高中数学-函数的最大（小）值教学设计学情分析教材分析课后反思

3.2.1单调性与最大QJ、）值

第2课时函数的最大（小）值

（-）教学目标

1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义；

2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值；

3.通过本节课的学习，使学生体会数形结合思想、分类讨论思想在求解最值中的作用，提

高学生逻辑推理、数学运算的能力。

（二）教学重点与难点

重点：会求函数的最值。

难点：掌握求函数最值的方法。

（三）过程与方法

合作讨论式教学法。通过师生合作、讨论，在示例分析、探究的过程中，获得最值的概

念。从而掌握应用单调性求函数最值这一基本方法。

（四）核心素养

借助函数最值的求法，培养直观想象、数学运算及逻辑推理等素养。

（五）教学过程

教学环

教学内容师生互动设计意图

-Hj-

师：画出函数=的图象，观从学生

熟悉的二次

察函数/（力=一£图象的特点？

函数及其图

生：图象有最高点（0,0）

设计问像引出最值

题，创师：通过观察，函数/（*）=一%2的图得概念，遵

设情境画出函数/（x）=-£=循从特殊到

象上有一个最高点（0,0）,即当x=。

的图象，观察函数图象的特点。一般的原

的时候，函数值最大，如何用数学语言

则。问题出

来描述它呢？

发，激发学

（学生思考）

生的学习兴

找学生站起来回答。

趣，同时为

生：Vxe尺都有,学习接下来

师：函数/（X）什么时候取到最大值0?的函数最值

概念做好铺

生：当x=O时，4》）=0。

垫。

应用函

学生探如果股是函数y=f（x）的最大

师生合作，通过分析明确M需要满足的数图象感知

索，尝值，那需要满足什么条件？

条件。函数的最大

试解决

值。

师：概念中的两个条件必须同时满足吗？

只满足一个行不行？如果只有条件（1）,

没有条件（2）可以吗？带着这个问题，

我们来看一下：如果在刚才的坐标系中再

函数最大值概念：

取一点（0,1）,则有那能说

一般地，设函数y=/（x）的定义域

函数=的最大值是1吗？由实例

为I,如果存在实数M满足：

生：不能。抽象获得最

（1）对于任意XW/,都有

师：为什么？大值概念.

形成

生：因为取不到。并且让学生

概念

（2）存在/e/,使得师：再举个例子，如果用y表示我们班男真正理解两

个条件缺一

/（x（））=M。生的身高，2.26m是姚明的身高，这里的

不可。

y<2.26m,那么能说我们班级男生身高

那么，称是M函数y=/（x）的最

的最大值是2.26m吗？

大值。

生：不能，因为姚明不是我们班的同学，

取不到2.26m»

师：所以条件（2）必须有•

师：如果只有条件（2）可以吗？

生：不行。

师：最大值的核心就是不等式

所以不能只有(2)。

师：在函数的最大值的定义中，(1)(2)

两个条件缺一不可。

师：观察函数/(力=必图象的特点？

生：图象有最低点(0,0)

O

函数最小值概念.

师：你能依照函数最大值的定义，得出函

一般地，设函数y=/(x)的定义域

数的最小值的定义吗？

为I,如果存在实数M满足：师生合作，学生口述，老师评析并板

(1)对于任意xe/,都有书定义。

由最大值定

形成

义类比最小

概念函数的最值：

(2)存在,使得值定义.

L定义：函数的最大值和最小值统称

〃x0)=M。

为函数的最值；

那么，称是M函数y=的最2.几何意义：函数丁””的最值是

小值。函数图象最高点或最低点的纵坐标；

3.说明：函数的最值是在整个定义域

内的性质。

师生合作讨论例1及变式的解法思自学与指导

例1已知函数/(x)=d—2x+2想，老师点评。相结合，提

例1解：作出函数/(X)=X2-2X+22高学生的学

(1)函数在［。，3)上存在

运用规习能力.

最大值和最小值吗，如果存在，的图象。

律，解(1)以简单

求出它的最大值和最小值；显然，问题(1),函数

决问题(2)求出函数在［0,3］上的问题考查了

“x)=xf+2在［。，3)有最低点，

最大值和最小值学生对函数

没有最高点，所以有最小值1,没有最大

最大值和最

值。

小值的理

了学生的学

习兴趣，渗

透数形结合

和分类讨论

的思想。

图象如图①所示，函数/(X)在区间

上1+1］上单调递减，所以最小值为

当/41K/+1,即owrwi时，

函数图象如图②所示，最小值为

41)=1;

当，>1时，函数图象如图③所

示，函数/(%)在区间上"+1］上单调

递增，所以最小值为

2

/(r)=r-2r+20

r+l,r<0,

综上可得，g(f)=<1,。"，(1,

t~—2t+2,f>1.

例2已知函数(*e［2,6］),

x—1例2分析：由函数y=——

x-1进一步

求函数的最大值和最小值.

(xw［2,6］)的分母变大，整体变小，函固化求最值

数^=啖在区间［2,6］上递减.所以，的方法及步

2骤.

函数y=—■在区间［2,6］的两个端点

上分别取得最大值和最小值。

解：设Vjq,%w［2,6］,且玉，讲练结合，

固化技能。

则

运用函数单

/（%）〃％）=1

调性求最值

X,-1x2-1

是求函数最

二2口

（%-1）（工2-1）值的重要方

法，特别是

2（/一百）

（X1-1）（々T）当函数图象

不好作或作

由24玉＜/＜6

不出来时，

得%,-%（＞0,（%1-l）（x-1）＞0,

2单调性几乎

于是〃%）-/（修）＞0,成为首选方

法。

即

2

所以，函数y=」是区间［2,6］上

X~~1

2

是单调递减的。因此，函数y=——在

X-1

区间［2,6］的两个端点上分别取得最大值

与最小值，即在x=2时取得的最大值，

最大值是2,在尤=6时取得最小值，最

小值是0.4。

学生进一步

变练演1.已知函数体会数形结

1.解：作出函数“X）的图象（如

练，深X2,-1<X<1；合，并且深

〃x)=1.图）

化提高刻理解函数

lx

最值的几何

求y=/（x）的最大值、最小值.意义。

-101X

由图象可知，当％=±1时，/（X）

取最大值为/（±1）=1。

当x=0时，/"）取最小值，

故“X）的最大值为1,最小值为

2.求函数/（x）=x+3在[1,2]上Oo

的最小值。

2.解：

法一：设1<%<马，

44

则/,（七）一/'（々）=尤1+---X2----

4]人2让学生体会

4（马一王）

求函数最值

=X1-x2+—^———

得方法：图

_（%一巧）（不玉一4）象法，利用

XjX2单调性，基

,.<1<X,<X2本不等式。

x]-x2<0,x]x2-4<0,x]x2>0

"（%）>〃/）

在[1,2]上是单调递减的。

...当x=2时，/（x）取得最小值4。

法二：因为％c[1,2]

所以JC>O,—>O

所以於=4

XyX

4-

当且仅当X=:即％=2

时等号成立,

所以函数〃x）=x+±在[1,2]

上的最小值为4。

师：同学们思考一下，本节课你都用

了哪些方法求函数的最值？

师生共同总结：1.数形结合

2.利用单调性

3.基本不等式

1.你收获了哪些知识？

信息交

2.你是如何收获这些知识的？

流，教师生交流合作总结、归纳.能力培养

3.你运用了哪些思想方法？

学相长

4.你还有什么疑惑吗？

分层作业：《课时分层作业十八》

课后必做：A组

学生独立完成能力培养

选做：B组,C组

作业

《函数的最大（小）值》学情分析

学生刚刚由初中升入高中，学习热情比较高，思维也比较活跃，但是我所带的班级学生

层次不同，存在较大差距。

1.学生学习能力分析：

学生刚刚学完函数的单调性，函数的单调性与函数的最大（小）值有着密切的联系，知道

了函数的单调性就能较方便地找到函数的最大（小）值。

2.学生学习困难分析：

本节利用单调性证明函数单调性对学生的运算能力要求较高，而这恰恰是许多学生的弱

点;还要学习进一步加强训练。

3.学生学习过程分析：

学生学习知识往往重结论轻过程，并且一些同学的数形结合意识比较弱，分类讨论思想

不是十分理解，教学时引导学生在学习过程中不仅要注重数学结论，更要注重知识结论产生

的过程和用到的数学思想与方法。

《函数最大（小）值》效果分析

本节课我遵循了由特殊到一般的原则，由学生熟悉的二次函数引入，层层设问，再通过

独立思考和充分的小组讨论，不仅使学生们进行了思维的碰撞，同时也使学生逐步获得新知,

提高思维能力，获得了良好的教学效果：

1.学生对于函数最大（小）值的发现、得出及最值的求法，能够很轻松地掌握。

2.学生的基本数学运算及思维能力得到一定的提高，能领悟一些基本的数学思想方法,

如：数形结合、分类讨论等数学思想方法；但由于学生还没有形成完整、严谨的数学思维习

惯，对问题的认识会不周全，良好的数学素养的形成有待于进一步提高。

3.由于学生的层次不同，对知识的认识深度有所不同。对层次较高的学生，还应引导其

形成更科学、严谨、谦虚及锲而门求学态度；基础较差的学生，由于不善表达，参与性较差，

还应多关注，鼓励，培养他们的学习兴趣，多找些机会让其体验成功。

《函数的最大（小）值》教材分析

《函数的最大（小）值》是新教材高一数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》中

《3.2.1单调性与最大（小）值》第二课时的内容，函数的最大（小）值与函数的单调性

有着密切的联系，通常知道了函数的单调性，就能较方便地找到函数的最大（小）值，函数

的最大（小）值的定义是借助二次函数及其图象引出的，概念的出现是遵循从特殊到一般的

原则•教学时，要给学生提升数学思维能力的机会，强调证明函数单调性的重要性，并且要

重视数形结合等数学思想方法的渗透。

3.2.1单调性与最大（小）值第2课时