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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.有一改形塔几何体由若千个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是()A.8 B.7 C.6 D.42.已知四棱锥,底面ABCD是边长为1的正方形,,平面平面ABCD,当点C到平面ABE的距离最大时,该四棱锥的体积为()A. B. C. D.13.下列函数中,在区间上为减函数的是()A. B. C. D.4.2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为A.96 B.84 C.120 D.3605.在中,,分别为,的中点,为上的任一点,实数,满足,设、、、的面积分别为、、、,记(),则取到最大值时,的值为()A.-1 B.1 C. D.6.在区间上随机取一个实数,使直线与圆相交的概率为()A. B. C. D.7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B.C. D.8.已知向量,,则向量与的夹角为()A. B. C. D.9.函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,并且函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则实数的值为()A. B. C.2 D.10.如图,在矩形中的曲线分别是,的一部分,,,在矩形内随机取一点,若此点取自阴影部分的概率为,取自非阴影部分的概率为,则()A. B. C. D.大小关系不能确定11.将函数向左平移个单位,得到的图象,则满足()A.图象关于点对称,在区间上为增函数B.函数最大值为2,图象关于点对称C.图象关于直线对称,在上的最小值为1D.最小正周期为,在有两个根12.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()A. B.64 C. D.32二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.五声音阶是中国古乐基本音阶,故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徵、羽,如果把这五个音阶全用上,排成一个五个音阶的音序,且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧,可排成______种不同的音序.14.某校初三年级共有名女生,为了了解初三女生分钟“仰卧起坐”项目训练情况,统计了所有女生分钟“仰卧起坐”测试数据(单位:个),并绘制了如下频率分布直方图,则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生有_____________个.15.已知,若,则________.16.将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像,则函数在区间上的值域为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数的图象在处的切线方程是.(1)求的值;(2)若函数,讨论的单调性与极值;(3)证明:.18.(12分)如图,在四棱锥中,平面,底面是矩形,,,分别是,的中点.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)设,求三棱锥的体积.19.(12分)已知椭圆,过的直线与椭圆相交于两点,且与轴相交于点.(1)若,求直线的方程;(2)设关于轴的对称点为,证明:直线过轴上的定点.20.(12分)已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)设点,直线与曲线交于两点,求的值.21.(12分)已知是各项都为正数的数列,其前项和为,且为与的等差中项.(1)求证:数列为等差数列;(2)设,求的前100项和.22.(10分)如图所示,在三棱柱中,为等边三角形,,,平面,是线段上靠近的三等分点.(1)求证:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
则从下往上第二层正方体的棱长为:,从下往上第三层正方体的棱长为:,从下往上第四层正方体的棱长为:,以此类推,能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【详解】最底层正方体的棱长为8,则从下往上第二层正方体的棱长为:,从下往上第三层正方体的棱长为:,从下往上第四层正方体的棱长为:,从下往上第五层正方体的棱长为:,从下往上第六层正方体的棱长为:,从下往上第七层正方体的棱长为:,从下往上第八层正方体的棱长为:,∴改形塔的最上层正方体的边长小于1,那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选:A.【点睛】本小题主要考查正方体有关计算,属于基础题.2、B【解析】
过点E作,垂足为H,过H作,垂足为F,连接EF.因为平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.设,将表示成关于的函数,再求函数的最值,即可得答案.【详解】过点E作,垂足为H,过H作,垂足为F,连接EF.因为平面平面ABCD,所以平面ABCD,所以.因为底面ABCD是边长为1的正方形,,所以.因为平面ABE,所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.易证平面平面ABE,所以点H到平面ABE的距离,即为H到EF的距离.不妨设,则,.因为,所以,所以,当时,等号成立.此时EH与ED重合,所以,.故选:B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意辅助线及面面垂直的应用.3、C【解析】
利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性,进而可得出结果.【详解】对于A选项,函数在区间上为增函数;对于B选项,函数在区间上为增函数;对于C选项,函数在区间上为减函数;对于D选项,函数在区间上为增函数.故选:C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断,熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键,属于基础题.4、B【解析】
2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,得所有不以0开头的排列数共个,其中含有2个10的排列数共个,所以产生的不同的6位数的个数为.故选B.5、D【解析】
根据三角形中位线的性质,可得到的距离等于△的边上高的一半,从而得到,由此结合基本不等式求最值,得到当取到最大值时,为的中点,再由平行四边形法则得出,根据平面向量基本定理可求得,从而可求得结果.【详解】如图所示:因为是△的中位线,所以到的距离等于△的边上高的一半,所以,由此可得,当且仅当时,即为的中点时,等号成立,所以,由平行四边形法则可得,,将以上两式相加可得,所以,又已知,根据平面向量基本定理可得,从而.故选:D【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则,考查了平面向量基本定理的应用,考查了基本不等式求最值,属于中档题.6、D【解析】
利用直线与圆相交求出实数的取值范围,然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由于直线与圆相交,则,解得.因此,所求概率为.故选:D.【点睛】本题考查几何概型概率的计算,同时也考查了利用直线与圆相交求参数,考查计算能力,属于基础题.7、A【解析】
根据题意,可得几何体,利用体积计算即可.【详解】由题意,该几何体如图所示:该几何体的体积.故选:A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算,属于基础题.8、C【解析】
求出,进而可求,即能求出向量夹角.【详解】解:由题意知,.则所以,则向量与的夹角为.故选:C.【点睛】本题考查了向量的坐标运算,考查了数量积的坐标表示.求向量夹角时,通常代入公式进行计算.9、C【解析】由函数的图象向右平移个单位得到,函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,可得时,取得最大值,即,,,当时,解得,故选C.点睛:本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用,属于基础题;据平移变换“左加右减,上加下减”的规律求解出,根据函数在区间上单调递增,在区间上单调递减可得时,取得最大值,求解可得实数的值.10、B【解析】
先用定积分求得阴影部分一半的面积,再根据几何概型概率公式可求得.【详解】根据题意,阴影部分的面积的一半为:,于是此点取自阴影部分的概率为.又,故.故选B.【点睛】本题考查了几何概型,定积分的计算以及几何意义,属于中档题.11、C【解析】
由辅助角公式化简三角函数式,结合三角函数图象平移变换即可求得的解析式,结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项.【详解】函数,则,将向左平移个单位,可得,由正弦函数的性质可知,的对称中心满足,解得,所以A、B选项中的对称中心错误;对于C,的对称轴满足,解得,所以图象关于直线对称;当时,,由正弦函数性质可知,所以在上的最小值为1,所以C正确;对于D,最小正周期为,当,,由正弦函数的图象与性质可知,时仅有一个解为,所以D错误;综上可知,正确的为C,故选:C.【点睛】本题考查了三角函数式的化简,三角函数图象平移变换,正弦函数图象与性质的综合应用,属于中档题.12、A【解析】
根据三视图,还原空间几何体,即可得该几何体的体积.【详解】由该几何体的三视图,还原空间几何体如下图所示:可知该几何体是底面在左侧的四棱锥,其底面是边长为4的正方形,高为4,故.故选:A【点睛】本题考查了三视图的简单应用,由三视图还原空间几何体,棱锥体积的求法,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】
按照“角”的位置分类,分“角”在两端,在中间,以及在第二个或第四个位置上,即可求出.【详解】①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧,此时有种;②若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧;③若“角”在第二个或第四个位置上,则有种;综上,共有种.故答案为:1.【点睛】本题主要考查利用排列知识解决实际问题,涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用,意在考查学生分类讨论思想的应用和综合运用知识的能力,属于基础题.14、【解析】
根据数据先求出,再求出分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数即可.【详解】解:,.则分钟至少能做到个仰卧起坐的初三女生人数为.故答案为:.【点睛】本题主要考查频率分布直方图,属于基础题.15、1【解析】
由题意先求得的值,可得,再令,可得结论.【详解】已知,,,,令,可得,故答案为:1.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给二项式的赋值,求展开式的系数和,可以简便的求出答案,属于基础题.16、【解析】
根据图像的平移变换得到函数的解析式,再利用整体思想求函数的值域.【详解】函数的图像向右平移个单位得,,,.故答案为:.【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换、值域的求解,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意整体思想的运用.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)单调递减区间为,单调递增区间为,的极小值为,无极大值;(3)见解析.【解析】
(1)切点既在切线上又在曲线上得一方程,再根据斜率等于该点的导数再列一方程,解方程组即可;(2)先对求导数,根据导数判断和求解即可.(3)把证明转化为证明,然后证明极小值大于极大值即可.【详解】解:(1)函数的定义域为由已知得,则,解得.(2)由题意得,则.当时,,所以单调递减,当时,,所以单调递增,所以,单调递减区间为,单调递增区间为,的极小值为,无极大值.(3)要证成立,只需证成立.令,则,当时,单调递增,当时,单调递减,所以的极大值为,即由(2)知,时,,且的最小值点与的最大值点不同,所以,即.所以,.【点睛】知识方面,考查建立方程组求未知数,利用导数求函数的单调区间和极值以及不等式的证明;能力方面,考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力;试题难度大.18、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取中点,连,,根据平行四边形,可得,进而证得平面平面,利用面面垂直的性质,得平面,又由,即可得到平面.(Ⅱ)根据三棱锥的体积公式,利用等积法,即可求解.【详解】(Ⅰ)取中点,连,,由,可得,可得是平行四边形,则,又平面,∴平面平面,∵平面,平面,∴平面平面,∵,是中点,则,而平面平面,而,∴平面.(Ⅱ)根据三棱锥的体积公式,得.【点睛】本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明,以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积,其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.19、(1)或;(2)见解析【解析】
(1)由已知条件利用点斜式设出直线的方程,则可表示出点的坐标,再由的关系表示出点的坐标,而点在椭圆上,将其坐标代入椭圆方程中可求出直线的斜率;(2)设出两点的坐标,则点的坐标可以表示出,然后直线的方程与椭圆方程联立成方程,消元后得到关于的一元二次方程,再利用根与系数的关系,再结合直线的方程,化简可得结果.【详解】(1)由条件可知直线的斜率存在,则可设直线的方程为,则,由,有,所以,由在椭圆上,则,解得,此时在椭圆内部,所以满足直线与椭圆相交,故所求直线方程为或.(也可联立直线与椭圆方程,由验证)(2)设,则,直线的方程为.由得,由,解得,,当时,,故直线恒过定点.【点睛】此题考查的是直线与椭圆的位置关系中的过定点问题,计算过程较复杂,属于难题.20、(1)直线普通方程:,曲线直角坐标方程:;(2).【解析】
(1)消去直线参数方程中的参数即可得到其普通方程;将曲线极坐标方程化为,根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程;(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程,根据参数的几何意义可知,利用韦达定理求得结果.【详解】(1)由直线参数方程消去可得普通方程为:曲线极坐标方程可化为:则曲线的直角坐标方程为:,即(2)将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程,整理可得:设两点
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