2023-2024学年高二数学2019选择性试题第2章圆与方程综合能力测试

第2章圆与方程综合能力测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．圆和的位置关系是（

）A．外离 B．相交 C．内切 D．外切【答案】D【解析】圆的圆心为，半径为1，圆可化为，圆心为，半径为4，而两圆心的距离为，故两圆外切，故选：D2．圆心坐标为，并经过点，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可设圆的标准方程为：，，圆的标准方程为：.故选：D.3．直线被圆所截得的弦长为（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由圆的方程，则其圆心为，半径为，圆心到直线的距离，则弦长.故选：C.4．如图所示，是直线上的两点，且，两个半径相等的动圆分别与相切于两点，是两个圆的公共点，则圆弧与线段围成图形面积的取值范围为（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，由题意知，当两动圆外切时，围成图形面积取得最大值，此时四边形为矩形，且.答案：C5．圆在点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圆的圆心，显然点在此圆上，直线的斜率为，所以所求切线斜率为，切线方程为，即.故选：D6．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，则，化简得，即点的轨迹方程为以为圆心，为半径的圆，则点到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径，即，点到直线的距离最小值为.故选：A7．已知圆：，一条光线从点射出经轴反射，则下列结论不正确的是（

）A．圆关于轴的对称圆的方程为B．若反射光线平分圆的周长，则入射光线所在直线方程为C．若反射光线与圆相切于，与轴相交于点，则D．若反射光线与圆交于，两点，则面积的最大值为【答案】C【解析】对于A，由圆方程可得，故圆心，半径，圆关于轴对称的圆的圆心为，半径为，所求圆的方程为：，即，A正确；对于B，反射光线平分圆的周长，反射光线经过圆心，入射光线所在直线经过点，，入射光线所在直线方程为：，即，B正确；对于C，反射光线经过点关于轴的对称点，，，则，C错误；对于D，设，则圆心到直线的距离，，，则当时，，D正确.故选：C.8．已知点为直线：上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，当最小时，直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为圆：可化为，所以圆心，半径为，因为，是圆的两条切线，则，由圆的知识可知，四点共圆，且，，所以，又，所以当最小，即时，取得最小值，此时的方程为，联立，解得，即，故以为直径的圆的方程为，即，，又圆，两圆的方程相减即为直线的方程：.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．圆被直线分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为，则的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由题意知，圆的标准方程为，较短弧所对圆心角是，因为较短弧长与较长弧长之比为，所以圆心到直线的距离为，即，解得或.故选：BC.10．如图所示，已知直线l的方程是，并且与x轴、y轴分别交于A，B两点，一个半径为1.5的圆C，圆心C从点(0，1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当圆C与直线l相切时，该圆运动的时间可以为（

）A．6 B．8 C．10 D．16【答案】AD【解析】设当圆与直线相切时，设圆心坐标为，则圆心到直线的距离为，解得或，所以该圆运动的时间为或.故选：AD.11．设有一组圆，下列命题正确的是（）A．不论k如何变化，圆心始终在一条直线上B．所有圆均不经过点C．经过点的圆有且只有一个D．所有圆的面积均为4【答案】AB【解析】由题意可知：圆的圆心，半径.对于选项A：不论k如何变化，圆心始终在直线上，故A正确；对于选项B：令，整理得，因为，可知方程无解，所以所有圆均不经过点，故B正确；对于选项C：令，整理得，因为，可知方程有两个不同的解，所以经过点的圆有且只有两个，故C错误；对于选项D：因为半径，所以所有圆的面积均为，故D错误；故答案为：AB.12．已知动直线：和：，是两直线的交点，、是两直线和分别过的定点，下列说法正确的是（

）A．点的坐标为 B．C．的最大值为10 D．的轨迹方程为【答案】BC【解析】直线的方程可化为，所以直线过定点，直线的方程可化为，所以直线过定点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以A错误，由已知，所以直线与直线垂直，即，B正确，因为，所以，故，所以，当且仅当时等号成立，C正确；因为，故，设点的坐标为，则，化简可得，又点不是直线的交点，点在圆上，故点的轨迹为圆除去点，D错误；故选：BC.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，已知圆，圆，若圆心在x轴上的圆C同时经过圆C1和圆C2的圆心，则圆C的方程是．【答案】【解析】由圆的性质可知，线段的垂直平分线过圆心，易知，则线段的中点坐标为，即，直线的斜率，所以线段的垂直平分线方程为，令，即圆心的坐标为，其半径，所以圆的方程为.故答案为：14．已知是圆上的点，则的最小值是．【答案】【解析】圆，即，所以圆的圆心为，半径为，原点到圆心的距离是，所以圆上的点到原点的距离的最小值是，则的最小值是.故答案为：15．若圆：与圆：相交于两点，则公共弦的长为．【答案】【解析】由解得或，不妨设，所以.故答案为：16．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上的点均满足，则实数的取值范围是．【答案】或【解析】设，由点，即点满足，即，设点，即恒成立则，圆上所有点到定点最小值大于，又圆，半径为，圆上所有点到定点最小值即为：..即，化简得，解得或.故答案为：或.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）如图，已知两点和.

(1)求以为直径的圆的方程；(2)试判断点是在圆上，在圆内，还是在圆外？【解析】（1）设圆心，半径r，则由C为的中点得，.又由两点间的距离公式得，∴所求圆的方程为.（2）分别计算点到圆心的距离：；；.因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.18．（12分）已知圆C的圆心在直线上，并经过点，与直线相切．(1)求圆C的方程；(2)已知，动点到圆C的切线长等于的2倍，求出点的轨迹方程．【解析】（1）设圆心坐标为，故，解得：，故圆心为，半径为，故圆C的方程为；（2）设，则，故动点到圆C的切线长为，，所以，化简得：，故点的轨迹方程为：.19．（12分）圆C：内有一点，过点P作直线l交圆C于A，B两点.(1)当弦AB最长时，求直线l的方程；(2)当直线l被圆C截得的弦长为时，求l的方程.【解析】（1）圆C：化为标准方程为，则圆C的圆心为.又弦AB最长时，直线l过点和，所以直线l的方程为，即.（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为，即，弦长为时，由圆的半径为3，由垂径定理和勾股定理得，圆心到直线距离为，即，解得，此时直线l的方程为，经检验k不存在时的直线也符合条件.所以直线l的方程为或.20．（12分）已知曲线，直线．(1)试探究曲线的形状；(2)若直线与曲线有两个公共点，求的取值范围．【解析】（1）由，得，则，由，得（，）所以曲线是以为圆心，2为半径的半圆，如图所示．（2）直线恒过定点，当直线与半圆相切，为切点时，圆心到直线的距离，所以，解得．当直线过点时，直线的斜率，则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的取值范围为．21．（12分）已知直线过定点，且与圆交于两点．(1)求直线的斜率的取值范围；(2)若为坐标原点，直线的斜率分别为，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）法一：圆的标准方程为，圆心为，半径为．若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意．所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，即由题意可得，解得．

因此，直线的斜率的取值范围是．法二：若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意．所以，直线的斜率存在，设直线的方程为．联立，得，其中因为直线与圆相交，所以，解得，

因此，直线的斜率的取值范围是．（2）设，，设直线的方程为．联立，得，其中，所以，，则，所以为定值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上.(1)设直线l：与圆M交于C，D两点，且，求圆M的方程；(2)设直线与（1）中所求圆M交于E，F两点，点P为直线上的动点，直线PE，PF与圆M的另一个交点分别为G，H，且G，H在直线EF两侧，求证：直线GH过定点，并求出定点坐标.【解析】（1）因为圆心在曲线上，所以设圆心为，又圆M过坐标原点O，则半径为：，设圆的方程为，又直线l：与圆M交于C，D两点，且,所以，则，解得，当时，圆的方程为，此时，圆心到直线的距离，符合题意；当时，圆的方程为：，此时，圆心