高中数学必修2期末模拟卷01（解析版）

期末模拟试卷1

一、单项选择题

1.若复数z=m+(m-l)i(mGR)的虚部为1,则乞在复平面对应的点的坐标为()

A.(2,-1)B.(2,1)C.(—2,1)D.(—2.—1)

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考察复数的概念，共腕复数和复数的儿何意义，属于基础题.

根据虚部为1求出m,再根据共辗复数定义写出答案.

【解答】

解：•.•2=〃2+(〃2-1)，(〃267?)的虚部为1,

二.加一1=1得加=2,所以z=2+i,z=2-i,

故乞在复平面对应的点的坐标为(2,—1),

故答案选A.

2.”幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,

常用区间［0,10］内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽

取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5,6,7,8,9,5,则这组数据的第

80百分位数是()

A.7B.7.5C.8D.9

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查一组数据的百分数问题，属于基础题.

把该组数据从小到大排列，计算6x80%,从而找出对应的第80百分位数；

【解答】

解：该组数据从小到大排列为：5,5,6,7,8,9,且6x80%=4.8,

故选：C.

3.设a为平面，a,b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是（）

A.若a//a,bl/a,则a//〃B.若a_La,allb,则b_La

C.若a_La,a_Lb,则。//aD.若a//a,a_Lb,则。_La

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查命题的真假的判断，是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解.

【解答】

解：若a//a,b//a,则a与人相交、平行或异面，故A错误；

若。_1。，al1b,则由直线与平面垂直的判定定理知"_La,故3正确；

若a_La,a_Lb,则力//a或bua,故C错误；

若a//a,a_Lb,则b//a,或。ue,或人与a相交，故。错误.

故选：B.

4.在平行四边形ABCO中，BE=-BC,DF=-DC,则前=

32

A,*同B.4泡+边

C.g初9初D.一同+：力

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的加减运算，属于基础题.

利用向量的加法表示出EF,再利用共线转化可得到答案.

【解答】

解：因为砺=!而，DF^-DC,

32

所以丽=就+而=—比+—函=——AB+-AD.

3223

故答案选A

5.已知圆锥的表面积为3不，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（）

A.---7iB.兀C.—7iD.2JI

33

【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查圆的面积、周长、圆锥的侧面枳及体积等知识点，考查运算求解能力，属

于基础题型.

设圆锥的底面半径为r,高为力，母线为/,根据其表血积为3乃，得到〃+户=3,再

由它的侧面展开图是一个半圆，得到2%「=万/,联立求得半径和高，利用体积公式求

解.

【解答】

解：设圆锥的底面半径为r,高为正母线为/,

因为其表面积为34，

所以7trl+兀户=3万，

即〃+产=3,

又因为它的侧面展开图是一个半圆,

所以2万厂=兀I，

即/=2r,

所以r=1,/=2,/1=>//2一/=6,

所以此圆锥的体积为V=,不=!乃*6=走加

333

故选：A

6.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事,其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，

劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的

下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双

方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

6336

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查古典概型，是基础题.

本题先将所有的基本事件都列出来共9和J再将田忌的马获胜的事件选出共3种，最后

计算概率即可.

【解答】

解；设田忌的上等马为4,中等马为：4,下等马为人3，

齐王的上等马为四，中等马为：B2,下等马为

双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为：

A4,A}B2,AtB3,4片，A2B2,A,B3,&用，A3B2,,共9种；

其中田忌的马获胜的事件为：AtB2,4员，44,共3种,

31

p--

所以田忌的马获胜的概率为:9-3-

故选：C.

7.雕塑成了大学环境不可分割的一部分，有些甚至能成为这

个大学的象征，在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫

若的雕像.雕像由像体AD和底座CD两部分组成.如图，

在用“8C中，ZABC=70.5°,在RfDBC中,

NDBC=45°,且8=2.3米，求像体AD的高度（）（

最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°乏0.943,cos70.5°,0.334,

tan70.5«2.824）

A.4.0米B.4.2米C.4.3米D.4.4米

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查解三角形的实际应用中的高度问题的求解，属于基础题.

在&MCD和中，利用正切值可求得AC,进而求得AD.

【解答】

CC

解：在用/C£＞中，BC==2.3（米），

tanZ.DBC

在用AABC中，AC=8CtanNABC*2.3x2.824a6.5（米），

A。=AC—CO=6.5-2.3=4.2（米）.

故选：B.

8.如图，在平面直角坐标系X。），中，原点。为正八边形686舄鸟兄外［的中心,

_!x轴，若坐标轴上的点M（异于点。）满足丽:+所+也=0（其中

Mj8,且八jeN"）,则满足以上条件的点M的个数为（）

【答案】。

【解析】

【分析】

本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.

分点M在x、），轴进行分类讨论，可得出点£.、［关于坐标轴对称，由此可得出点M的

个数.

【解答】

解：分以下两种情况讨论：

①若点加在、轴上，则£、与（掇!I,/8//6%*）关于》轴对称，

由图可知，［与乙、巴与舄、A与《、与与［关于x轴对称，

此时，符合条件的点例有4个；

②若点M在y轴上，则［、^（Mj8/JeN*）关于y轴对称,

由图可知，＜与鸟、△与6、G与&、玲与《关于y轴对称,

此时，符合条件的点M有4个.

综上所述，满足题中条件的点M的个数为8.

故选：D.

二、多项选择题

9.已知复数z满足(l-i)z=2i,则下列关于复数z的结论正确的是()

A.|z|=V2

B.复数z的共辗复数为5=—1—i

C.复平面内表示复数z的点位于第二象限

D.复数z是方程d+2x+2=0的一个根

【答案】ABCD

【解析】

【分析】

本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基

础题.

利用复数的除法运算求出z=—l+i,再根据复数的模长公式求出|z|,可知A正确；

根据共规复数的概念求出三，可知8正确；根据复数的几何意义可知C正确；将z代入

方程成立，可知。正确.

【解答】

二=2i(l+i)=三=_»,所以

解:因为(l-i)z=2i,所以z

1-z(l-z)(l+z)2

Iz|=Jl+1=V2,故A正确;

所以彳=一1一i,故8正确;

由z=—1+i知，复数z对应的点为它在第二象限，故C正确:

因为(—l+i)2+2(—l+i)+2=-2i—2+2i+2=0,所以。正确.

故选：ABCD.

10.某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他

们的身高都处在A,B,C,D,E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下

面叙述正确的是（）

男生身高情况扇形图

A.样本中女生人数多于男生人数

B.样本中8层人数最多

C.样本中E层次男生人数为6人

D.样本中。层次男生人数多于女生人数

【答案】ABC

【解析】

【分析】

本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.

根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.

【解答】

解：样本中女生人数为：9+24+15+9+3=60，男生数为100—60=40,A正确;

样本中4层人数为：9+40xl0%=13：样本中8层人数为：24+40x30%=36：

样本中C层人数为：15+40x25%=25；样本中。层人数为：9+40x20%=17；

样本中E层人数为：3+40xl5%=9；故8正确；

样本中E层次男生人数为：4Cxl5%=6,C正确；

样本中。层次男生人数为：40x20%=8,女生人数为9,O错误.

故选：ABC.

11.已知事件A,B,且尸（A）=0.5,P（8）=0.2,则下列结论正确的是（）

A.如果8=那么P（AU3）=0.2,P（AB）=0.5

B.如果A与8互斥，那么尸（ADB）=0.7,P（AB）=0

C.如果A与3相互独立，那么尸（AuB）=0.7,尸（AB）=0

D.如果A与8相互独立，那么尸（血）=0.4,P（A与）=0.4

【答案】BD

【解析】

【分析】

本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础

题.

4选项在BqA前提下，计算出P（AU8）=0.5，P（AB）=0.2,即可判断；

B选项在4与5互斥前提下，计算出产（AuB）=0.7,P（A8）=0,即可判断；

C、C选项在A与B相互独立前提卜，计算出产（AD3）=0.7,P（AB）=0.1,

P（AB）=P（A）P（B）=0.4,P（A耳）=P（A>P（耳）=0.4,即可判断.

【解答】

解：A选项：如果8=那么尸（A|j3）=（）.5，P（AB）=0.2,故A选项错误;

8选项：如果A与8互斥，那么P（Au3）=（）.7,P（AB）=（）,故8选项正确;

C选项：如果4与8相互独立，那么P（3）=0.7,P（AB）=0.1,故C选项错误;

。选项:如果A与8相互独立,那么P（而）=尸（孙尸（月）=0.4,

P（AB）=P（A）P（fi）=0.4,故。选项正确.

故选：BD.

12.如图，正方体的棱长为1,则下

列四个命题正确的是（）

A.若点M,N分别是线段4A,4Z7的中点，则

MN//BC

B.点C到平面ABC'。的距离为J5

7T

C.直线BC与平面A6C。所成的角等于一

4

D.三棱柱A4'Z7—83'C的外接球的表面积为3万

【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，通过线线平行、点到面的距离、线面角，以及外接球的知识

点来考查，解题时要注意空间思维能力的培养，是中档题.

A选项：通过平行的传递性得到结论：

8选项：根据点C到平面ABCDf的距离为CE,进一步得到答案；

C选项：根据直线BC与平面ABC。所成的角为NCBC',进一步得出结论；

。选项：根据三棱柱AA'。-阳。的外接球的半径为正方体ABCD-A3'。。体对

角线的一半，进一步得到答案.

【解答】

解：A选项：若点M,N分别是线段A'A,AD的中点，则MN//A。又•.•6C'//AO

所以MN//BC',故A正确；

B选项：连接CB'交3c'于点E,由题易知点C到平面ABCO的距离为CE,•.•正方

体ABC。—A'3'C'Zy的棱长为1,，CE=N—,故8错误：

2

C选项：易知直线BC与平面ABCD所成的角为NC5C',

7T

:.NCBC'=—,故C正确；

4

。选项：易知三棱柱AA'。-的外接球的半径为正方体A6C。一A'6'C'。体对

角线的一半，

:.R=2

2

.•.表面积为4万火2=4万祖=3不，故。正确.

故选：ACD.

三、填空题

13.已知。也°分别为A/WC三个内角A,B,C的对边，且"cosC+ccos5=asinA,

则4=.

TT

【答案】-

2

【解析】

【分析】

本题主要考查正弦定理的应用.解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正

弦，属于基础题.

根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA的值

进而求得A.

【解答】

解：,//?cosC+ccosB=asinA,

:.sinBcosC+sinCcosB-sin(5+C)=sinA=sin2A,

,/sinA。0,

」.sinA=l,

7F

・•・由于A为三角形内角，可得A=—.

2

TT

故答案为：一.

2

14.已知数据芭，x2,天，…，%的平均数为10,方差为2,则数据2占一1,2々一1，

2七一1，…，2x”—1的平均数为,方差为.

【答案】19

8

【解析】

【分析】

本题考查了平均数与方差的计算，考查了运算求解能力，属于基础题.

由题意结合平均数公式和方差公式计算即可得解.

【解答】

解；由己知条件可得内+%+£+…+”=10,

n

(%-10)-+(%2-10)-+(匕-10)一+…+(当-10)-c

—乙,

n

所以数据2%一1、29一1、2天一1、…、2%一1的平均数为

__(2%-1)+(2々-1)+(2七-1)+…+(2x“-l)

X-

n

=生土三工41=2x10—1=19,

n

方差为

2_[(2%-1)-19]+[(2x-1)-19]+[(2X3-1)-19]+---+[(2x„-1)-19]

S—2

n

_(2内一20)2+(2/—20『+(2七—20『+…+(2x“一20^

n

2222

4[(X,-10)+(X,-10)+(X3-10)+...+(X„-10)].°

n

故答案为：19；8.

15.已知|利=3,出|=2,(万+2瓦＞(2-3•=一18,则M与5的夹角为.

7T

【答案】-

3

【解析】

【分析】

本题考查运用向量数量积的定义与运算求向量的夹角，是基础题.

先求万2=9,b1=4,a-b=6cos^a,b）,再根据仅+2》）•（万一35）=—18化简整理

得cos（2b）=g,最后求万与B的夹角为

【解答】

解：•」项=3,网=2,

a2H«|2=9,庐=|必=4,

a-h=\a\'\h|-cos<a.b>=6cos<a,b>,

・・・0+2杨"-33）=-18,

/.a2-a-h-6h2=9-6cos<a,b>-6x4=-18,

整理得：cos<a,b>=~.

2

_7T

・•・汗与b的夹角为：

3

TT

故答案为：一

3

16.如图，在三棱锥V—ABC中，AB=2g,VA=VB,VC=1,且

ACA.BC,则二面角V—A6-。的余弦值是.

3

【答案】-

【解析】

【分析】

本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题.

取48的中点0,连接VO、0C,证明出VO_LAB,OC，A3，可得出二面角V—A6-C

的平面角为NVOC,计算出丫0、OC,利用余弦定理求得cosNVOC,由此可得出二

面角V-A6—C的余弦值.

【解答】

解：取A8的中点0,连接丫0、0C,如下图所示：

-,-VA=VB,。为48的中点，则W9J,AB,且AB=272,

：.V0=-AB=y/2,

2

同理可得OCLAB,且OC=/，所以，二面角V-45—C的平面角为NVOC,

VO2+OC2-VC23

由余弦定理得cosZVOC=~J

2VOOC4

3

因此，二面角V—AB—C的余弦值为二.

4

3

故答案为：一.

4

四、解答题

17.已知向量。=(2,1),5=(3,—1).

⑴求向量示与b的夹角;

(2)若^=(3,m)(机6/?),且(〃一方)，三，求,"的值

【答案】解：(1):M=(2,1),^=(3,-1),

：.a-b=2x3+1x(-1)=5，

由题得|利=」22+1=6,|昨百+㈠>=回，

设向量1与5的夹角为。，则COS£=-^2~=-95正.

\a\\b\V5xV102

•.-6>e[0,^].所以6=(,

即向量5与b-的夹角为々TT.

4

(2)：M=(2,1),B=(3,-l),.2B=(T,3)，

•«,[a-2b^±c,=0,

,.•c=(3,m)..,.(-4)x3+3/77=0,解得机=4.

【解析】本题考查了向量的夹角公式，向量的坐标运算和向量的垂直的条件，属于中档

题.

(1)根据向量的坐标运算和向量的夹角公式即可求出.

(2)根据向量的坐标运算先求出5-2^=(-4,3),再由垂直的条件得到

(T)x3+3加=(),解得即可.

18.已知纵氏c分别为AABC三个内角A、B、C的对边，且a=J7,c=l,A=—.

3

⑴求〃及&钻。的面积S；

(2)若。为BC边上一点，且，,求NA03的正弦值.

■JT

从①AD=1,②NCA。=-这两个条件中任选一个,补充在上面问题中，并作答.

6

【答案】解：⑴由余弦定理得a2=02+c2—20ccosA,

整理得廿+。-6=0,

•.,/?>0,

：.b-2,

,_1,._10.6_下>

..Sc=-besinA4.=—x2x1x=；

2222

(2)选①，如下图所示：

在&46C中，由正弦定理得一^-=一与

sin4sin空

3

ACsin—所

可得sinZB=---------工=--,

BC7

在&43D中，'.AD=AB.则=

J21

sinZADB=sinZB-------；

7

AHBC

选②，在AABC中，由正弦定理得-------=-

sinZC.2乃

sm——

3

ABsin—而

可得sinZC=----------,

BC14

5不

由于NC为锐角,则cos/C=Jl-sin2/C=-----♦

14

一71

ZADB=^C+-,

6

7T

sinZAD5=sin(ZC+-)

_V3.…1

——sinZ-CH—cosz.C

22

V3V211577277

=-------X----------+—X----------=-----------.

2142147

【解析】本题考查利用正、余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，同时也考查了三

角恒等变换，考查计算能力，属于中档题.

⑴利用余弦定理可得出关于b的二次方程，可解出b的值，进而可求得AABC的面积

5；

(2)选①，在A4BC中，利用正弦定理可求得sinZB的值，再由可得出

ZADB=ZB,进而可求得NADB的正弦值；

选②，利用正弦定理求得sinNC的值，由同角三角函数的基本关系可求得cosNC,

再利用两角和的正弦公式可求得sinNADB的值.

19.在四面体A—BCD中，点E,F,M分别是A8,BC,C。的中点，且3O=AC=2,

EM=1.

⑴求证：EF7/平面ACC；

(2)求异面直线AC与8D所成的角.

【答案】解：(1)由题意，点E,尸分别是48,8C的中点，所以石F//AC,

因为EF仁平面AC。，ACu平面ACQ,

所以所//平面ACD；

⑵由⑴知M//AC,

因为点F,M分别是BC,。。的中点，可得FM//6O,

所以即为异面直线AC与BD所成的角(或其补角).

在野70中，EF=FM=EM=1,所以AERW为等边三角形，

所以NEFM=60°,

即异面直线AC与8。所成的角为60°.

【解析】本题主要考查了线面平行的判定与证明，以及异面直线所成角的求解.

(1)由点E,尸分别是48,8c的中点，得到所//AC,结合线面平行的判定定理，即

可求解；

⑵由⑴知M//AC和FM//BD,得至UNEFM即为异面直线AC与BD所成的角,

在野70中，即可求解.

20.溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及

安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛,规定每队3人，每人回答一个问题，

答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队

2123

每人回答问题正确的概率均为1，乙队每人回答问题正确的概率分别为于

且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.

(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；

(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.

【答案】解：(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,记“甲队总得分为1分”为事件3,

甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为尸(4)=5、3'5=点，

甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，

2222222222

其概率为f(B)=-x(l--)x(1--)+(1--)x-x(l--)+(1--)x(1--)x-=-.

Q2

甲队总得分为3分与1分的概率分别为——，

279

(2)记”甲队得分为2分”为事件C,记“乙队得分为1分”为事件。，

事件C即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，

4

/、222222222

9-

事件。即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，

,、1231231231

由题意得事件C与事件。相互独立,

甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率:

411

P（CD）=P（C）^（D）=-x-=-.

【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算

求解能力，属于中档题.

(1)记“甲队总得分为3分”为事件A,记“甲队总得分为1分”为事件B,甲队得3

分，即三人都回答正确，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错,

由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分与1分的概率.

(2)记''甲队得分为2分”为事件C,记“乙队得分为1分”为事件/),事件C即甲队

三人中有2人答对，其余1人答错，事件。即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，

由题意得事件C与事件。相互独立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队

总得分为2分且乙队总得分为1分的概率.

21.如图，在三棱锥P—ABC中，24J_底面ABC,AB1BC,PA=AB=BC=2,

点O为线段AC的中点，点E为线段PC上一点.

(1)求证：平面5DE，平面尸AC.

(2)当Q4//平面时，求三棱锥?一8£应的体积.

【答案】解：(1)证明：因为底面48C,且比)u底面A8C,

所以24LED.

因为AB=8C,且点。为线段AC的中点,

所以BDLAC.

又个1AC=A,

所以6。_L平面24c.

又6£>u平面3CE,

所以平面BDE上平面PAC.

(2)解：因为/%//平面BDE,B4u平面PAC,平面平面

所以ED//Q4

因为点。为AC的中点，所以点E为尸C的中点.

法一：

由题意知点P到平面8DE的距离与点A到平面BOE的距离相等，

所似Vp-BDE=K1-SDE

=^E-ABD=2%-ABC-WABC

111ccc

二—x—x—x2x2x2

432

~3'

所以三棱锥P—BDE的体积为L

3

法二：

因为PA//平面BDE,

由题意知点P到平面BZJE的距离与点A到平面8OE的距离相等.

所以Vp_BDE=^A-BDE1

又AC=20,AD=y/2,BD=6DE=1,

由⑴知，ADLBD,又ADLDE,且BDcDE=D，所以AD,平面8OE,

所以匕"E=；ADS.

=—x—x>/2xlx-\/2=—.

323

所以三棱锥P—ADE的体积为

3

法三：

又AC=2&,AD=6,BD=6,DEW,

由⑴知：6O_L平面尸OE,

且S的」0£.40=1以血=虫.

aPDE222

所以Vp.BDE=VB_PDE

=gBD・S#DE

_1rV2_l

——x72x——.

323

所以三棱锥尸一BDE的体积为1.

3

【解析】本题考查面面垂直的证明，三棱锥的体积，是中档题.

⑴先证明P4_LBD,再证明3。1AC,从而证明3。，平面PAC,最后证明平面

3。£_1_平面PAC；

(2)先判断点E为PC的中点，再判断三棱锥P-BDE的体积等于三棱锥A-BDE的

体积，最后求体积即可.

22.2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模

式，其中语文、数学、外语三科为必考科目