高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (五)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（5）

一、单项选择题（本大题共11小题，共55.0分）

1.在棱长为a的正方体ABCD-4$1的。1中，M为A8的中点，则点C到平面

&DM的距离为（）

AA.一a

3

DV6

D.—a

6

・CL

C—2

如图，在棱长为2的正方体ABC。-4B1GD1中，尸为BC的中

点，E为正方形8144B的中心，动点P在线段EF上，则（PD1+

PCJ2的最小值为

A.14+6V5

B.12+4，

C.17

D.24

3.在正方体4BCD-aB1GD1中，三棱锥&-BGD内切球的表面积为4兀，则正方体外接球的体

积为（）

A.8V67TB.367rC.32gD.64倔r

4.已知直线。?n,平面a,mca,那么"I"a"是

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.在正方体48。。-4当6。1中，球名同时与以A为公共顶点的三个面相切，球。2同时与以G为

公共顶点的三个面相切，且两球相切于点F.若以尸为焦点，4当为准线的抛物线经过0「02,

设球01，。2的半径分别为「1，七，则£=（）

A.亨B.V3-V2C.1-^D.2-V3

6.已知在三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC,且S在底面的射影在BABC内，设二面角S-AB—C,

S-BC-A,S-C4-B分别为a,0,y,^AASB>ABSC>ACSA,则（）

A.a>p>yB.y>^>aC.S>a>yD.不确定

7.如图，一个正四棱锥Pi-ABiG。和一个正三棱锥P2-B2c25,所有棱长都相等，尸为棱B1Q的

中点，将Pi，P2、Bi，B2,G，C2分别对应重合为P,B,C,得到组合体关于该组合体有如下

三个结论：①4D_LSP；②4D1SF；③AB//SP,其中错误的个数是（）

A.OB.IC.2D.3

8.对于任意的直线/与平面a,在平面a内必有直线根，使，”与人）

A.平行B.相交C.垂直D.异面

9.在△ABC中，ZC=90°,AB=2,AC=显,。为AC上的一点（不含端点），将△BCD沿直线BD

折起，使点C在平面ABQ上的射影O在线段A2上，则线段02的取值范围是（）

MMB.（渭）C.停,1）D.（喈）

10.已知A,B,C为球。的球面上的三个定点，4ABe=60。，AC=2,尸为球。的球面上的动点，

记三棱锥p-ABC的体积为V],三棱锥。一ABC的体积为V2,若蓝的最大值为3,则球。的表

面积为（）

A.2

B.4

C.2V2

D.V2

二、多项选择题（本大题共1小题，共4.0分）

12.如图，在正方体ABC。—4B1GD1中，点尸是线段BG上的动点，

则下列说法正确的是（）

A.无论点尸在8G上怎么移动，都有

B.当点尸移动至BG中点时，才有&F与当。相交于一点，记为

点E,且管=2

C.无论点尸在BQ上怎么移动，异面直线公F与CO所成角都不可能是30°

D.当点F移动至Bq中点时;直线&F与平面BDG所成角最大且为60°

三、填空题（本大题共11小题，共55.0分）

13,已知三棱锥S-4BC所在顶点都在球。的球面上，且SCI平面ABC,若SC=48=AC=1,

ABAC=120°,则球O的表面积为

14.己知菱形ABC。中，AB=6V3，/.BAD=60%沿对角线折成二面角4-8。一C为60°的四

面体，则四面体ABCC的外接球的表面积为.

15.如图，在直三棱柱ABC—41B1G中，AB=BC=CCr=2,AC=2®M是

AC的中点，则异面直线CB］与C】M所成角的余弦值为.

16.己知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点，AB=陋,/-ASC=/.BSC=30°,则棱锥

S—力BC的体积为.

17.如图，P41。。所在平面，AB是。。的直径，C是。。上一点，E、尸分别「卜7

是点A在PB、PC上的射影，给出下列结论:①4F1PB,②EF1PB,③AE1

BC,④平面4EF_L平面P8C,⑤AAFE是直角三角形，其中正确的命题的序,飞匚功

c

号是.

18.已知三棱锥4-BCD,AB=1,AC=2.AD=2,当S5BC+SA.BD+S-CD取最大值时，三棱锥

A-BCD的外接球表面积是.

19.已知正三棱锥的高为1,底面边长为2百，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径

为.

20.如图，设正三棱锥P—4BC的侧棱长为/,乙4PB=30。，E,F分别是BP,CP上的点，则AAEF

周长的最小值为.

B

21.如图，正四面体ABC。的顶点C在平面a内，且直线8c与平面a所成的角为45。，顶点B在平

面a上的射影为点。,当顶点A与点。的距离最大时，直线CD与平面a所成角的正弦值等于

22.如图，在正三棱柱中，侧棱长为2,底面三角形边长为1,

则BQ与侧面4CC1&所成角的正弦值是.

已知在三棱锥中，=三,且平面

23,P-ABCVP_ABC=Z71PC=%4BPCPALAC,PB1BC,

PAC_L平面PBC,那么三棱锥P-ABC外接球的体积为.

四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

24.如图所示，三棱锥P-ABC中，PAABC,/.BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的

中点.

(1)求证：AE与PB是异面直线；

(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值;

(3)求三棱锥4-EBC的体积.

25.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱4BE-CCF和一个四棱锥P-ABC/D组合而成的，其中

EF=EA=EB=2,AE1EB,PA=PD=遥,平面PAD〃平面EBCF.

(1)证明：平面PBC〃平面AEFD

(2)若直三棱柱ABE-OCF的体积为匕，四棱锥P-4BCD的体积为彩,求

26.如图，四边形ABC。是平行四边形，点P是平面4BCO外一点，例是

PC的中点，在OM上取一点G,过G和AP作平面交平面于G，。

求证:AP//GH.

27.如图，四棱锥P—4BCD中，底面ABCQ为菱形，且R4=PD=D4=2,/.BAD=60°.

(I)求证：PB1AD；

(n)若PB=V6,求点C到平面PBD的距离.

28.如图，在四棱锥P-ABC。中，AD_L平面PDC,AD"BC,PD1PB,AD=1,BC=3,CD=4,

PD=2.

(/)求证：PD1平面PBC；

(〃)求直线AB与平面户8c所成角的正弦值.

29.如图1,在直角梯形A8CD中，AD//BC,AB1BC,BD1DC,点E是BC边的中点，将△4BD沿

8。折起，使平面4BD，平面8CC,连接AE,AC,OE得到如图2所示的几何体.

(1)求证：AB1平面ADC；

(2)若ZD=1,二面角C—4B—D的平面角的正切值为通，求二面角B—AD—E的余弦值.

30.如图，已知四棱锥P-4BCD,底面ABC。为菱形，_L平面A8CD乙4BC=60。，E,F分

别是BC,PC的中点.

(I)证明：AE1PD-,

(11)若”为尸。上的动点，£”与平面PAO所成最大角的正切值为半，求二面角E-4尸—C的余

弦值.

【答案与解析】

1.答案：A

解析:

本题考查点到平面的距离，属于基础题型，三棱锥的体积以LMCD=%-ADM，所以

15AMCDx力公=[SAADMXd(设d是点C到平面4DM的距离)，即利用等体积法即可求解;

解：连接4C,MC,

可得SACMD=5s正方形ABCD=2

△中，ArD=V2a，AXM=MD=yd.

•••SAA,MD=-MDsin^MD=—a2,

i24

三棱锥的体积匕I-MCD=Pc-AiDM,

所以1S^MC。X/Ai=5s-〔DMxd（设d是点C到平面&DM的距离）,

,S^MCD'后

:，a=-------=—a.

'△.iDM3

故选A.

2.答案：B

解析：

本题主要考查空间几何体的结构特征，考查空间的距离，是中档题.

通过化曲为直，把平面CiFE绕EF旋转直到与平面严重合，使得点与6位于E尸的两侧，再求

最值问题即可得解.

如图(1),

D

a

连接。1E,EC、,DyF,CrF,ArE,EB,

把平面GFE绕E/旋转直到与平面重合，如图(2),使得点劣与加位于EF的两侧.

在正方体48。。-48道1%中，因为△24E为直角三角形且为%=2,A[E=6，故D[E=瓜

同理EF=M，D1F=3,C'E=在,CrF=V5.

222

故DXE+EF=DrF,故^OiE尸为直角三角形且zDiEF=90°.

又P£»i+PG的最小值就是图(2)中。传1的长，

在图(2)中，由余弦定理可得COSNFECI=丁三=£故sin/FEG=—,

273x7633

所以COSND1EG=cos(1+4FEG)=-y>

仃=6+6+2xV6xV6Xy=12+4近，

所以（P£»i+PCJ2的最小值为12+4夕.

3.答案：B

解析：

本题考查了球的体积，了解空间几何体的结构特征是解题的关键，是较难题.

设必到面BCi。的距离为〃，易得三棱锥&-Bq。为正四面体，则利用等体积法可得〃与内切球半

径的关系，进而根据正方体结构特征求得棱长，进而得外接球半径、体积.

解：设正方体的棱长为a,4到面BGD的距离为肌

则BC=AiB=ArD=CW=C]B=4心=缶,

•••三棱锥&-BCiD为正四面体，

•••三棱锥&-BG。内切球表面积为4兀，

••・三棱锥4-BGD内切球的半径为1.

匕i-BJP=(。为内切球球心)

即mSABJDx/I=4x-xS^BC'Dx1>

h=4,而九==|x>/3a,a=2v5,

正方体外接球的半径为J。可+(2可+(2可_

-3

2

其体积为:兀X33=367r.

故选8.

4.答案：D

解析：

本题考查的是充分必要条件的判定及线面平行性质、判定的应用.由条件不能推出结论，但结论不能

推出条件，故是既不充分也不必要条件.

解：直线平面a,mca,

因为由〃/a可得或/与相异面，

由〃/m可得〃/a或/ua,

所以"，〃a“是ul//m"的既不充分也不必要条件.

故选D

5.答案：。

解析：

本题考查抛物线的定义，内切球问题，考查空间想象能力、推理能力和计算能力，属于一般题.

由题意，两个球的球心。2和两球的切点尸均在正方体力BCD的体对角线4cl上，作

出图示，得到。2?=万=1,A02=^=V3,所以4F=AO2—3尸=遮一1，结合4尸=力。1+

0/=0rl+①可解得K从而求出言.

解：由题意，根据抛物线的定义，点。2到点尸的距离与到直线AB1的距离相等，其中点。2到点尸的

距离即半径七，

也即点。2到平面CD。©的距离，点。2到直线481的距离即点。2到平面48B1a的距离，

因此球。2内切于正方体，不妨设方=1，两个球心。1，。2和两球的切点尸均在体对角线4C1上，

两个球在平面4B1G。处的截面如图所示，

----------------------1D

yAK

O\........jr

nlcl

则。2尸=r2=1,A02=—优?，所以力尸=4。2—。2尸=8一1，

又4F=力。1+0rF=8q+q，因此(8+l)q=g—1,解得q=2—>/3»

••噜=2-6.

故选D

6.答案：A

解析：

本题考查二面角和正切函数的性质，考查推理能力和计算能力，属于一般题.

利用二面角的定义得tana=tan£=^,tany=骸且c.3.】€（（）.；）,由OD<0E<OF即可得

tana>tan/?>tany,从而得a>0>y.

解：设S在底面的射影在为O,

连接。。并延长于AB交于点。，连接AO并延长于BC交于点E,连接8。并延长于AC交于点F,

则tana=焉tan0=冷tany=净in.3.】€（（）.1）,

UUUc,Ur/

因为SA=SB=SC且44sB>乙BSC>^CSA,

则AB>BC>AC,

则。。<0E<OF,

所以tana>tan/?>tany,

故a>/?>y,

故选A.

7.答案：A

解析：

本题考查了空间几何体的叠加问题，属于中档题.对各选项逐一分析，即可得到答案.

解：由于正四棱锥和正三棱锥P2-WC2s所有的棱长都相等，可将其放入两个相同的正

四棱柱中，如图所示.

点P对应正四棱柱的上底面中心。「点S对应另一正四棱柱的上底面中心外,

由图可知拼成的组合体为一个三棱柱.由图可知4D_LSP,故①正确；

设E为的中点，又因为4D_L平面PEFS,所以40J.SF,故②正确；

因为EF〃SP,EF//AB,所以4B〃SP,故③正确.故选A.

8.答案：C

解析：

本题主要考查了线线及线面的位置关系，利用线面关系的定义判断.

由题意分两种情况判断①Zua；②/Ca,再由线线的位置关系的定义判断.

解：对于任意的直线/与平面a,分两种情况

①I在平面a内，/与，”共面直线，则存在直线mJ_I或m〃Z；

②/不在平面a内，且，la,则平面a内任意一条直线都垂直于/；

若/与平面a不垂直，

则它的射影在平面a内为一条直线，在平面a内必有直线”垂直于它的射影，则用与/垂直;

若〃/a,则存在直线心

故选C.

9.答案：A

解析：

本题考查立体几何中的折叠问题及余弦定理的应用，属于中档题，要分清折叠前后量的变化情况，

设CD=t,t€（0,国），用f表示x是关键.

先求出△ABC的边和角，设OB=x,CD=t,GO=VI=N，在△AOD中应用余弦定理，化简后用

f表示x,分析判断x的范围即可.

解：因为斜边4B=2,AC=V3,

BC=y/AB2-AC2=1

44=30°,

如图，设。B—x,CD=t,G。=V1—x2>

△04D中，OD2=AD2+AO2-2ADxAOcos/.DAB

=(V3-t)2+(2—%)2—2(V3-t)(2—x)x

由题意知，GO_L平面ABC,

则Ci。1OD,

又GD=CD=t,CjD2=CjO2+OD2,

则=1—x2+(V3—t)2+(2—x)2—V3(V3—t)(2—x),

整理得”=不要，te(0,V5),

2i

则l+gte(i,4),诉eq，2),

又因为QO=71-x2,所以x<l,

则x的取值范围是c，i).

故选A.

10.答案：B

解析：

本题主要考查的是正弦定理，棱锥的体积，球的表面积和体积的有关知识，根据题意作出图形关键

部分，利用同底三棱锥体积比等于高的比可得R，r之间的关系，由正弦定理可得，，问题得解.

解：如图，设△ABC的外接球球心为其半径为r,

球。的半径为R,由题意可知，砥）max=与M-=3,

—r/Fic2cAe42

可得R=^r,••・2「=;1;；2嬴=君，.•」=石，

当球心。在三棱锥P-ABC外时，结果不变.

故选：B.

11.答案：B

解析：

本题考查原梯形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平面中的图形与直观图中的图形

间相互关系的合理运用.由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是

一样的，平面图中的高0A是直观图中。A长度的2倍，由此能求出原梯形的面积.

解：如图，由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一

样的是两个梯形的高，

其高的关系是这样的：平面图中的高0A是直观图中。4'长度的2倍，如直观图，。力’的长度是直观

图中梯形的高的加倍，

由此平面图中梯形的高0A的长度是直观图中梯形高的2xa=2近倍，故其面积是梯形OA'B'C'的

面积2企倍，

梯形04'8'C'的面积为VL所以原梯形的面积是4.

故选8.

12.答案：ABC

解析：

本题考查空间立体几何中的综合问题，涉及线面夹角、异面直线夹角、线线垂直等问题，考查学生

的空

间立体感和推理运算能力，属于较难题.

对于A,直接证明面即可判断A；对于B,设4/和Bi。相交于点E,则4ArDE-△FB、E,

所

以等=篝，即可判断8；对于C，尸为BCi中点时，最小角的正切值号〉白，最小角大于30

即可判

V6

断C；对于力，当尸为BC1中点时■，最大角的余弦值为四=J=|<i,最大角大于60。，可判断

2

D.

解：对于A选项，在正方体中,易知ACJBIDI，由DD△面Ai&QDi得ACJDDi，

而=。「故&a_L面。/当，所以由

同理可得：BCilBtD,

又因为BGn&G=G，所以面为8G，

又&Fu面为BC1，,、iF_LZ?i£),即A正确；

对于2选项，当点F为中点时，也是当。的中点，它们共面于平面A/iCD,且必相交，

设交点为E,连接为C和B】F,如图所示：

因为△4DE〜^FBiE,所以誓=*：=2,故B正确；

对于C选项，当尸从8移至G时，异面直线4F与C。所成角由大变小再变大，且尸为BQ中点时,

最小角的正切值为/=立>攻，最小角大于30。，即C正确：

123

对于。选项，当点F在BG上移动时，直线&F与平面BOG所成角由小变大再变小，

如图所示，其中点。为公在平面BOQ上的投影，

三

当尸为8G中点时，最大角的余弦值为器=爰=9<%最大角大于60。，故。错误,

~2

故选：ABC.

13.答案:57r

解析：

本题考查三棱锥的外接球表面积，考查直线和平面的位置关系，确定三棱锥外接球球心位置是解题

关键，属于较难题.

解：取8c中点。，连接4。并延长AD到E,使得4O=OE,连接CE、BE,过E作GE〃SC,如图

所示：

可知EC=EA=EB=1,且GE1平面ABCE,

显然三棱锥S-4BC的外接球球心。在直线GE上,

设0C=0A=OB=OS=R,并过0作OF1SC于F,

由题意可得：

OF=CE=1,SF=SC-FC=SC-OE=1-VOC2-CE2=1-V/?2-1.

在RtAOFS中，由勾股定理得：OS?-OF2=SF2,

即/?2—1=(1—7R2_]),解得R=号，

故球。的表面积S=4兀/?2=4兀x(y)2=57r.

故答案为：57r.

14.答案：1567r

解析：

本题考查二面角，球的表面积.

取8。的中点E,4c的中点N,NCE4为二面角A—BD-C的平面角，为60°,M为△4BD外接圆的

圆心，在平面AEC内过M作AE的垂线交NE于点。，。为四面体A8CC外接球的球心，求解球的

半径，根据球的表面积公式求解.

解:如图，取8D的中点E,连接CE,AE,

因为△。8。和44BD都为等边三角形，

所以CE1BD,AE1BD,

CE,AEu平面ACE,CECtAE=E,

则BD1平面ACE,

所以NCE4为二面角A-BD—C的平面角，为60°,

又CE=4E,则AACE为等边三角形，

M为△力BD的重心，则M在线段AE靠近点E的三等分点处，且M为△ABC外接圆的圆心,

取AC的中点N,连接NE,NE为4c中垂线，

在平面ACE内过M作AE的垂线交NE于点。，连接。。，

因为BO1平面ACE,OMu平面ACE,

所以BD1OM,又。M1AE,

BD,AEABD,BDAE=E,

所以OMJ■平面ABQ,OA=OB=OD,

又点。在AC中垂线NE上，所以04=0C,所以。为四面体ABC。外接球的球心，

在RtAOME中，ME=-AE=-x6V3X—=3，

332

/.OEM=30°,

所以OExcos30。=3,解得OE=2V5，

ED=3V3.

且AOE。为直角三角形，

所以四面体ABCD的外接球的半径为

R=OD=yJOE2+ED2=J（2V3）2+（3V3）2—y/39'

故四面体ABC。外接球的表面积为4TTR2ITTx391567r.

故答案为1567r.

15.答案：f

解析:

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档

题.

以"为原点，为x轴，MB为y轴，过“作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量

法能求出异面直线OB】与GM所成角的余弦值.

解：在直三棱柱ABC—4/的中，AB=BC="i=2,AC=273.M是4c的中点，

•••BM1AC,BM=<4-3=1.

以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图：

C\

A

:::/

।।।/

।t।/

।।/

।,।/

i•»/•।//

M、J

C(-V3,0,0),(0,1,2),^(-73,0,2),M(0,0,0),

西=(百,1,2),~MC[=(-A/3,0,2),

设异面直线CBi与G”所成角为0，

则COS8=3RL=-A==^.

ICHJ-IMCxIV8xV728

••・异面直线AB1与C】M所成角的余弦值为唱.

故答案为：叵.

28

16.答案:V3

因为线段是球的直径，C

解析：解：设球心为点。，作A3中点。，连接CO,SD,SCK

所以它也是大圆的直径，则易得：乙SAC=4SBC

所以在SAC中，SC=4,乙4SC=30。得：AC=2,SA=2V3，

又在出△SBC中，SC=4,4BSC=30。得：BC=2,SB=2V3，

贝lj：SA=SB,AC=BC,

停2

因为点。是A8的中点所以在等腰三角形ASB中，SD1ABBLSD=VS-AD=/12--=

在等腰三角形中，且

CABCD14BCD==y]4--4=—2,

又交于点所以，平面即：棱锥的体积：

SDCDD:ABSC£>,S-ABCV=^AB-SASCD,

因为：SD=逆，CD=叵,SC=4所以由余弦定理得：cos/SDC=(SD2+CD2-SC2)—J—=(f+

22CioLf'CtU4

1316)I、6x]=__L

42x—X—43V6SV65，

222

则：sinzSDC=y/1—cos2Z.SDC=-^=,

由三角形面积公式得△SCZ)的面积S=-SD-CD•sin/SDC=-x—x—x-^==3,

2222V65

所以：棱锥的体积：

S-ABCV=\AB-S^SCD=ixV3x3=V3.

故选C.

由题意求出SA,AC,SB,BC,^SAC=/SBC=90°,说明过5,C,。的平面与AB垂直，求出三

角形SCO的面积，即可求出棱锥S-ABC的体积.

本题是中档题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，用了体积分割法.

17.答案：①②④⑤

解析：

分别根据线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理分别进行证明.

本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面垂直的性质，考查化归与转化的数学思想

方法.

解：•••48是。。的直径，

•••AC1BC,

•：PA_L。。所在平面，

PA1O。所在平面内的所有直线，

•••PA1AC,PA1AB,PA1BC,

：.BC_1面PAC,

•••BC1PC,

•••F是点A在PC上的射影，

•••AF1PC,

vAFnPC=F,

.-.PCI®PAC,：.AF1BC,

又4F1PC,

.•・4/7_1面尸8。，二4尸，28,二（1）正确；

■■■AFLPB,AF1PC,

AF1面PBC,

•••AF1EF,即AAFE是直角三角形，.•.⑤正确.

vAF1PB,AE1PB,AFC\AE=A,

.-.PBLi^AEF,.-.EFLPB,@1E^.

vAF1面PBC,

二若ZE1BC,

则4E_1_面PBC,

此时E,尸重合，与已知矛盾..•.③错误；

"AF1面PBC,

AFu面AEF,

.•・平面4EF_L平面PBC,

.••④正确.

故答案是：①②④⑤.

18.答案:97r

解析：

本题考查了球的表面积，属于中档题.

当SMBC+SAABO+S-CD取最大值时，AB、AC、AZ）两两垂直，以A&AC、A£»为长方体的三条棱，

长方体的外接球也即是三棱锥A-BCD的外接球，长方体的对角线的长即为球的直径，即可得出结

果.

解：当SAABC+SAABO+SA/ICD取最大值时，A8、AC、AQ两两垂直，

此时以AB、AC,A£＞为长方体的三条棱，长方体的外接球也即是三棱锥4-BCD的外接球，

长方体的对角线长为V#+22+22=3.

设球的半径为七则2R=3,

所以三棱锥力-BCD的外接球表面积是trR‘

故答案为97T.

19.答案：&-1

解析：

本题考查了多面体（棱柱、棱锥、棱台）及其结构特征，以及几何体的内切切球的半径的求法.

解：过点P作PDJ■平面ABC于点。，连接AC并延长交BC于点E,连接PE,

•.1△4BC是正三角形，

是8c边上的高和中线，力为△ABC的中心，

•••AB=2百，

S△ABC=3V3.DE=1,PE=V2.

5表=3x|x2V3xV2+3V3=3V6+3®

•••PD=1,.•.三棱锥的体积V=|x3V3x1=V3,

设球的半径为r,以球心。为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，贝忏=

-7^—=72-1.

3历+3遮

故答案为鱼-1.

20.答案：421

解析:

本题考查三角形周长的最小值的求法，是基础题，解

题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用.作

出棱锥的展开图，利用数形结合思想能求出△力EF周长

的最小值.

解：作出棱锥的展开图.

△力EF的周长即为AE、EF、E4三者的和.

从图中可见：为使三角形AEF的周长的值最小，

只需让A、E、F、4四点共线即可（形成图中蓝线形状）

根据题中给出的条件知：乙4PB=乙BPC=Z.CPA'=30%

^APA'=90°,

AA'~V/2+I2=V2Z.

・•.△AEF周长的最小值为&Z.

故答案为企［.

21.答案：迪电！

12

解析：

本题考查了线面角的计算，常见几何体的结构特征，属于较难题.

当A,B,O,C四点共面时，|0川最大，过。作平面A80C的垂线QN,则垂足为△ABC的中心,

求出N到平面a的距离d,则直线CO与平面a所成角的正弦值为

解：如图

/a0/

当四边形ABOC为平面四边形时，点4到点0的距离最大.

此时平面力BOC1平面a,过。作DN1平面ABOC,垂足为N,

则N为正三角形ABC的中心.

设正四面体的边长为1,则CN=jCP=叵,

33

・・•乙BCO=45°,乙BCP=30°,・•・(OCN=75°,

N到平面a的距离d=xsiii75=xsin(45?4-30)=

过。作。ML平面a,垂足为M,贝3M=d=叵型，

12

直线CD与平面a所成角的正弦值为也=①当

CD12

故答案为迎2匹

12

22.答案：小

10

解析:

本题考查线面角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题.

取AC的中点E,连接BE，GE/BCiE就是BQ与侧面所成的角，由此能求出BG与侧面力112

所成角的正弦值.

解：取4c的中点E,连接BE,GE,

•••正三棱柱ABC-AiBC中，BE1面43出,

・••NBGE就是BG与侧面4G4所成的角，

BC、=GBE=一£=亨

V3「

,-.s•in,zBQlF=—BE=V=-V15-

・•・BQ与侧面4CC12所成角的正弦值为骞，

故答案为叵.

10

23.答案：子

解析：

本题主要考查了三棱锥P-4BC外接球的体积，考查学生的计算能力，正确确定球心与球的半径是

关键，利用等体积转换，求出PC,PALAC,PB1BC,可得PC的中点为球心，球的半径，即可

求出三棱锥P-4BC外接球的体积.

解：由题意，设PC=2x,

rr

PALAC,^APC=

4

••.△4PC为等腰直角三角形，

PC边上的高为x,

•••平面P4C1平面PBC,

4到平面PBC的距离为x,

rr

VABPC=PALAC,PB1BC,

:・PB=x,BC=V3x，

S“BC=qx，y/3x

V32

——X，，

2

^P-ABC=^A-PBC=2'曰",X~竽，解得％=2,

•••PA1AC,PB1BC,

・•.PC的中点为球心，球的半径为2,

三棱锥P-ABC外接球的体积为我x23=等，

故答案为等.

24.答案：解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为a,

•・•4Ea,BEa,EEa,

・•・平面a即为平面ABE,

・•・PE平面ABE,

这与P£平面ABE矛盾，

所以AE与PB是异面直线.

(2)取3c的中点凡连接EF、AF,则EF〃P8,所以N4E尸或其补角就是异面直线AE和总所成角.

・・•乙BAC=60°,PA=AB=AC=2fPA，平面ABC,

：•AF=V3,AE=V2,EF=V2;

2+2-31

CQSZ-AEF

2xV2x>/24,

所以异面直线AE和所成角的余弦值洋

(3)因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为[P4=1,

以-EBC=^E-ABC=]X(]X2X2X-y)X]=

解析：(1)假设AE与PB共面，设平面为a,用反证法证明，推出由假设得到的结论，这与P任平面

A8E矛盾，即可证明AE与尸8是异面直线.

(2)取8c的中点凡连接EF、AF,则EF〃PB,说明乙4EF或其补角就是异面直线AE和P8所成角，

解三角形求异面直线AE和PB所成角的余弦值；

(3)求出底面ABC的面积，求出E到平面ABC的距离，即可求三棱锥4-EBC的体积.

本题考查异面直线的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，异面直线及其所成的角，考查空间想象能力,

逻辑思维能力，是中档题，常考题型.

25.答案：解：(1)取4。的中点H.连接PH,EH,FH,如图所示：

由题知140,且PH=2,

又因为AEJ.EB.

三棱柱ABE-DCF为直三棱柱，

所以EF,EA,E8三条直线两两垂直，

故AE1平面EBCF,BEL平面AEFD,

因为平面P4D〃平面EBCF,

所以4E1平面PAD,

因为PHu平面PAD,

所以4E1PH,

又因为AEnAD=4，

所以PHJL平面AEF。，

所以PH〃BE.

又因为PH=BE=2,

所以四边形PHEB为平行四边形，

所以PB〃HE.

因为HEu平面AEFD,PBC平面AEFD,

所以PB〃平面AEFD,

同理可证PC〃平面AEFD,

又因PBCPC=P,

以平面PBC〃平面4EF0.

(2)由题知，直三棱柱4BE-DCF的体积匕=gxEBxEAxEF=4,

四棱锥P-4BCD的体积眩=2VP_ABD=2VB_PAD=2X[xgXADxPHxAE=(

4

所以区=互=三.

V232

解析：本题考查线面平行，面面平行的判定，及棱柱体积，与棱锥的体积之比.

(1)利用线面平行的判定，即可得面面平行；

(2)利用棱柱的体积，以及棱锥的体积，即可得.

26.答案：证明：连接AC交8。于点。，连接M0,

•••四边形ABCD是平行四边形，

。是4c的中点，

又M是PC的中点，

PA//OM.

又：OMu平面BMD,PA，平面BMD,

P4〃平面BMD.

•••过G和AP的平面PAHG交平面BMD于GH,

•••由直线与平面平行的性质可得P4〃G/L

解析：本题考查线面平行的判定和性质，考查了学生的

空间想象能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力

连接AC交于点。连接M。，由平行四边形可得

PA//OM,进而可得24〃平面又过G和AP的平

面PAHG交平面BMD于GH,由直线与平面平行的性

质可得.

27.答案：(I)证明：取AD的中点。，连接OP,0B,

•••四棱锥P-4BCD中，底面48C。为菱形，且PA=PD=DA,/.BAD=60。，［OP1AD,OBJ.AD,

OPCOB=0,OP、OB在平面OPB内

AD_L平面OPB,

"PBu平面OPB,

PBLAD；

（口）解：•••PA=PD=DA=2,

:.OP—OB—V3>

vPB—V6，

OP2+OB2=PB2,

OP1OB,

vOP1AD,ADO0B=0,AD.OB在平面CBO内

OP，平面CBD,

△PBD中，PD=BD=2,PB=V6，

c1r7VioVis

・',S〉PBD=?xV6x—=­•

设点C到平面的距离为Zz,

由等体积即VC-PBO=%-BCD，得：|x|xV6x^-h=|xV3xV3.

所以h=0竺，

s

所以点c到平面PBD的距离为拶.

解析：本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，属于中档题.

(1)取4£)的中点。，连接OP,08,证明ZD_L平面0P8,即可证明P8_L4D；

(U)证明OPJ■平面CBD,利用等体积求点C到平面的距离.

28.答案：(1)证明：；4。上平面依北，直线PDu平面PDC,

AD1PD,

XvBC//AD,所以PDJ.BC,

又PD1PB,

APDIT®PBC；

(H)解：过点。作AB的平行线交8c于点凡连结PF,

则OF与平面P8C所成的角等于AB与平面PBC所成的角,

vPD，平面PBC,

•••PF为在平面PBC上的射影，

NDFP为直线。尸和平面P8C所成的角.

•••AD//BC,DF//AB,

BF=AD=1,

由已知，得CF=BC-BF=2,

又4D1DC,

：.BC1DC,

在RtZiDCF中，可得sinzDFP=—=—,

DF5

・•・直线AB与平面PBC所成角的正弦值为

解析：本题主要考查直线与平面垂直及直线与平面所成的角等基础知识，考查了学生的空间想象能

力，培养了学生分析问题与解决问题的能力.

(I)由力。_L平面PDC,得an1PD,由BC〃/ID,得PD1BC,再由PD1PB,得到PDJL平面PBC；

(11)过点。作加3的平行线交8(;于点尸，连结PF,则。尸与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC

所成的角，由PDL平面P3C,得到ND”为直线OF和平面P3C所成的角，由此能求出直线AB与

平面PBC所成角的正弦值.

29.答案：解：(I)因为平面4B0，平面BCD,平面48。n平面BC。=BD,

又BD工DC,所以DC_L平面ABD

因为力Bu平面A8O,所以0CJ.4B.

又因为折叠前后均有AD，4B,DCnAD=D,

DC,ADC^ADC,

所以4B_L平面A£>C.

(H)由(I)知AB_L平面AQC,所以二面角C-4B-。的平面角为NCAO.

又DCJ■平面A