QB尸心"|^T60(m),

—►

tanN8QA=M=S：NBOA=60。.

\OA\

7.已知向量。=(6,2),方=[-4,过点A(3,—1)且与向量。

+2b平行的直线/的方程为.

答案3%+2厂7=0

解析。+26=(6,2)+(—8,1)=(—2,3)=—2(1,—|),.•.过4(3,

—1)且与向量a+2b平行的直线/的方程为y+l=—京%—3),即3%

+2y—7=0.

8.若平面向量a,4满足|a|=l,网W1,且以向量a,2为邻边

的平行四边形的面积为;,则a与H的夹角3的取值范围是.

答2*案片「兀5兀

解析以a,4为邻边的平行四边形的面积为

S=|a|W|sin6=|郊in8=/,

所以sin6=加，又因为网W1,所以苏丛即sin®g且。£[0,

兀],所以。电,y.

三'解答题

9.如图，平行四边形ABCD中，E,尸分别是40,48的中点,

—►—►

G为BE与DF的交点.若AD=b.

(1)试以a,5为基底表示BE,DF；

(2)求证：A,G,。三点共线.

-►-►—>

角星(\}BE=AE-AB=^b-a,

—►―►—►

DF=AF—AD=ja—b.

—►—►

(2)证明：D,G,b三点共线，则DG=ZDR

―►—►-►

AG=AD+ADF=|Aa+(l~^b.

―►—>

B,G,E三点共线，则

手=1-4，2

由平面向量基本定理知<]解得4=〃=1,

1—>1=呼，

—►—►

.,.AG=；3+Z>)=1AC所以A,G,C三点共线.

10.今有一小船位于d=60m宽的河边尸处，从这里起，在下游

Z=80m处河流变成瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平

行)，水速大小为5m/s,如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不

能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？[sin37°=|)

解如图，由题设可知，船的实际速度0=0划水，其方向为

―►

临界方向PO.

则最小划速W划I=W水卜sin。，

.____d________60_____3

S1^-V?+?~^602+802-5>

:.e=37°.

3

二.最小划速应为v划=5Xsin9=5><W=3(m/s).

当划速最小时，划速的方向与水流方向的夹角为127。.

B级：能力提升练

1.一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向

10mile处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东75。,

以9mile/h的速度向前航行，货船以21mile/h的航速前往营救，并在

最短时间内与渔船靠近，求货船的位移.

解如下图，设渔船在A处遇险，货船在3处发现渔船遇险,

两船在C处相遇，所经时间为*h).

由已知，NA4C=45°+75°=120°,

—►—►-►

|A5|=10,\AC\=9t,\BC\=2\t