数学思想与数学活动经验分析教材

数学思想与数学活动经验分析数学与计算机科学学院姜文邮箱：gzsfdxjw@163.com问题提出：《义务教育数学课程标准》（2011年版）所提出的数学课程总目标有许多新变化，由数学“双基”到数学“四基”是最大变化之一。《课标》的基本理念强调“四基”：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。《课标》总目标第一条：学生获得“四基”通过义务教育阶段数学学习，学生能：1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。《课标》教学实施建议：

感悟数学思想，积累数学活动经验“（四）感悟数学思想，积累数学活动经验数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，……学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交流，逐步感悟数学思想。数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标……”对数学基本思想、基本活动经验应跟进研究1.对数学基础知识、数学基本技能广大教师比较熟悉，而对数学基本思想、基本活动经验较为生疏。2.为什么要提出后“两基”？其依据是什么？它们的含义、特点是什么？如何在课堂教学中落实这一目标？这些理论和实践问题都亟待跟进研究。一、数学课程目标为何要从“双基”发展到“四基”？注重“双基”教学，历来是我国数学教育目标的重要组成部分。经过长期的教育实践和探索，“双基”教学已成为我国数学教育极富自我特点的教学形式，中国学生基础扎实也成为国际数学教育界所公认的事实。此次课改继承了这一传统，促进学生数学“双基”的发展成为三维目标中的重要要求。在此次课标修定中，人们在认真总结课改经验之后也对数学“双基”进行了反思：第一，从发展来看，对数学“双基”的理解、认识亦需与时俱进。比如，一些传统的内容需要删减（如繁杂的计算、证明技巧的演练、脱离实际的陈旧的习题等）,一些体现时代要求的内容需要增加（如算法、统计、概率、数学综合与实践问题等）。此外，在实践中以应对考试为目的的“双基”过度训练也导致一些数学课堂教学价值的失衡。为什么要从“双基”到“四基”？数学课程应给学生以更多

数学思想、精神的浸润第二，从数学自身来看，“双基”更多的是对数学原理、定理、概念、公式等结论性知识的反映，学习它们固然重要，但其背后更为深层次的东西是什么呢？数学的本质不在于它的结论，而在于它的思想。数学课程不应仅仅满足于教给学生一些结论，而应该能给学生以更多数学思想、精神的浸润。如何能从课程目标上支撑

创新精神和实践能力的培养呢？第三，从时代要求来看，创新精神和实践能力的培养是数学课程必须加强的目标要求，而这一要求的落实仅靠“双基”是难以支撑的。事实上，学生创新精神的培养除了要掌握必要的数学知识和技能外，还要学会数学的思考，并在多样化的数学活动中积累经验。数学课程目标应该在这些“点”上更鲜明地反映对创新人才培养的要求。知识技能

经验

思想

素养

智慧第四，发展学生的数学素养，形成数学智慧，并非单纯地通过接受数学事实来实现,它更多地需要通过对数学思想方法的领悟,对数学活动经验的条理化以及对数学知识的自我组织等活动来实现。因此，我们应该在课程中提供一个用以支撑它的更为科学的结构框架。“四基”与数学素养掌握数学基础知识训练数学基本技能领悟数学基本思想积累数学基本活动经验

——发展学生的数学素养，培养学生的创新精神和实践能力二、对数学基本思想的认识和分析早在近代科学的黎明时期,德国数学家莱布尼兹（Leibniz，1646－1716）就指出：数学的本质不在于它的对象,而在于它的思想方法。数学基本思想才是数学的本质.从数学发展看：纵观数学发展史，每一项重大的成果，无一不是首先在思想方法上得到突破和创新。例如：笛卡尔的“坐标法”思想、伽罗华的“群论”思想、罗氏和黎氏的“非欧几何”思想等都很生动地证明了这一点。就数学学习而言：无数事实说明，一个人数学学习的优劣和数学才能的大小，往往不在于数学知识累积的多寡，而在于数学思想和方法的素养是否达到一定程度，即：是否领会贯穿于数学中的精神、思想和方法，能否运用它们解决各种实际问题和进行数学的发明创造。思想是课堂的生命德国诺贝尔奖获得者、物理学家冯∙劳厄：

“教育无非是一切已学过的东西都忘掉时所剩下的东西”数学课堂教学应该是有思想的教学！有了思想才有了课堂的生命!数学学习中最本质的东西是什么呢？波利亚（美）一贯强调把“有益的思考方式，应有的思维习惯”放在教学的首位。闵山国藏（日本）指出，学生在毕业之后不久，数学知识就很快忘掉了，“然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、思维方法、推理方法和着眼点（如果培养了这种素质的话），在随时发生作用，使他们受益终身。”

什么是数学基本思想？数学基本思想是指对数学及其对象、数学概念和数学结构以及数学方法的本质性认识.数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中；它制约着学科发展的主线和逻辑架构；是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、结构、数形结合、随机…等。何为数学基本思想？

——可以讨论的观点：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，……通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”。从数学产生、数学内部发展、数学外部关联三个维度上概括了对数学发展影响最大的三个重要思想。数学思想的层次性、多样性以三个重要数学思想为例，下一层次的数学思想，还有很多。例如由“数学抽象的思想”派生出来的：分类的思想，集合的思想，数形结合的思想，“变中有不变”的思想，符号表示的思想，对称的思想，对应的思想，有限与无限的思想，等等。例如由“数学推理的思想”派生出来的：归纳的思想，演绎的思想，公理化思想，转换化归的思想，联想类比的思想，逐步逼近的思想，代换的思想，特殊与一般的思想，等等。例如由“数学建模的思想”派生出来的：简化的思想，量化的思想，函数的思想，方程的思想，优化的思想，随机的思想，抽样统计的思想，等等。如何理解？三个常用的概念：

数学思想

数学方法

数学思想方法数学基本思想和数学方法数学基本思想和数学方法既有区别也有密切的联系。如前所述，数学基本思想表现相对宏观，体现的是对数学对象的一种本质性认识；而数学方法常常是受数学思想制约的，表现相对具体，并具有程序性、步骤性、路径性和可操作性。例如归纳，从一般意义上讲，它表现为从特殊到一般的推理的思想，但若具体使用于一个关于自然数命题结论的获得时，它就是所谓的归纳法了。关于几个数学基本思想的具体分析数学抽象数学推理数学模型数学分类数学化归数形结合数学抽象思想的特点：抽象对象的特殊性:数量关系、空间形式数学抽象的多级性数学抽象的高概括性数学抽象的符号化、模式化数学方法本身也是抽象的：如公理化方法抽象思想在数学课程内容中无处不在所有概念、原理、公式、关系、结论都是数学抽象的结果。课程内容的发生、发展的主线常常靠不断的抽象来形成。………“数与代数”内容的主线

（义务教育阶段）数与代数学习内容的主线是：从数及数的运算到代数式及其运算，再到方程和解方程、函数……在数的认识中，要理解从数量抽象出数，数的扩充；在数的运算中，从整数、小数、分数的四则运算到有理数的运算，乘方和开方运算等。体现了两个抽象：表示方法的抽象和运算的逐步抽象。总体上是这条主线，但在学生学习的过程中，这几个部分不是线性排列的，也不是割裂的。关于推理思想《标准》指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。数学推理模式主要有两类，即：合情推理与演绎推理。《课标》提出合情推理

合情推理开始由美籍匈牙利数学家波利亚（1887-1985）提出。他曾任布朗大学、斯坦福大学教授，1963年获美国数学会功勋奖。他一生发表了200多篇论文和许多专著，在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复数函数、概率论、纵使数学、数论、几何和微分方程等若干分支领域都做出了开创性的贡献。曾著有《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等，它们被译成多种文字，广为流传。什么叫合情推理？合情推理主要指不完全归纳推理、类比推理、联想推理……等或然性的推理，其结论不一定成立。合情推理常用于获得数学猜想，在数学发展中起着重要作用。合情推理在义务教育数学课程中有广泛的运用。归纳推理归纳推理是以个别（或特殊）的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理方法。它是特殊到一般的方法。按照它的考查的对象是否完全而又分为：

完全归纳推理

不完全归纳推理根据某类中每一个个体都具有（或不具有）某种性质，推出该类具有（或不具有）某种性质的归纳推理称为完全归纳推理。在数学中，完全归纳推理又可分为穷举归纳法和分类归纳法两种。设考察的对象含有有限个对象，表示为：

考察内容是判定是否有性质，则穷举归纳的逻辑形式可表示如下：若考查的对象有无限多个，显然就无法穷举，这时，可将无限多个对象分成有限多个类来研究，这就是类分归纳推理。令则称为的一个分类，（）为该分类下的一个类。类分归纳推理的逻辑形式为：不完全归纳推理根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法称为不完全归纳法推理。其逻辑形式：费尔玛素数猜想：

（费尔玛数）当=0，1，2，3，4时，分别为3，5，17，257，66537，于是，费尔玛猜想“所有的都是素数。”事隔半个世纪之后，擅长计算的欧拉成功地将其分解为两个因数之积：这就推翻了费尔玛素数猜想。但不完全归纳可以促使人们通过观察分析，去发现结论，提出猜想，然后加以证明。在数学中，发现结论往往比证明结论更重要。大数学家高斯曾说过，他的许多定理都是靠归纳发现的。观察下列等式：

………由不完全归纳推理可能推测：任何大于2的偶数都可以表为两个素数之和，这正是著名的哥德巴赫猜想。类比推理类比推理是由两个或两类思考对象在某些属性上的相同或相似，推出它们在另一属性也相同或相似的一种推理方法，它是从特殊到特殊的推理。其逻辑形式如下：空间勾股定理

——三维类比二维其中d表示定点D所对的面的面积,其他类似。运用类比推理应注意以下几点：（1）类比推理的结论的可靠程度取决于两类对象的相似属性及相关程度，为提高推理结论的可靠程度,要注意尽可能选择两个相似程度及相关度高的对象来进行类比.（2）要善于观察事物的特点，善于从不同事物身上发现其共同特征。（3）要善于联想，善于由此及彼，不受范围限制，思维要发散。（4）注意把类比与归纳、演绎等方法结合起来运用，提高类比成功率。（5）避免形式上的类比。演绎推理演绎推理是从一般性原理得出特殊结论的推理方，即从一般到特殊的推理方法。演绎推理的特点是：在推理的形式合乎逻辑的条件下，运用它从真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎推理是一种必然的推理，演绎法是一种严格的逻辑证明方法。演绎推理的逻辑基础三段论这种推理是分为大前提、小前提、结论这样三段来进行的，可用公式表示如下：

（大前提）

（小前提）所以（结论）

——包含3个判断、三个概念关于分类思想分类，是依据一定的标准，将对象区分为不同种类的逻辑方法。分类是以比较为基础的，通过比较，分清对象之间的异同点，然后根据共同点将对象归合为较大的类（分类的母项）；根据差异点将事物划分为较小的类（分类的子项），从而将事物区分为具有一定从属关系的不同等级的系统。分类应该遵循正确的逻辑规则（1）分类应当相称,即各子项之和应等于母项。（2）每一次分类必须根据同一标准,否则会出现分类交叉重迭的混乱情况。（3）分类应按一定的层次逐级进行，不要越级去分.在数学中，分类思想方法有着重要的作用对某一对象，可以按不同的标准进行多次分类，也可以每次按一个标准进行多级的分类.在解决数学问题时，分类的情形是多种多样的，可能是概念的划分，性质的归类，也可能是方法的整理及具体情况的分类讨论。有些数学概念的实质就是分类。比如集合概念，本质上可视为描述人脑对客观事物的识别和分类的一种数学方法。利用分类的思想方法，能使我们准确地把握思维对象的范围和外延。比如，当思维对象是无限集时，我们往往不好把握它的特征，对对象逐一加以讨论，若采用分类的方法，则能将它分成具有个性特征的有限的几个部分，这样就能将我们的认识引向深入。例：

任给五个数，证明必能从其中选出三

个，使得它们的和能被3整除.分析：显然，我们无法穷尽所有的整数来一一加以验证。可根据3除整数所得的余数对整数作如下分类：可继续采用分类的方式对所给五个整数的可能情况分别加以证明：若属情况（1），则必有三个数之和能被3整除；若属情况（2），必有三个整数属于同一形式，这三整数之和必能被3整除；若属情况（3），根据抽屉原理，也必有三个整数属同一类型，其和必能被3整除。分类思想方法在整理数学知识方面的作用尤其突出，它能使大量繁杂的材料条理化、系统化，从而为进一步研究创造条件。例如，数的概念系统如下：关于数学化归思想

化归，就是通过问题的转化来解决问题的一种思想，它是数学活动中广泛采用的最具有思维特色的思想方法，事实上，它已成为多种数学方法的指导思想和原则。从一个广为流传的生活幽默问题中，你可以体会到善于运用化归是数学家与其他人解决问题的方式上的不同特征。

问题1假如在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？答案是：在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。

问题2

如果其它的条件都未变，只是水壶中已有了足够的水，你又应当怎样去做？化归的基本特征：

（1）问题转换性：将待求的问题转换为相对于求解者来说已能解决的问题，问题的转换是化归的关键。

（2）间接性：因问题已转化，常常表现为不是对原问题直接求解。

（3）后瞻性：在一个问题系列中，往往不是由就问题的求解逻辑地演进到新问题的求解，而是从新问题出发，逆向转换，寻求与旧问题连结的通路。

（4）简洁性：只要待求问题与已解决问题之间搭上桥，问题即解决，不必再重复有些过程。化归的要素、模式和方向：化归包括三个基本要素：（1）对什么化归，即化归对象；（2）化归成什么，即化归的目标；（3）如何化归，即化归的方法。化归的一般模式可图示如下：化归的方向是：由未知到已知，由复杂到简单、由困难到容易

问题解答*

解答问题*化归若干化归策略：特殊与一般的转化整体与局部的转化具体与抽象的转化数与形的转化已知与未知的转化化高为低化正为反化无限为有限

一化二归从《课标》的几个核心概念

看数学基本思想如何渗透此次《课标》提出了10个核心概念数感符号意识运算能力模型思想空间观念几何直观推理能力数据分析观念应用意识创新意识

——从本质上看，它们都有思想的要求

核心概念：符号意识

（1）何为符号意识？所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等等构成了数学的符号系统符号意识（Symbolsense）是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。符号感（SymbolSense）

为何改为符号意识？英文单词一样，但改动后中文意义有所不同符号感主要的不是潜意识、直觉符号感最重要的内涵是运用符号进行数学思考和表达，进行数学活动，这是一个“意识”问题，而不是“感”的问题（2）符号意识的含义《标准》对符号意识的表述有这样几层意思值得我们体会：其一，能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律。即对数学符号不仅要“懂”，还要会“用”。符号“操作”其二，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。这一要求的核心是基于运算和推理的符号“操作”意识。这涉及到的类型较多，如对具体问题的符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决等等。符号表达与符号思考其三，使学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。这又引出了两个除符号理解和操作之外的要求，即符号的表达与思考。概括起来，符号意识的要求就具体体现于：符号理解、符号操作、符号表达、符号思考四个维度。这四个维度无一不与数学基本思想关联。发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，我们不妨把这种思考称为“符号思考”例：“房间里有4条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有60个，那么有几个椅子和几个凳子？”

如果学生没有经过专门的“鸡兔同笼”解题模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进行数学思考，找到解题思路。如可以用表格分析椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或二元一次方程组的、关于字母的思考方式来加以解决。核心概念：几何直观

——此次新增的核心概念（1）对几何直观的认识顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何，在这里几何是指图形；一是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。希尔伯特（Hilbert）在其名著《直观几何》一书中指出，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。（2）《标准》中几何直观的含义

《标准》指出：“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”它表明：今后数学课程中有两件事需要刻意去做，即针对较抽象的数学对象的“图形表示”和“图形分析”。前者指教学中要培养学生通过画图来表达数学问题的习惯，能画图时尽量画；后者指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂的数学关系直观、清晰地展示出来，通过对图形的分析思考进而寻求解决问题的思路。

（3）几何直观的培养

让学生养成画图习惯,鼓励用图形表达问题可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观例：一杯可乐，第一次喝了一半，以后每次都喝剩下的一半，５次一共喝了这杯可乐的多少？n次喝了多少？１／２１／４１／８１／１６１／３２？通常算法是：把５次可乐加起来求和其实，可以：１－１／３２＝３１／３２由此可推广ｎ次喝了多少？注意寻求一些数学对象的几何意义学会从“数”与“形”两个

角度认识数学，体会其转化

数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。

数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。华罗庚：例如，若每两人握一次手，则3个人共握几次手，4个人共握几次手……，

n个人共握几次手？用归纳的方法探索规律，如下表:

人数握手次数规律

211331+2461+2+3………

n

1+2+3+…+(n-1)A1A2A3AN对于七、八年级的学生来说，要发现“1+2+3+…+(n-1)”这个规律并不容易，计算1+2+3+…+(n-1)得到

n（n-1）/2

也有困难。但是，如果把“人”抽象成“点”，“两人握1次手”抽象成“两点之间连接一条线段”，那么借助图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于n点中的任何一个点，它与其它的（n-1）个点共可连接（n

-1）条线段，因而n个点共可连接n（n-1）条线段。因为两点之间有且只有一条线段（例如线段AB与线段BA是同一条线段），所以共可连接

n（n-1）/2

条线段。让图形动起来

——图形的运动变化蕴含着丰富的思想几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最基本的图形都是对称图形，例如圆、长方形等；另一方面，在学习、研究非对称图形时，又往往是运用对称图形为工具的。对称、旋转、折叠、展开、拆分、组合、拉伸、压缩……,充分利用图形的变化来分析、解决问题。用“图形法”解决问题掌握、运用一些基本图形解决问题把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸，直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。核心概念：数据分析观念

——由统计观念改为数据分析观念

原课标中的“统计观念”，强调的是从统计的角度思考问题，认识统计对决策的作用，能对数据处理的结果进行合理的质疑等要求。此次将其改为“数据分析观念”，就是希望改变过去这一概念含义较“泛”，体现统计与概率的本质意义不够鲜明的弱点，而将该部分内容聚焦于“数据分析”。

数据分析观念的含义:

数据分析观念是学生在有关数据的活动过程中建立起来的对数据的某种“领悟”、由数据去作出推测的意识、以及对于其独特的思维方法和应用价值的体会和认识。一是过程性（或活动性）要求：让学生经历调查研究，收集、处理数据的过程，通过数据分析作出判断，并体会数据中蕴涵着信息.二是方法性要求：了解对于同样的数据可以有多种分析方法，需要根据问题背景选择合适的数据分析方法.三是体验性要求：通过数据分析体验随机性

——定量与定性、部分与整体、随机等思想。数据分析观念的要求：核心概念：运算能力

——此次增加的核心概念

运算是数学的重要内容，在义务教育阶段的数学课程的各个学段中，运算都占有很大的比重。学生在学习数学的过程中，要花费较多的时间和精力，学习和掌握关于各种运算的知识及技能，并发展运算能力。

标准对运算能力的要求《标准》指出：运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。对运算能力的认识运算的正确、有据、合理、简洁是运算能力的主要特征。运算能力并非一种单一的、孤立的数学能力，而是运算技能与逻辑思维等的有机整合。在实施运算分析和解决问题的过程中，要力求做到善于分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，使运算符合算理，合理简洁。其本质仍然是思想方法的要求。核心概念：推理能力此次《标准》提出的推理能力与过去相比，有这样一些特点：一是进一步指明了推理在数学学习中的重要意义。《标准》指出：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式”。它对我们的启示是，不仅要引导学生认识到推理是数学的重要基础之一，更重要的是要逐步培养学生运用推理思想进行思维的方式。突出了合情推理与演绎推理二是基于数学推理的特点，突出了合情推理与演绎推理这条主线。指出在数学思维和问题解决的过程中，两种推理功能不同，相辅相成——合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。

引导学生多经历“猜想——证明”的问题探索过程

通过多样化的活动，培养学生的推理能力《标准》强调通过多样化的活动来培养学生的推理能力。如《标准》提出：“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，

”（总目标），“体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多样化形式的数学活动中，发展合情推理与演绎推理的能力”（三学段）使学生多经历

“猜想——证明”的问题探索过程

在“猜想——证明”的问题探索过程中，学生能亲身经历用合情推理发现结论、用演绎推理证明结论的完整推理过程，在过程中感悟数学基本思想，积累数学活动经验，这对于学生数学素养的提升极为有利。教师要善于对素材进行此类加工，引导学生多经历这样的活动。核心概念：模型思想所谓数学模型，就是根据特定的研究目的和问题，采用形式化的数学语言，去抽象地，概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程。这一过程的步骤可用如下框图来体现：观察实际情境发现提出问题抽象成数学模型得到数学结果可用结果检验合乎实际不合乎实际修改

这些步骤反映的是一个相对严格的数学建模过程，义务教育阶段特别是小学的数学建模视具体课程内容要求，不一定完全经历所有的环节，这里有一个逐步提高的过程。

《标准》中模型思想的含义及要求模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。让学生体会和理解数学与外部世界的联系是这一核心概念的本质要求《标准》从义务教育数学课程的实际情况出发，将这一过程进一步简化为这样三个环节：首先是“从现实生活或具体情境中抽象数学问题”。这说明发现和提出问题是数学建模的起点。然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”。在这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等等数学活动，完成模式抽象，得到模型。这是建模最重要的一个环节。最后，通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。模型思想的培养要结合相关概念学习，引导学生运用数、符号、函数、不等式、方程、方程组、几何图形、统计表格等分析表达现实问题，解决现实问题。模型思想的渗透是多方位的。模型思想的感悟应该蕴含于日常教学之中，让学生经历“问题情境——建立模型

——求解验证”的数学活动过程

“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程体现了《标准》中模型思想的基本要求，也有利于学生在过程中理解、掌握有关知识、技能，积累数学活动经验，感悟模型思想的本质。这一过程更有利于学生去发现、提出、分析、解决问题，培养创新意识。情境与模型同一情境的多种模型与

同一模型的多重情境

前者有利于以情境作载体,通过不同的模型形成对问题的多角度探讨，有利于培养学生综合运用知识深入探索问题的能力。后者不仅反映出数学问题的来源和应用环境是多样的,在教学中运用得当,还有利于学生的知识迁移和融会贯通,培养学生逆向思维能力。

案例

香港教材：“公说公有理，婆说婆有理”某企业有5个股东，100个工人，90—92年间收益情况如下：

年份股东红利（元）工资总额（元）

1990年5万10万

1991年7.5万12.5万

1992年10万15万

将它画成图表（如图）：

9091921000150010000200009091929091925万10万15万（1）股东画：两条平行线，表明劳资双方“有福同享，有难同当”

（2）工会领导人画：差距越来越大，应加速增加工资。

（3）工人画：以股东和工人的个人所得计算，收入相差悬殊。对同一情境建立多种数学模型100%150%200%同一模型的多重情境看图说故事511152由模型想情境[说明]通过这个活动，激发学生自己思考并构造出满

足模型的实际情境，以加深对函数模型的理解。

学生可以设计多种情境，比如，把这个图看成“小王跑步的s-t图”，可以说出下面的故事：小王以常速度400米/分，跑了5分钟，在原地休息了6分钟，然后以常速度500米/分，跑回出发地。再比如：有一个容积为2升的开口空瓶子，小王以常速度0.4升/秒，向这个瓶子注水，灌了5秒后停水，等6秒后，然后以常速度0.5升/秒，倒空瓶中水。老师可以鼓励学生，创设不同的符合函数关系和实际情况的情境。

若表示“某人从家出发任一时刻到家的距离（s）与时间（t）之间的关系”，也可以说出多种情境故事：

一般可以描述为；在OP上匀速直线运动；在PQ上静止；在QR上匀速直线运动。其实对PQ还可有多种描述：静止或圆周运动，可以前进也可以后退，有静有动，有进有退。由模型想情境核心概念：应用意识应用意识有两个方面的含义：一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题。——数学知识现实化另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。

——现实问题数学化案例：三根电线的长度与电阻上海51中学陈振宣提供:他的一个学生在和平饭店做电工。发现地下控制仪表温度与10楼温度不一样，怀疑是三根连接电线不一样长使电阻不一样。如何测知他们的电阻呢？

x+y=ay+z=bz+x=cxyz数学应用意识的实质即运用数学模型解决问题数学基本思想的教学策略：融数学基本思想的教学于数学知识内容的教学之中精心设计有利于学生感悟数学思想的数学活动在解决问题的教学中突出数学思想方法教师要善于挖掘教材中的思想要素，以适当的方式使学生感悟在解决问题的教学中突出数学思想三个层次：一招一式的知识、技能训练掌握数学方法，能举一反三感悟数学基本思想，体会数学的本质注意教材中蕴含的数学基本思想在课程内容和教材中，数学基本思想其实是很丰富的，这些思想常常处于潜形态，教师要成为有心人。

如何使数学思想从潜形态转变为显形态呢？

※分类

※化归

※归纳

抽象思想模型思想

类比思想化归思想推理思想对基本数学活动经验的认识与分析所谓基本数学活动经验，是指在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际操作、考察和思考，从感性向理性飞跃时所形成的认识。数学活动经验的积累过程是学生主动探索的过程。经验与思想紧密关联R.柯朗H.罗宾：

“只有靠了数学自身的经验，才能把握数学思想是什么？”1.将数学活动经验作为数学教学目标的依据及合理性（1）从教育哲学的角度看数学活动经验

经验是教育哲学范畴中一个极为重要的概念，这一概念与教育哲学的本体论、认识论密切相关。杜威指出:“教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。”这里的“经验”概念包括两重意义，一是经验事物，另一是经验的过程，仅仅把经验理解为人们主动活动的结果是片面的，不可取的。杜威：“一盎司经验胜过一吨理论”

“教育是在经验中、由于经验和为着经验的一种发展过程”。由此教育哲学观点可以看出，经验是课程与教学的基本构件，经验的习得与发展是课程与教学追求的目标。由于经验是在与环境的相互作用中产生的，数学活动是数学经验的主要来源，所以，将数学活动经验的获得作为课程目标、教学目标是合理的。(2)数学观的变化引起人们对数学活动经验的重视究竟应该如何看待数学?作为认识数学的一种观点，数学究竟应被看成是人类的一种活动，还是等同于这种活动的最终产生物?很多学者认为：采取前一种立场的即是所谓的“数学活动论”。数学活动论的兴起正是数学哲学现代发展的一个重要特点。将数学视为活动、过程的数学观直接影响到我们树立相应的数学教育观。遵循这样的认识，学生在数学学习中的活动及其经验的获得更引起了重视，正如《标准》指出:数学教学活动“既要考虑数学自身的特点，也要遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发……数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”“应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们……获得广泛的数学活动经验。(3)从数学经验与学生心理发

展的关系看数学活动经验《标准》研制之初，数学课程与学生心理发展的关系是研究的专题之一，新课程试验这么多年来，数学学习心理的研究也始终是各方关注的重点，归纳一下，如下业已形成的共识为我们认识数学活动经验提供了一些科学的视角：课本知识不应当是独立于学生生活的“外事物”，在学习中，知识是通过认知主体的积极建构而获得的

因此知识可以视为个人经验的合理化和系统化。

学生数学学习的过程是建立在经验基础之上的一个自我再创造（或创新构造）过程。在这一过程中，学生通过多样化的活动，不断获得、积累经验，分析、理解、反思经验，

从而获得发展。学生数学学习过程应当是富有个性的、满足多样化学习需求的过程。

对某一数学对象而言，其客观属性的表述是唯一的，在对这一对象认识的过程中所获得的经验却又是多样化的，因而学生的发展也不会是同一的。(4)从新课程内涵的发展变化看学习经验◆课程的词源意义（“Curriculum”源于拉丁语“currere”)◆对课程的多元理解

学科知识维度目标计划维度经验体验维度活动维度课程内涵愈来愈被赋予了动态的意义课程内涵愈来愈被赋予了动态的意义:一是“课程即体验”，认为学习者本人是课程意义的生成者与诊释者，课程要提供一种充满情感、富有思考、感受多重的真实体验。二是“课程即活动”，认为课程是人的各种自主活动的总和，学习者通过与活动对象的相互作用来实现自身各方面的发展。2.对数学活动经验的基本认识

什么是数学活动经验?

黄翔《获得数学活动经验应成为

数学课堂教学关注的目标》

——《课程.教材.教法》2008.1期

数学活动经验的基本特征：数学活动经验是基于学习主体的，它带有明显的主体性特征，因此也就具有学习者的个性特征，它属于特定的学习者自己。

—主体性数学活动经验是学习者在学习的活动过程中所获得的，离开了活动过程这一实践是不会形成有意义的数学活动经验的

—实践（过程）性数学活动经验反映的是学习者在特定的学习环境中或某一学习阶段对学习对象的一种经验性认识，这种经验性认识更多的时候是内隐的，原生的或直接感受的、非严格理性的，也是可在学习过程中可变的。

—发展性即使是外部条件看来相同，但是对同一对象，每一个学生仍然可能具有不同的经验

——多样性数学活动经验的类型：直接的活动经验，间接的活动经验，设计的活动经验和思考的活动经验直接的活动经验是与学生日常生活直接联系的数学活动中所获得的经验，如购买物品、校园设计等。间接的活动经验是学生在教师创设的情景、构建的模型中所获得的数学经验，如鸡兔同笼、顺水行舟等。设计的活动经验是学生从教师特意设计的数学活动中所获得的经验，如随机摸球、地面拼图等。思考的活动经验是通过分析、归纳等思考获得的数学经验，如预测结果、探究成因等。数学活动经验并不仅仅是解题的经验，

更加重要的是在数学活动中思考的经验提出数学活动经验，还有一个重要目的，就是培养学生在活动中从数学的角度进行思考，直观地、合情地获得一些结果，因为进行创造，获得新结果的主要途径是作出猜想。数学活动经验并不仅仅是解题的经验，更加重要的是思维的经验，是在数学活动中思考的经验。数学基本活动经验：学习主体通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验。“四基”是客观性知识与主观性体验的结合是结果性知识与过程性活动的结合

经验，在哲学上指人们在同客观事物直接接触的过程中通过感觉器官获得的关于客观事物的现象和外部联系的认识。3.数学课堂教学应致力于学生数学活动经验的获得如下策略或途径值得我们关注并探讨：

①数学活动经验是在活动中产生的，因此使学生获得数学活动经验的核心是要提供一个好的活动。对数学课堂教学来说，应注意：

——活动提供一个好的数学活动：要为每一个学生进行活动，创设良好的学习环境和问题情境要为学生获得更多的活动经验提供广阔的探索空间有效的数学活动要充分体现数学的本质有效的数学活动要使学生能积极参与，充分交流数学活动要引导学生经历发现、提出、分析、解决问题的全过程②应重视《标准》过程性目标在课堂教学中的落实

——过程《标准》对过程性目标进行描述的行为动词如下：

过程性目标

经历在特定的数学活动中，获得一些感性认识。

体验参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验。探索独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。在此次《标准》修改中，保留了上述对过程性目标的设定，只是对内涵作了适当修改，使其层次更清晰，要求更明确。经历、感受、体验、探索等在相应的目标领域，结合不同的内容点都有具体的要求，教师要注意这些目标的落实，不要使过程性目标成为可有可无的软目标。③发掘“做数学”的课堂教育价值

——做数学

做数学新课程下，“做数学”的内涵及形式大大拓展：

动手做（hands-on）,做中学（learningfromdoing）、数学试验…等，动脑、动手、动口，多种感官协同活动，有利于多渠道地有效地获得数学活动经验。动手做、做中学、数学实验

——几个案例波利亚(G．P01ya)在《数学的发现》一书中对于课堂水平的研究问题作详细探讨后说，实验与探究性问题对学生至少有以下三点作用：

第一，可使学生体验数学是怎样形成的，体验什么是独立的创造性的工作．

第二，对大多数学生来说不仅有利于加深对数学的理解而且还有利于加深对科学的理解．通过探究性问题可以恰当地给出“归纳法研究”和“科学方法”的初步概念．

第三，它揭示了数学中人们很少注意的一个重要方面，即数学在这里作为一种“观察的科学”是借助观察和类比而导致发现的科学，因此它显得与自然科学有着紧密的联系．这方面对于将来要用数学的人、未来的科学家和工程师，显得尤其重要．例：24小时内，钟面上的时针与分针

一共重合多少次？有人用这一问题同时向中国儿童和美国儿童提问，发现美国儿童用其所戴手表进行实验者居多，而中国儿童则用笔进行计算者居多。这反映出不同国度学生不同的学习方式和思维习惯动手操作，进行实验有人在我国小学生、中学生和大学生中进行了试验．结果发现，对于这个问题的解决，在这三个层次的学生中差不多各有近三分之一的学生在动笔演算，另有多于三分之一的学生在做思考状，其余近三分之一的学生准备拨弄他们的手表．可见，同一国度的不同学生之间的学习方式和思维习惯也存在较大差异．最后大家一致认为，“拨弄手表进行实验”这一方法无疑是最快获得答案的方法．通过“拨弄手表”，不仅仅能得到“重合22次”这一结论，而且会发现钟面上还有许多可以探究的问题：

(1)能否求出每一个具体重合的时刻?(2)24小时内时针和分针一共垂直多少次?分别在哪些时刻垂直?(3)24小时内时针和分针一共有多少次成180度角?分别在哪些时刻成180度角?(4)24小时内时针和分针有多少次成指定角n度?分别在哪些时刻成指定角n度?

若没有进行“拨弄手表”这一实验，这些问题在头脑里缺乏感性经验，也难以寻求到解决问题的方法。从寻求解题模式角度出发，可按“行程问题中的追及问题”求解，即：

追及时间＝路程差÷速度差将时针与分针重合的12点设为计时起点．将钟面圆周平均分成60格，则分针速度为1格／分，时针每小时(60分钟)走5格，时针速度为1/12(5/60)格／分，计时一开始，分针将先走在时针前面，并会在比时针多走1圈后追上时针，因为每分钟分针比时针多走(1—1/12)格，一共比时针多走60格，所以所用时间亦即第一次重合时间为

T1＝路程差÷速度差＝60÷(1一1/12)＝60+60/11(分)，即1点过60/11分；

第二次重合时．分针比时针多走两圈，可得重合时间为

T2＝路程差÷速度差＝120÷(1—1/12)＝120十120/11(分)，即2点过120/11分；这样可知．第N(N＝3，4，…，11)次重合时间为

TN＝路程差÷速度差＝N·60÷(1一1/12)＝N·60+N·60/11(分)，即N点过N·60/11分。

特别地，当N＝11时，T11＝11点过60分，正好是12点整．这样就求出了12小时内分针和时针重合的时刻，下一个12小时内分针和时针重合的时刻与此相同。善于在“生活”中积累数学活动经验

比如你在煎蛋时有没有想到用时问题：用一只平底锅煎鸡蛋，每次只能同时煎两个鸡蛋．煎