13.4课题学习最短路径

PAGEPAGE113.4课题学习—最短路径教学设计南宁市第十八中学程烨学校地址：南宁市衡阳路北二巷1号参赛组别：初中组一、课题出处及背景本节课选自新人教版，初中学段，八年级上册，数学，第十三章轴对称第四节课题学习，最短路径，问题1。涉及知识点有两点之间线段最短或三角形两边之和大于第三边、轴对称及相关知识。本节课体现了转化的数学思想，化未知为已知，化同侧为异侧，化折线为直线。二、课型新授课（一节课45分钟）三、教学目标知识与技能：能利用轴对称解决简单的最短路径问题。过程与方法：给学生充分的时间探索，并在探索过程中，培养学生的探究能力、数学归纳能力，分析问题、解决问题的能力。情感、态度与价值观：在探索最短路径的过程中，让学生感悟转化的思想，获得成功的体验。四、学情分析1、学生特点：本题教学对象是八年级学生，此阶段学生的逻辑思维从经验型正逐步向理论型发展，观察能力、记忆力、想象力、动手操作能力和好奇心也随之迅速发展，所以在利用轴对称将最短路径问题转化为线段之和最小问题时，要给学生足够的思考、想象、动手试验的时间。2、学生知识障碍点：学生对原有的知识“两点之间线段最短”和“轴对称”，有理论上的认识，实际应用较少出现，而本题出现应用轴对称实现转化，学生不易理解，操作上有困难，教师应给予简洁明了、深入浅出的分析。五、重、难点重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段之和最小问题以及如何证明。六、教法设计根据本节课教材内容以及学生的认知特点和实际水平，本节课采取“引导（复习回顾）——探究（个人和小组）——发现”的教学模式，引导学生在探究活动中主动思考、合作交流，让学生参与到课堂中来，真正地实现学生是课堂的主体，让他们感受学习的快乐，体验成功的乐趣。七、教学过程（一）创设情境，引出课题（1分钟）1、用鲁迅先生的名言和课件展示的图片，让学生说出其中的数学道理，并教育学生在社会上要做个有公德心的人。2、讲述“将军饮马”的故事。设计意图：创设情境，吸引学生注意力，激发学生的学习兴趣，并引出课题。（二）知识回顾（4分钟）1、如图1，从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？2、如图2，要在河边修建一个泵站向村庄引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？图1图23、如图3，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？图3设计意图：①第1、2题总结前面所学知识中有关于路程最短的知识，第3题是“直线l异侧两点，与l上的点的线段和最小”，为学生搭建“脚手架”。②第2、3题是实际问题，需要先构建数学模型，为新课做铺垫。③在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所作的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，学生是想不到的，所以在第3题中，任选另一点，让学生明显看出“三角形两边之和大于第三边”，由此得到“最短”的证明，分解新课的难点。（三）讲授新课1、问题提出（30秒）如图1，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？图12、构建数学模型（3分钟）问题1：这是一个实际问题，首先应该做什么？师生活动：学生回答——将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线。（板书图2）图2问题2：你能用数学语言来描述题意吗？师生活动：学生回答后总结，（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地，即A、B两点为定点；（2）在河边饮马的地点不固定，即点C为动点，连接AC、BC，路径为AC+BC；（3）当点C在l上的何处时，可使AC+BC最小。（板书图3）（几何画板动画演示）图3设计意图：让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”。用几何画板动画演示，给学生一个直观的感觉。3、难点突破（27分钟）活动一：（1）猜测C点位置,并在学案中画出来；（2）量出AC、BC的长度，并求和；（3）小组讨论画图结果；师生活动：学生独立思考，画图分析，并测量所画线段AC、BC的长度，并求和。展示学生作图情况，最后用几何画板动画演示C点变化时，AC+BC变化情况。联想：当遇到新问题解决不了时，我们可以联系旧知识，当点A、B在直线l异侧时，点C位置的确定。llABClABlABClABC思考：（1）能否将第一个图转化为第二个图？（2）构造的B′应满足什么要求？（3）点B与B′所连线段与l有什么关系？（4）此时，点B′和B与l有怎样的关系？师生活动：学生回答：问题（1），能转化；问题（2），构造的B′点，要使得BC=B′C；问题（3）满足了第（2）个问题的B′点，意味着直线l是点B与B′所连线段的垂直平分线；换句话说，点B与点B′关于直线l对称，这也就回答了为问题（4）。于是，连接A、B′，与直线l的交点即为所求。思考：（5）能通过作B的对称点B′实现转化，能作A的对称点A′实现转化吗？（6）作A的对称点A′找到的点与作B的对称点B′找到的点是同一个点吗？师生活动：学生回答：问题（5）可以；问题（6）是。展示学生画图结果。课件演示画图结果。活动二：在学案中，作出正确的图，并叙述作法。师生活动：作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C。设计意图：首先给学生时间探究，通过展示直观的发现，一些同学找到的C点并不能使AC+BC最短，再利用几何画板动画演示，学生能找到C点大概的位置，从而激发学生继续探究的兴趣。其次，利用旧知来启发学生，并通过6个思考问题，搭建台阶，为学生再次探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想。最后，叙述作法，并完善作图。lABlABCB′C′师生活动：师生共同分析，然后完善证明过程。证明：在直线l上任取另一点C′，连接AC′、BC′、B′C′．∵直线l是点B、B′的对称轴，点C、C′在对称轴上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最小．追问：（1）这里的作用是什么？（2）加横线的步骤体现了什么数学思想？师生活动：学生思考后回答，问题（1）中，起到了作比较的作用，在直线l上任意一点（不与点C重合）与A、B两点的距离和都大于AC+BC，从而说明了AC+BC最小。问题（2）中划线步骤是把两段不在同一直线上的折线，转化为就同一直线上的线段，这是化折线为直线，体现了转化的数学思想。设计意图：让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力，并且更直观的让学生体会到转化的思想在此题中的再次应用。4、方法过程总结（4分钟）问题4：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么知识解决问题的？师生活动：学生回答，并相互补充。转转化思想设计意图：引导学生在反思的过程中，把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。（四）巩固练习（5分钟）如图1，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径（如图2）．图1图2图3P→Q→R→P即为所求。师生活动：学生分析解题思路，并相互补充，然后独立完成作图。步骤为：（1）实际问题构建数学模型，点P、Q看成是直线BC同侧的两定点，并画出图（如图2）；（2）由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为最短路径中的必经线路；（3）在直线BC上找到一点R，使得PR+QR最短，与“将军饮马”一样，先作点P或是点Q的对称点，再连接对称点与另一点的线段，与BC相交的点即为所求。（如图3）设计意图：让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。（五）布置作业（30秒）课本93页，复习题13，第15题（六）能力提升如图，A为马厩，牧马人要从马厩牵出马，先到草地边牧马，再到河边饮马，最后回到马厩.请你帮他确定这一天的最短路线图1图2A→N→M→A即为所求。设计意图：考查学生解决“最短路径问题”的能力。（如图2）八、教学反思数学思想方法是数学的知识内容和所使用方法的本质的认识，它是形成数学意识和数学能力的桥梁，是灵活运用数学知识、数学技能和数学方法解决有关问题的灵魂，在初中阶段，转化思想不仅是众多数学思想方法的基础，更是解决实际问题的金钥匙。本节课始终体现转化思想的作用和价值。首先是将实际问题中的“A地”“B地”“河”等抽象为数学中的“点”和“线”，这是将实际问题