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文档简介
容斥原理(一)
【例题分析】
例1.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长5厘米的正方形。如图放在桌面上,
求这两个图形盖住桌面的面积?
分析与解:阴影部分是直角三角形,是两个图形的重叠部分,它的面积
是:
4x3-2=6(平方厘米)
方法一:"6+52-6=67(平方厘米)
方法二:8<66*53=67(平方厘米)
方法三:52-6+3x6=67(平方厘米)
答:盖住桌面的面积是67平方厘米。
例2.六一班参加无线电小组和航模小组的共26人,其中参加无线电小组的有
17人,参加航模小组的有14人,两组都参加的有多少人?
分析与解:把17人和14人相加,是把两组都参加的人算了两次,所以
减去总人数,就是两组都参加的人数17+14-26=5(人)。
也可以这样解:17-(26-14)=5(人)
或14-(26-17)=5(人)
答:两组都参加的有5人。
无\航
17人\1)14A
26人
例3.六一班有学生46人,其中会骑自行车的有19人,会游泳的有25人,既
会骑车又会游泳的有7人,既不会骑自行车又不会游泳的有多少人?
分析与解:先求出46人中会骑车或会游泳的有多少人,从中减去会骑车
或会游泳的人数,剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。
19+25-7=37(人)
46-浦=9(人)
答:既不会骑车又不会游泳的有9人。
例4.某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组,参加美术小组有20
人,参加音乐小组有24人,参加手工小组有31人,同时参加美术和音乐两个小
组有5人,同时参加音乐和手工两个小组有6人,同时参加美术和手工两个小组
的有7人,三个小组都参加的有3人,这个年级参加课外小组的同学共有多少人?
分析与解:图中的5、6、7人都是两两重叠的部分,图中的3人是三个重叠
的部分,要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。
20+24+31-5-6-7+3=60(人)
答:这个年级参加课外小组的有60人。
例5.某班在短跑、投掷和跳远三项检测中,有4人三项都未达到优秀,其他人
至少有一项是优秀,下表是得优秀的情况,请你算出全班人数。
短跑投掷跳远跑跳跑投跳投三项
19212091063
分析与解:根据题意画出如下图
要求全班有多少人,先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数,
加上三项都未达到优秀的,就是全班人数。
19+21+20-9-10-6+3=38(人)
38+4=42(人)
答:全班有42人。
例6.分母是105的最简真分数有多少个?
分析与解:这些分数是最简真分数,所以分子应小于105,只能是1—104
中的自然数,而且分子与105要互质。因为1。5=3/5>7,所以分母不能是3
的倍数或5的倍数或7的倍数。所以,要求有多少个最简真分数,实际上就是求
1—104这104个自然数中不能被3、5、7整除的数有多少个。因此要先求出能
被3整除或能被5整除或能被7整除的数有多少个。
能被3整除的数:104+3=34(个)
能被5整除的数:】04+5=20(个)
能被7整除的数:】04+7=】4(个)
能同时被3和5整除的数:】04+(3x》=6
能同时被3和7整除的数:104+(3x7)=4
能同时被5和7整除的数:104+(5x7.)=2
34+20+14-6-4-2=56(个)
104-56=48(个)
答:分母是105的最简真分数有48个。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
1.有三个面积各为50平方厘米的圆放在桌面上,两两相交的面积分别是8、10、
12平方厘米,三个圆相交的面积是5平方厘米,求三个圆盖住桌面的面积?
2.某区有100名外语教师懂英语或日语,其中懂英语的有75名,既懂英语又懂
日语的有20人。只懂日语的有多少名?
3.某班数学测验时有10人得优,英语得优有12人,两门都得优有3人,两门
都没得优的有26人。全班有多少人?
4.六年级一班春游,带矿泉水的有18人,带水果的有16人,这两种至少带一
种的有28人,求两种都带的有多少人?
5.在1至100的自然数中,不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除
的数共有多少个?
容斥原理(二)
【例题分析】
例1.有25人参加跳远达标赛,每人跳三次,每人至少有一次达到优秀。第一
次达到优秀的有10人,第二次达到优秀的有13人,第三次达到优秀的有15人,
三次都达到优秀的只有1人。只有两次达到优秀的有多少人?
分析与解:“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。
要求只有两次达到优秀的人数,就是求重叠两层的部分(图中阴影部分)。
一次二次
I认典.1认
三次
\_____________,,,____________
25人
10+13+15-25-1x2=11(人)
答:只有两次达到优秀的有n人。
例2.在一个炎热的夏日,几个小朋友去冷饮店,每人至少要了一样冷饮,其中
有6人要了冰棍,6人要了汽水,4人要了雪碧,只要冰棍和汽水的有3人,只
要冰棍和雪碧的没有,只要汽水和雪碧的有1人;三样都要的有1人。问:共有
几个小朋友去了冷饮店?
分析与解:根据题意画图。
方法一:6+6+4-(3+1)-(0+!)-(1+1)+1=10(人)
方法二:6+6+4-3-1-1*2=】0(人)
答:共有10个小朋友去了冷饮店。
例3.有28人参加田径运动会,每人至少参加两项比赛。已知有8人没参加跑
的项目,参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是17人。问:只参加
跑和投掷两项的有多少人?
分析与解:“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的,也没有参加
一项比赛的,我们可以在下图中参加一项的区域用0表示。
28-17-8=3(人)
答:只参加跑和投掷两项的有3人。
例4.某校六年级二班有49人参加了数学、英语、语文学习小组,其中数学有
30人参加,英语有20人参加,语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小
组又参加语文小组的有3人,既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的
人数均为质数,而三种全参加的只有1人,求既参加英语又参加数学小组的人数。
分析与解:根据已知条件画出图。
49人
三圆盖住的总体为49人,假设既参加数学又参加英语的有x人,既参加
语文又参加英语的有y人,可以列出这样的方程:30+20+1。_不_千_3+1=49
整理后得:x+y=9
由于x、y均为质数,因而这两个质数中必有一个偶质数2,另一个质数
为7。
答:既参加英语又参加数学小组的为2人或7人。
例5.某班同学参加升学考试,得满分的人数如下:数学20人,语文20人,英
语20人,数学、英语两科满分者8人,数学、语文两科满分者7人,语文、英
语两科满分者9人,三科都没得满分者3人。问这个班最多多少人?最少多少人?
分析与解:根据题意画图。
设三科都得满分者为X
全班人数=20+20+20-7-8-9+X+3
整理后:全班人数=39+x
39+x表示全班人数,当x取最大值时,全班人数就最多,当x取最小值
时,全班人数就最少。x是数学、语文、英语三科都得满分的同学,因而x中的
人数一定不超过两科得满分的人数,即x07.x08且刀与9,由此我们得到
x<7o另一方面x最小可能是0,即没有三科都得满分的。
当X取最大值7时,全班有(39+7=)46人,当X取最小值0时,全班有
(〈9+0=139人。
答:这个班最多有46人,最少有39人。
【模拟试题】(答题时间:30分钟)
2
1.六年级共有96人,两种刊物每人至少订其中一种,有二的人订《少年报》,
2
有5的人订《数学报》,两种刊物都订的有多少人?
2.小明和小龙两家合住一套房子,门厅、厨房和厕所为公用,在登记住房面积
时,两家登记表如下表(单位:平方米)
姓名居室门厅厨房厕所总面积
小明14128438
小龙20128444
他们住的一套房子共有多少平方米?
3.某班45名同学参加体育测试,其中百米得优者20人,跳
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