函数基本性质的灵活应用（单调性与奇偶性）（课时训练）解析版-教案课件-人教版高中数学必修第一册

专题06函数基本性质的灵活应用(单调性与奇偶性)课时训练

【基础巩固】

1.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是()

A./(x)=x+lB.f(x)=-%3

C./(x)=-D.f(x)=x\x\

X-

【答案】D

【解析】

对于A,/(x)=x+l为非奇非偶函数，不符合题意；对于B,/(%)=-d为募函数，其定义域为R,是

奇函数且在H上为减函数，不符合题意；对于C,7(x)=工为反比例函数，为奇函数且在其定义域上不具

备单调性，不符合题意；对于D,/(x)=x|x|,其定义域为R,有/(-%)=(一切一%|=一刀|刀|=—/(%),

JQ〉0

为奇函数，且/'(%)=-；—，在R上为增函数，符合题意；故选D.

2.已知函数/(x)=ax?+6x+3a+6是定义域为［a-1,2a］的偶函数，则a+Z?的值是()

A.0；B.-；C.1；D.-1

3

【答案】A；

【解析】由函数/(x)=ax?+6x+3a+6是定义域为［a—1,2a］的偶函数得人=0,并且a—1=—2a,即

10

a=—，所以a+Z?的值是0

3

/、f2-x-l(x>0)

已知函数〃力=]()

3.1_2<0则该函数是()

A.偶函数，且单调递增B.偶函数,且单调递减

C.奇函数，且单调递增D.奇函数,且单调递减

【答案】D

【解析】当x=0时，/(。)=0；当x>0时，—尤<0,所以/(—x)=l—2一，=—/(X)；

当x<0时，—x>0,所以/(—x)=2。l=—/(x)；所以/(—x)=—/(x),

所以函数是奇函数.当％之0时，/(%)=2^-1,由复合函数的单调性原理得函数单调递减,

由奇函数的性质得函数在R上单调递减.故选：D

4.（2020•全国高一课时练习）高为〃、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸

水从洞中流出，若鱼缸水深为〃时水的体积为v,则函数丫=/（3的大致图像是（)

【解析】

根据题意知,函数的自变量为水深力，函数值为鱼缸中水的体积，所以当/z=0时，体积v=0,所以函数

图像过原点,故排除A、C；

再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快

再慢的，故选B.

12c1।

八/、—X-2ax+—x<1

5.已知函数/(x)=(22（a>0且aHl）是R上的减函数，则。的取值范围是（）

ax-l^>1

j_2j_2

A.,B.—,1C.,D.

2322311

【答案】C

-2a

x=--------=2a>l

2x-

2

【解析】由题得0<a<l解之得.故选：c

23

--2a+->a-l

22

6.（多选题）如图所示是函数y=/（%）的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述

正确的是（）

A.函数的定义域为［T,4）

B.函数“X）的值域为［0,+8）

C.此函数在定义域内是增函数

D.对于任意的ye（5,+8）,都有唯一的自变量x与之对应

【答案】BD

【解析】

对于A,由函数的图象可知，函数的定义域为［-4,0］。［1,4），故A不正确；

对于B,由函数的图象可知，函数的值域为:［0,+8）,故B正确；

对于C,函数在［-4,0］,［1,4）是增函数,结合图象可知，此函数在定义域内不是增函数，故C错误；

对于D,由函数的图象可知，对于任意的ye（5,+8）,都有唯一的自变量x与之对应，故D正确.

故选:BD.

7.定义两种运算：a©b=yla2-b2,a0b=J（a-b）2,贝U/（x）=---------匚是______________函

v（x02）-2

数，（填奇、偶、非奇非偶，既奇又偶四个中的一个）

【答案】奇；

［解析】依々㊉Z?=Vci1—b2和Q(8)Z?=J(a-b)2得

2㊉%-x/4—x2A/4—x2

/(%)=I-----=i-------；----，其定义域为［-2,0)U(0,2］，所以

(x02)-2"2"2H-2

—尤2，4一

/(x)=7、XX,可见，/(幻是奇函数

(2-x)-2x

8.(多选题)若函数y=K的定义域为R且为奇函数，则a可能的值为()

A.-B.1

2

C.2D.3

【答案】BD

1-

【解析】当0(=5时，幕函数y=/的定义域为［0,+(»),A不符合题意；当a=l时，幕函数y=无的定义

域为R且为奇函数，B符合题意；当a=2时，嘉函数>=/的定义域为R且为偶函数，C不符合题意；当

a=3时，塞函数y=V的定义域为R且为奇函数，D符合题意.故选B、D.

9.已知二次函数/(x)=%2一2以+2,xe［0,4］.

(1)当a=l时，求/(光)的最值;

(2)若不等式/(x)Ka+6对定义域的任意实数恒成立，求实数。的取值范围.

4

【答案】(1)答案不唯一，见解析；(2)-,+oo

【解析】(1)当a=l,xe［0,4］时，/(X)=*—2x+2,对称轴x=l，

・•.J=/(x)在［0，1］上单调递减,在［1用上单调递增.，当x=l时y=/(x)有最小值，/⑺1nto=1；

当％=4时y=/(x)有最大值，/(%)1rax=10.

(2)依题意得：/(尤)1mx<a+6,

当aW2时，/(x)^=/(4)=18-8a<a+6,:.a>^,:.^<a<2

当a>2时，/(x)mix=/(0)=2<a+6,：.a>-4,a>2

综上所述，符合条件的。的取值范围是y+coj

10.已知/(%)=%2+4犬+3,求/(%)在区间上J+1］上的最小值g⑴和最大值丸⑺.

,5

厂+6/+8(/<—3)r+4r+3(r<--)

【答案】g(/)=-1(-3</<-2)〃(/)=；

/+4/+3Q〉—2)r2+6r+8(?>-1)

【〔2

【解析】求函数的对称轴为x=-2,讨论对称轴在区间的范围得到答案.

【详解】因抛物线的对称轴是x=-2,所以分类讨论：

⑴①当，+1<—2,即/<—3时,g(/)=/(f+l)；

②当r<—2vr+l,即一3W.W—2时g«)=/(—2)；

③当方>—2时,g⑺=/(/).

⑵①当—2T2/+1—(―2),即时

②当一2—1—(―2),即/>一：时,力(。=/«+1).

5

/+6/+8(/<—3)t9+4r+3(r<--)

综上所述:g⑺=〈-1(-3<t<-2),h(t)=<

『+4-t+3(/〉-2)J+6%+8(%>—)

【能力提升】

—?x_LA

11.已知定义域为R的函数:是奇函数.

2+a

(I)求o,b的值；

(n)若对任意的t£R,不等式/俨一21)+/(212—22＜0恒成立，求k的取值范围.

【答案】(I)a=2力=1(□)k＜-L

6

【解析】(I)定义域为R的函数〃力=缶皆是奇函数

则/(0)=招=0斥1/(尸/,{1)二色’

根据/(1)=—解得a=2,经检验，满足函数为奇函数

宣、，，、一2,+111

(口)f(x)——------------1--------

2A1+222、+1

易知2工+1为增函数，故/(X)=-=+T^二为减函数

22+1

/(r-2?)+)(2产-2左)<0即/(/一2。<—/(2/一2左)=/(—2/+2k)

即t2-2t>-2f+2k

331,1一，3,1、211

所以左＜_厂9_£=_«――)――恒成立，即左＜-(?--)--=--

2236-236_mjn6

当/=!时，有最小值-!故人的取值范围是左＜一!

366

12.(2019•云南弥勒市一中高一期末)已知函数/(x)(xeR)是奇函数，且当尤＞0时，f(x)=2x-l,

(1)求函数AM的表达式

(2)求不等式/(x)〉—g的解集

2x-l,x>0

31

【答案】(1)/(%)=<0,x=0(2){x|--<x<0^x>-

2x+l,x<0

【解析】

⑴根据题意，函数/(x)(xwR)是奇函数，则"0)=0,

当x<0时，一%>0,则/(-x)=2x(-x)—l=-2x—l,

又由函数/(X)为奇函数，贝IJ〃x)=—/(—x)=2x+l,

2x-l,x>0

则〃X)=<0,x=0,

2x+l,x<0

2x-l,x>0

⑵根据题意，/(%)=<o,x=0,

2x+l,x<0

当x>0时，/(%)=2x-l,此时y(x)>—g即2x—1〉—g,解可得X〉；，此时不等式的解集为

卜㈤m，

当x=0时，/(0)=0,〃x)>—：成立；此时不等式的解集为{0},

113

当％<0时，f(x)=2x+l,此时/(%)>—万即2%+l>—5,解可得x>—a，此时不等式的解集为

3

{x|--<x<0},

131

综合可得：不等式“X)>--的解集{x[—w<X<0或X〉/•

13.(2020•浙江高一课时练习)已知定义在(-8,0)一(0,+8)上的函数〃元)满足：

①对任意x,ye(-co,0)5。,+°°),f(x-y)=f(x)+f(y)-②当1>1时，/(%)>0,且/⑵=1.

(1)试判断函数/'(%)的奇偶性.

(2)判断函数/(X)在(0,+°0)上的单调性.

(3)求函数八刈在区间[-4,0)。(0,4]上的最大值.

(4)求不等式/(3x—2)+/(%)..4的解集.

Q

【答案】(1)偶函数；(2)增函数；(3)2；(4){x\x,,—2或乂.§}.

【解析】

(1)令x=y=i,则/(ixi)=y(i)+y(i),得/(1)=。；再令x=y=—i,

则/[(-1)-(-1)]=/(-1)+/(-1)，得/(-1)=0.

对于条件/a-y)=/(x)+/(y),令y=—i,则/(一幻=/(%)+/(-1),

/(-%)=f(x).又函数f(x)的定义域关于原点对称，

.•・函数/(X)为偶函数.

(2)任取再，%2e(0,+oo),且西<々，则有三>L

/\

又「当x>l时，/(x)>0,：.f上>0.

/、(、

而/(々)=/七~=/(%1)+/—>/(九1),即/(々)>/(西)，

X171玉J

••・函数/(X)在(0,+8)上是增函数.

(3)V/(4)=/(2x2)=/(2)+/(2),且"2)=1,〃4)=2.

又由(1)(2)知函数在区间［-4,0)。(0,4］上是偶函数且在(0,4］上是增函数,

；・函数/(尤)在区间「4,0)u(0,4］上的最大值为/(4)=/(-4)=2.

(4)V/(3x-2)+/(x)=/［x(3x-2)］,4=2+2=/(4)+/(4)=/(16),

...原不等式等价于f[x(3x-2)]../(16),

又函数7。)为偶函数，且函数AM在(0,+8)上是增函数，

二原不等式又等价于|X(3X—2)|..16,即原3X—2)..16或X(3X—2),,-16,

得3r—2x-1620或3炉—2X+16<0，

得xW-2或x28,

不等式/(3%—2)+/(%)..4的解集为{x|为，—2或x…|}.

X2+2xH—

14.已知函数(a>0)

%a

/()=x

(1)当a=2时，试判断xw[l,+co)它的单调性；并证明

(2)若xe(O,l]时，/(尤)是减函数，xe[L”)时，/(力是增函数，试求a的值及xe(0,48)上/(X)的

最小值.

【答案】(])FW在区间口,一)上单调递增；证明见解析(2)a=l,Ax)的最小值为4

【解析】(1)先判断函数单调递增，再利用定义法设14演<%,计算/(X。-/(%)<0证明.

⑵通过定义法由XG（0,1］时，/（九）是减函数得到aWl,同理得到a21,得到答案.

【详解】

解:⑴函数/(x)=x+,+2,f(x)在区间［1,+00)上单调递增

2x

设1W&<三时，/(%1)-/(%2)=(%-%)+0^--1)

1

=（^-^）（1-----）<0,/（xj</（x2）

2%%

所以/（X）在区间［1,4W）上单调递增；

⑵由XG（0,1］时，/（%）是减函数可知：

0<%<1,/（七）一/（々）=（西一々）（—121）〉0恒成立

ax{x2

。七％2-1<0恒成立，<ax2a<l,:.a<1

同理可得：xe［l,+oo）时，/（九）是增函数，a>l,故a=l

当x=l时，函数/Xx）有最小值4

【点睛】

本题考查了函数的单调性，最小值，函数单调性定义法的证明是一个常考知识点，需要熟练掌握.

15.经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内（以30天计算），销售价格/«）与时间（天）的函

数关系近似满足/«）=100卜+1］,销售量g«）与时间（天）的函数关系近似满足

（、［100+］（1V/<25,tEN］

女⑺=V

'）［150-r（25<r<30,teN），

（1）试写出该商品日销售金额W（。关于时间fwN）的函数表达式；

（2）求该商品的日销售金额W（t）的最大值与最小值.

lOofz+^+101j(l<?<25,?e7V)

【答案】（1）w（?）=<；（2）当U1时，W⑺最大值为20200；

当/=10时，W⑺最小值为12100

【解析】（1）对f分类讨论求出该商品日销售金额W。）关于时间《1W/W3Q/eN）的函数表达式；（2）

分别求出分段函数的每一段的最值，再比较即得该商品的日销售金额W«）的最大值与最小值.

【详解】

（1）当l<f<25时，W«）=g（。〃⑺）=100（100+。。+0=1001+『+101）；

当25W/K30时，W"）=g1）/（/）=100（150—=1001岑一/+149］

100（/+—+101）（1<t<25,teN）

150

100（--—t+149）（25<t<3Q,tEN）

（2）①当lM/<25时，由双勾函数的性质知皿（。=100卜+岑+101］在［1,10］上单减，

在区间［10,25）上单增，W（10）=12100,W（l）=20200,W（25）=13000.

.•.当:10时，W（。最小值为12100,当/=1时，最大值为20200；

②当25Kf<30时，卬（。=1001岑T+149；丁=112和y=.在［25,30］单减，则W”）在区间

［25,30］单减，

W（r）niax=W（25）=13000,W（t\mn=W（30）=12400；

综上，当f=l时，W⑺最大值为20200；当『=10时，W⑺最小值为12100

【点睛】

本题主要考查分段函数的解析式的求法，考查分段函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌

握水平.

【高考真题】

16.（2011新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）单调递增的函数是（）

A.y-x3B.j=|x|+lc.y--x2+1D.y=2一”

【答案】B

【解析】_y=d为奇函数，y=-必+1在（0,+QO）上为减函数，y=2一N在（0,+oo）上为减函数，故选B.

17.（2013湖北）x为实数，[幻表示不超过x的最大整数，则函数/（x）=x-[8在R上为（）

A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数

【答案】D

【解析】由题意穴1.1）=1.1-[1.l]=0.1,1一1.1）=-1.-[-1.=1—（—2）=0.9,故该

函数不是奇函数，也不是偶函数，更不是增函数.又对任意整数有/（a+x）=a+x—[a+x]=x—印=兀0,

故1x）在R上为周期函数.故选D.

18.（2012陕西）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）

31।।

A丁=九+1By=—%C>=一Dy=x\x\

x

【答案】D

【解析】A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除，只有D正确，故选D.

19.（2020全国II文10）设函数则/（尤）（）

A.是奇函数，且在（0,+8）单调递增B.是奇函数，且在（0,+8）单调递减

C.是偶函数，且在（0,+8）单调递增D.是偶函数，且在（0,+8）单调递减

【答案】A

【解析】••・函数〃x）=x3—4定义域为{x|xw0},其关于原点对称，而/（—%）=—/（%），

X

；・函数/（X）为奇函数.

又•••函数y=V在（0,+?）上单调递增，在（-?,0）上单调递增，而丁===婷在（0,+?）上单调递减,

在（-?,0）上单调递减，.•.函数=3在（o,+?）上单调递增，在（-?,。）上单调递增.故选A.

X

20.（2020山东8）若定义在R上的奇函数/（x）在（-oo,0）单调递减，且/（2）=0,则满足#（x-l）20的x

的取值范围是（）（）

A.[-1,1][3,+8）B.[-3,-1][0,1]C.[-1,0][1,+⑹D.[-1,0][1,3]

【答案】D

【思路导引】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数〃尤）在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大

于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.

【解析】因为定义在H上的奇函数在(-8,0)上单调递减，且/(2)=0,

所以在(0,+8)上也是单调递减，且/(—2)=0,/(0)=0,

所以当xe(—8,—2)u(0,2)时，/(x)>0,当xe(—2,0)U(2,y)时，f(x)<0,

x<0fx>0

所以由犷