高中数学题型全面归纳（学生版）：第六章数列

第六章数列

本章知识结构图

解析法：a„=f（n）（数列是特殊的函数）

概念表示图象法

通项公式列表法等差数列与等比数列的类比

递推公式5）=。1+（八一cin=aiq"

通项公式

数列

T等差数列H求和公式an-ram=ap-raranam=apar

等比数列—1性质

刖n项积（g>0）

（CT产0,疗。判断"(s+d)■=。9何）”

nai，q=l®an^i-an=f(n)逐差累加法

S=<Oi(l-qn)

n,，qW)

ILq鳄f)逐商累积法

常见递推类型及方法③Qn+l=PGn+q构造等比数列｛为+

④PGc+lQn=Qn-Qn+1构造等差数列

⑤Qn+i=P〃+q"

一（公式法：应用等差、等比数列的前n项和公忍）

Y倒序相加法）

常见求和方法—（分组求和法）

—（裂项求和法）

-（错位相加法）

第一节等差数列与等比数列

考纲解读

i.理解等差数列、等比数列的概念.

2.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的

问题.

4.了解等差数列与一次函数、等比数列的性质以及函数的关系一直是高考中的热点.

命题趋势探究

1.从内容上看，等差、等比数列的性质以及与函数的关系一直是高考中的热点.

2.在能力方面，要求学生具备一定的创新能力和抽象概括能力.

3.从命题形式上看，以选择、填空题为主,难度不大.

知识点精讲

一、基本概念

1.数列

(1)定义.

按照一定顺序排列的一列数就叫做数列.

(2)数列与函数的关系.

从函数的角度来看,数列是特殊的函数.在y=/(x)中，当自变量xeN*时,所对应的函数

值/(I),/(2),/(3),…就构成一数列,通常记为｛%｝,所以数列有些问题可用函数方法来解

决.

2.等差数列

(1)定义.

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一常数,则该数列叫做等差

数列,这个常数叫做公差,常用字母d表示,即4向-%=d(〃wN*).

(2)等差数列的通项公式.

若等差数列5“｝的首项是，公差是d，则其通项公式为=q+(〃—l)d=+(q-d),

是关于〃的一次型函数.或an=an,+(n-m)d,公差J=(直线的斜

n-m

率)(。〃,m,〃£N*).

(3)等差中项.

若x,A,)，成等差数列,那么A叫做x与)，的等差中项，即A=三2或2A=x+y,.在一个

等差数列中，从第2项起(有穷等差数列的末项除外)，每一项都是它的前一项与后一项的等

差中项;事实上，等差数列中每一项都是与其等距离的前后两项的等差中项.

,■、f廿3m.evec(4+a”)"n(n-V)ddla,-d,,._

(4)等差数列的前n项和S,.=—=na.+--------=—n~2+―!n(/类Jd似于

2222

2

Sn=An+Bn),是关于n的三次型函数.(三次项系数为g旦常数项为S„的图像在过原

点的直线3=0)上或在过原点的抛物线3丰0)上.

3.等比数列

(1)定义.

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个非零常数,则该数列叫

做等比数歹U,这个常数叫做公比,常用字母q表示,即皿=q(q/0,〃eN*).

a,1

(2)等比数列的通项公式.

n

等比数列的通项G„=axq-'=c-q'\c=a)(q过丰0),是不含常数项的指数型函数.

q

⑶%=产.

册

(4)等比中项

如果x,G,y成等比数列,那么G叫做X与)，的等比中项，即G2=孙或G=土而(两个同

号实数的等比中项有两个).

(5)等比数列的前"项和

〃4(4=1)

S"=<q(i-q")=q一/4,牛口

l-q―\-q/

注①等比数列的前〃项和公式有两种形式,在求等比数列的前〃项和时,首先要判断公比q

是否为1,再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q=l与

4Hl两种情况讨论求解.

②已知％,式471),〃(项数)，则利用Sn=如一")求解；已知q,a“,q(qwl),则利用

i-q

s“=早过求解.

i-q

③S,==#V"+3=如"一攵伏N0应*1),s"为关于q"的指数型函数,

\-q\-q\-q

且系数与常数互为相反数.例如等比数列{4},前”项和为5“=22,,+|+/,贝！R=.解:

等比数列前n项和S„=22n+,+/=2•4"+/,则r=一2.

二、基本性质

1.等差数列的性质

(1)等差中项的推广.

当加+〃=p+q(m,n,p,qGN*)时，则有am+an=%,+4,特别地，当〃?+〃=2P时，则

有4+%,=2册.

(2)等差数列线性组合.

①设｛an｝是等差数列,则｛叫,+h｝(A,beR)也是等差数列.

②设｛a“｝,｛b,J是等差数列,贝心44+4〃｝(4，4eR)也是等差数列.

(3)有限数列.

①对于项数为2〃的等差数列,有：

⑴S?“=〃&+%).

(II)S^=nan,S^=nall+i,5偶-5奇=〃d,当=%^•

②对于项数为2〃-1的等差数列,有；

(1)52„_,=(2«-1)«„,

(II)5奇=也”,S偶=("一l)a”,S奇—S偶=a“，U^=-•

S偶〃-1

(4)等差数列的单调性及前〃项和S”的最值.

公差d>0o｛q｝为递增等差数列，Sn有最小值；

公差”<0o｛a„｝为递减等差数列，S”有最大值；

公差4=00｛凡｝为常数列.

特别地

6Z.>0

若八，则5“有最大值(所有正项或非负项之和);

J<0

4<0

若|，则S”有最小值(所有负项或非正项之和).

J>0

(5)其他衍生等差数列.

若已知等差数列｛4｝,公差为d,前〃项和为S“，则：

①等间距抽取ap,ap+„4+2八…％+5T”，…为等差数列,公差为td.

②等长度截取£,S2,“一与33„,—S2,,,,…为等差数列,公差为m2d.

③算术平均值工,&,邑,…为等差数列,公差为

1232

2.等差数列的几个重要结论

⑴等差数列｛%｝中，若=m,am=n(mn,m,nGN"),则am+n=0.

⑵等差数列｛%｝中，若S“=根,S,“=n(m^n,m,neN*),则Sm+n=-｛m+n).

⑶等差数列｛4｝中，若S“=Snl(mx〃,机,〃wN*),则Sm+n=0.

(4)若｛%｝与｛b“｝为等差数列,且前n项和为S„与Tn，则决=&曰.

bmT2m-\

3.等比数列的性质

(1)等比中项的推广.

若加+〃=〃+q时，贝!Iaman=apaq,特别地，当m+〃=2〃时，aman-a；.

⑵①设｛a,,｝为等比数列,则｛阳,｝(2为非零常数)，｛⑷｝，伍；｝仍为等比数列.

②设｛。“｝与｛b.｝为等比数列,则伍“b“｝也为等比数列.

(3)等比数列｛4｝的单调性(等比数列的单调性由首项q与公比q决定).

a,>Q[a,<0

当।或।时，｛《｝为递增数列；

q>\[0<7<1

a>0[CL<0

当11或41时，｛%｝为递减数列.

0<q<l[q>1

(4)其他衍生等比数列.

若已知等比数列｛《,｝,公比为4,前〃项和为S“，则：

①等间距抽取

%,+,，4,+2,，…%,+(,-),，…为等比数列，公比为d•

②等长度截取

S2,”—黑,S3,,,-S2,,,,…为等比数列，公比为小'(当“=一1时，加不为偶数).

4.等差数列与等比数列的转化

(1)若｛。“｝为正项等比数列,贝U｛log,｝(c〉0,c¥1)为等差数列.

(2)若｛«„｝为等差数歹U,贝!I｛c"“｝(c>0,c¥1)为等比数列.

(3)若｛«„｝既是等差数列又是等比数列o｛«„)是非零常数列.

题型归纳及思路提示

题型80等差、等比数列的通项及基本量的求解

思路提示

利用等差（比）数列的通项公式或前〃项和公式,列出关于%,d（q）基本量的方程或不等式从

而求出所求的量.

一、求等差数列的公差及公差的取值范围

例6.1记等差数列｛%｝的前〃项和为S.，若S2=4,S4=20,则该数列的公差d=（）.

A.7B.6C.3D.2

评注求解基本量用的是方程思想.

变式1（2017全国1理4）记S“为等差数列｛q｝的前〃项和.若4+%=24,$6=48,

则仅“｝的公差为（）.

A.1B.2C.4D.8

变式2已知等差数列首项为31,从第16项起小于1,则此数列公差d的取值范围是（）.

A.(―oo,-2)B.C.(—2,+oo)D.

二、求等比数列的公比

例6.2(1)(2018北京卷文)"十二平均律"是通用的音律体系，明代朱载埴最早用数学

方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分

成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音

的频率的比都等于血.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()

A.啦于B.疹/

C.mfD.行/

变式1等比数列｛%｝的前〃项和为S“，且4%,2a2,4成等差数列，若q=1,则§4=().

A.7B.8C.15D.16

变式2等比数列｛4｝的前"项和为S“，若E，2s2,3S,成等差数歹U,则｛4｝的公比为

q—­

三、求数列的通项。“

例6.3(1)2016全国甲文17)等差数列｛%｝中，+6Z4=4,/+%=6.求｛%,｝的通项公式;

(2)(2017全国1文17)记S,为等比数列｛q｝的前〃项和.已知$2=2,S3=-6.

求｛%｝的通项公式；

变式1S,,为等差数列｛an｝的前n项和，S2=S6,«4=1,则a„=

变式2已知两个等比数列｛%｝,｛b,｝,满足q=1,4一%=1也一々=2也一色=4,求数

列｛4｝的通项公式.

例6.4在等差数列仅“｝中，4+%=8,且由为生和«9的等比中项,求数列｛。“｝的前”项

和为S”.

变式1已知数列｛4,｝的前”项和S“=〃2-9〃，则其通项%=;若它的第Z项满足

5<%<8,贝!）左=

变式2已知数列但“｝的前〃项和S“=a"-l(a为非零实数)，那么｛4｝().

A.一定是等差数列B.一定是等比数列

C.或者是等差数列,或者是等比数列

D.既不可能是等差数列,也不可能是等比数列

题型81等差、等比数列的求和

思路提示

求解等差或等比数列的前〃项和S,,,要准确地记住求和公式,并合理选取公式,尤其是

要注意其项数〃的值;对于奇偶项通项不统一和含绝对值的数列的求和问题要注意分类讨

论.主要是从〃为奇数、偶数，项明的正、负进行分类.

一、公式法（准确记忆公式，合理选取公式）

例6.5在等比数列中，若=1,%=：,则该数列的前10项和为（）.

O

A2T*2C2一击D.2一击

变式1{4}是由正数组成的等比数列，S,为前〃项和，已知24=IS?=7,则S,,=

变式2设f(〃)=2+24+27+2i°+…+23"T°(〃wN),则/⑺=().

2?72,,+4

A-(8H-1)C.1(8,,+3-1)D.1(8-l)

二、关于等比数列求和公式中q的讨论

例6.6设等比数列｛4｝的前〃项和为S“,若S3,S9,S6成等差数列,求数列的公比q.

变式1设数列｛/｝是等比数列,其前〃项和为S“，且S3=3%,则其公比q=

变式2求和Sn=l+3x+5x?+7d+…+(2〃->2,neN*,xeR).

三、关于奇偶项求和问题的讨论

例6.7已知数列｛a,,｝的通项公式为«„=(-I)"-'n2,求其前〃项和为S,,.

评注：本题中，将〃为奇数的情形转化为〃为偶数的情形，可以避免

不必要的计算，此技巧值得同学们借鉴和应用。

变式1已知数列｛《,｝中，通项嗯*，求其前"项和5”.

3(〃为止偶数)

四、对于含绝对值的数列求和

例6.8已知数列｛4｝的前〃项和S“=10〃—〃2,数列也,｝的每一项都有

bn=\a,\,求数列也,｝的前〃项和7；

评注：由正项开始的递减等差数列｛凡｝的绝对值求和的计算题解题步骤如下:

(1)首先找出零值或者符号由正变负的项4。

⑵在对〃进行讨论，当〃时，Tn=S„,当〃>/时，Tn=2S,hi-Sn

变式1在等差数列｛a,,｝中，aw=23,生5=-22,其前n项和为S,,

(1)求使S”<0的最小正整数〃

(2)求7；=同+同+…+㈤的表达式

题型82等差、等比数列的性质应用

思路提示

利用等差、等比数列的性质，主要是利用：

①等差中项和等比中项

②等差数列中S-S—S,,•一成等差数列；

m72mm73/M2m7

等比数列中S,S,-S,S,-S,,…（当4=一1时机不为偶数）成等比数列.

m72mm73ni2tn71

③等差数列S2“T=（2〃-1）凡

④等差数列的单调性

利用以上性质，对巧解数列的选择题和填空题大有裨益。

一、利用性质:当m+〃=p+p,qwN"）时，在等差数列｛a“｝中，有

册+a“=%+4；在等比数列轨,｝中，有他“=2%求解。

例6.9已知等差数列｛为｝的前〃项和为S.，若包=18-%，则S8等于（）

A、18B、36C、54D、72

变式1（2015重庆理2）在等差数列｛/｝中，若%=4,4=2，则。6=（）•

A.-1B.0C.D.6

变式2在等差数列｛4｝中，2（4+4+%）+3（%+卬）=24,则该数列的前13项和几

等于（）

A、13B、26C、52D、156

变式3在等差数列｛4,｝中，卬+4+%=39,/+必+%=27,则该数列的前9项和品

等于（）

A、66B、99C、144D、297

二、利用等差数列中Ss-S,5,—S,,•••成等差数列；

m72rnm73m2in7

等比数列中S,S,-S,S,—§,,•••（当G=—l时〃7不为偶数成等比数列求解。

m72mm73rn2m71

例6.10等差数列｛为｝的前〃项和为S“，若$2=2,§4=10,则等于（）

A、12B、18C、24D、42

评注：本题除了使用本法求解之外，还有几种求解方法，如（1）基本量法；（2）使用2

n

为等差数列求解；（3）使用5„=an123+bn（〃eN*）求解

变式1等差数列｛4｝的前几项和为S"，若&=』，则3•=（）

$83S16

1Q1

B、一C、一D

394

变式2等比数列｛。〃｝的前〃项和为S〃，若邑=3,则邑=()

78

A、2B、一C、一D、3

33

三、用有限等差数列的性质求解

例6.11已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()

A、5B、4C、3D、2

变式1已知等差数列｛《,｝的前〃项和为377,项数〃为奇数，且奇数项的和与偶数项的和

之比为7:6,求中项

变式2已知数列｛4｝与都是等差数列，且前〃项和为S”与7；,且&=乂土竺，则

T“n+3

使得组为整数的正整数〃的个数是()

b“

A、2B、3C、4D、5

四、利用等差、等比数列的单调性求解

例6.12已知数列｛a,｝是递增数列，且对〃eN*,都有a“=〃2+而，则实数X的取值范

围是()

7

A、—,+oo)BN[0,+OO)C、2,+co)D、(-3,+oo)

(2)在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列｛%｝是递增数列

=GN*,an+l>an恒成立”。

(3)数列乐=/(〃)的单调性与y=/(x),的单调性不完全一致。

一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理。但若数列对应

的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题。即“离散函数有单

调性处连续函数由单调性；连续函数有单调性=离散函数有单调性”。

变式1已知函数/(x)='(x<7),若数列｛4｝满足4=/(〃)(“wN*),且

｛4｝是递增数列，则实数a的取值范围是()

一9、9

A、-,3B.(-,3)C、(2,3)D、(1,3)

4)4

例6.13在等差数列｛q｝中，已知囚=20,前n项和为S,,,且Si。=Su,

求当〃为何值时，S“取最大值，并求此最大值。

评注：求等差数列前〃项和S“的最值的常用方法如下：

(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项。

(2)利用性质求出其正负转折项，便可以求得和的最值。

(3)利用等差数列前八项和5“=。/#0)为二次函数，根据二次函数的性质求最

值。

变式1数列｛4｝是等差数列，若生<-1,且其前n项和S“有最小值，

那么当S“取最小值时，"等于()

A、11B、17C、19D、20

变式2设等比数列｛a,,｝的首项为对，公比为q,则“q<0且0<g<1”是“对于任意〃eN"

都有a“+i>a“”的(

A、充分不必要条件B、必要不充分条件

C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件

变式3已知a„="一受(〃eN*),则在数列｛q｝的前50项中最小项和最大项分别是

n-V79

()

A、Cl।,。50B、49，。50、“8，。9D、。9，08

题型83判断和证明数列是等差、等比数列

思路提不

判断和证明数列是等差、等比数列常见的3中方法如下：

(1)定义法：对于〃22的任意正整数，都有(或乌-)为同一常数(用于证明)。

%

(2)通项公式法：

①若%=q+(〃-l)d=〃d+(4-d),则数列｛a“｝为等差数列(用于判断)；

②若%则数列｛4｝为等比数列(用于判断)；

q

(3)中项公式法：

①若2%=a,i+a“+|(〃N2,〃eN*),则数列｛a,｝为等差数列(用于证明);

②若q；=a,”,用(〃22,〃eN"),则数列｛q｝为等比数列(用于证明)；

一、定义法

例6.14⑴设｛&｝为等差数列，证明：数列卜"｝(c>O,C¥l)是等比数列。

(2)设｛为｝为正项等比数列，证明：数列｛log,凡｝(c>O,cwl)是等差数列。

评注将等差数列转化为等比数列，利用指数运算来转化；将正项等比数列转化为等差数

列，利用对数运算来转化。

变式1在数列｛4｝中，S,川=4凡+2且4=1

(1)设为，=a“+「2a”，求证：数列物,｝是等比数列

(2)设。，=去，求证：数列｛%｝是等差数列

变式2数列｛4｝的前〃项和为S“，已知q=1,=空工5"(”=2,3,4,…)，证明:

n

q

数列是等比数列。

n

变式3已知定义在R上的函数/(x)和数列｛4｝满足下列条件：q=a,

a„=/(%)(〃=2,3,4,…)，(a产a2),f\an)-/(«„_,)=A(a“一%)

(〃=2,3,4,…)，其中。为常数，%为非零常数。令b“=a”+「a”(WGN"),证明：数

列也,｝为等比数列。

二、中项公式法

例6.15已知数列｛。〃｝满足6=1,%=3,%+2=3。向一2〃〃（〃wN,）.

（1）证明：数列｛《m―%｝为等比数列。

（2）求数列｛6,｝的通项公式。

（3）若数列标｝满足47T・4^-1・•….4犷=（%+1卢（〃eN*）,证明：数列也,｝是

评注第（1）问给出数列｛4｝的一个递推公式，要证明形如｛。m-而“｝的数列为等差或等

比数列，一般将递推公式代入，利用定义法证明。利用等差中项法解决第（3）问并不能明

显看出来，这需要在对第（3）问的整理和变形中去发现解题方法。在解数学题时，既要有

严谨的推理，也要勇于探索尝试。

变式1设｛a,,｝是公比不为1的等比数列，其前〃项和为S“，且%,%，4成等差数列.

（1）求数列｛4｝的公比；

⑵证明：对任意keN*,SE，S*,S"|成等差数列.

变式2设数列4,a2,…中的每一项都不为0.

证明：｛。,｝为等差数列的充分必要条件是：对任何〃G&,都有

111n

-----+--------F••H------------------

a\a2。2a3anan+\

题型84等差数列与等比数列的综合应用

思路提示

(1)等差数列与等比数列的相互转化：等差数列通过指数运算转化为正项等比数列，正项等

比数列通过对数运算转化为等差数列。

(2)等差数列和等比数列的交汇，若一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列为非零

常数数列。

一、等差数列与等比数列的相互转化

例6.16已知数列｛a,J,物,｝是各项均为正数的等比数列，设％=%(〃eN*)

an

(1)数列｛5｝是否为等比数列？证明你的结论

Cyy

(2)设数列｛in｝,｛in或｝的前〃项和分别为S„,T„，若q=2,U=~~7，求数列匕｝

T“2〃+1

的前〃项和

变式1设数列｛a,,｝是正项等比数列，且。54=81，那么k)g34+log3a2+•••+log3a10

的值是()

A,30B,20C、10D、5

变式2已知等比数列｛4｝满足各项均为正数，且/%,"5=22"3),则当〃时,

log2%+log2a3+…+log2a2.-1等于()

A、rt(2rt-l)B、(〃+1)2c、n2D>(n-1)2

变式3设｛%｝是公比大于1的等比数列，前〃项和为S“，已知$3=7,且q+3,3%，

%+4构成等差数列。

(1)求数列｛凡｝的通项；

(2)令〃,=In*(〃wN*)，求数列也｝的前〃项和T„.

二、等差数列和等比数列的交汇问题

3

例6.17已知首项为°的等比数列｛4｝不是递减数列，其前〃项和为S”且

S3+a3,S5+a5,S4+%成等差数列，求数列｛4｝的通项公式。

变式1设数列｛4｝是首项为“，公差为d(dwO)的等差数列，其前〃项和为S”记

s

2

b"=*,(HGN"),伪力2,印成等比数列，证明：Snk=nSk(k,nwN”)

n

例6.18在等差数列｛%｝中，公差dwO,g是由与知的等比中项，已知数列%，的，4

…，…成等比数列，求数列｛%.｝的通项

例6,19设4,外，…，4,是各项均不为零的〃（〃24）项等差数列，且公差dHO.若将此数列

删去某一项后得到的数列（按原来的顺序排列）是等比数列。

（1）①当〃=4时，求幺的数值；②求〃的所有可能值.

d

（2）求证：对于给定的正整数“（〃24）,存在一个各项及公差均不为0的等差数列

々，打，…，"，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列。

评注本题考察了一个基本事实：一个数列既是等差数列又是等比数列，则该数列是非零

常数数列。

变式1、设等差数列｛4｝包含1和,求证：｛。“｝中的任意三项不构成等比数列。

最有效训练题23（限时45分钟）

1、等差数列｛%｝的公差不为零，首项4=1,生是4和生的等比中项，

则数列｛%｝的前10项